2021Bac spé maths · Asie · Jour 1

Commun à tous les candidats

En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte 1000 abonnés à son profil. On modélise le nombre d'abonnés ainsi : chaque année, elle perd 10 % de ses abonnés auxquels s'ajoutent \(250\) nouveaux abonnés.

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n\) le nombre d'abonnés à son profil en l'année \((2020 + n)\), suivant cette modélisation. Ainsi \(u_0 = 1000\).

1. On a donc \(u_1 = 1000 \times \left(1 - \dfrac{10}{100}\right) + 250 = 1000 \times 0{,}9 + 250 = 900 + 250 = 1150\).

2. Enlever 10 % c'est multiplier par \(1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0{,}10 = 0{,}90\).

   Le nombre d'abonnés de l'année précédente est donc multiplié par \(0{,}9\) ; on ajoute ensuite chaque année \(250\) nouveaux abonnés, donc pour tout naturel \(n\) :

   \[u_{n+1} = 0{,}9u_n + 250.\]

3. \(u(10)\) donne le nombre d'abonnés au bout de \(10\) ans ; une calculatrice donne \(\approx 1977\).

4. 1. Initialisation : on a \(u_0 = 1000 \leqslant 2500\) : la relation est vraie au rang \(0\) ;

      Hérédité : on suppose que pour \(n \in \mathbb{N}\), on ait \(u_n \leqslant 2500\).

      La multiplication par \(0{,}9 > 0\) respectant l'ordre, on a donc \(0{,}9u_n \leqslant 0{,}9 \times 2500\) ou \(0{,}9u_n \leqslant 2250\), puis en ajoutant 250 à chaque membre :

      \(0{,}9u_n + 250 \leqslant 2250 + 250\), soit \(u_{n+1} \leqslant 2500\) : la relation est encore vraie au rang \(n+1\).

      La relation est vraie au rang \(0\) et si elle est vraie au rang \(n \in \mathbb{N}\), elle est vraie au rang \(n + 1\) : d'après le principe de récurrence : quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(u_n \leqslant 2500\).

   2. Soit \(n \in \mathbb{N}\), on a \(u_{n+1} - u_n = 0{,}9u_n + 250 - u_n = -0{,}1u_n + 250\).

      Or d'après la question précédente : \(u_n \leqslant 2500\), puis \(0{,}1u_n \leqslant 0{,}1 \times 2500\) ou encore

      \(0{,}1u_n \leqslant 250\), soit en prenant les opposés : \(- 250 \leqslant - 0{,}1u_n\) et en ajoutant à chaque membre 250 : \(0 \leqslant -0{,}1u_n + 250\).

      On a donc pour \(n \in \mathbb{N}\),   \(u_{n+1} - u_n \geqslant 0\) ou \(u_{n+1} \geqslant u_n\) : la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante.

   3. La suite \(\left(u_n\right)\) est croissante (d'après 4. b.) et majorée par 2500 (d'après 4. a.) : elle converge donc vers une limite inférieure ou égale à 2500.

5. 1. Pour \(n \in \mathbb{N}\),   \(v_{n+1} = u_{n+1} - 2500 = 0{,}9u_n + 250 - 2500\), soit

      \(v_{n+1} = 0{,}9u_n - 2250 = 0{,}9\left(u_n - 2500 \right) = 0{,}9v_n\).

      L'égalité vraie quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),  \(v_{n+1} = 0{,}9v_n\) montre que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}9\) et de terme initial \(v_0 = u_0 - 2500 = 1000 - 2500 = -1500\).

   2. On sait que quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(v_n = v_0 \times 0{,}9^n = - 1500\times 0{,}9^n\).

      Or \(v_n = u_n - 2500 \iff u_n = v_n + 2500 = 2500 - 1500\times 0{,}9^n\).

   3. Comme \(0 < 0{,}9 < 1\), on sait que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}0{,}9^n = 0\) et par suite par produit de limites \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}- 1500\times 0{,}9^n = 0\) et finalement \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = 2500.\)

6. Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d'abonnés dépassera 2200.

   Déterminer cette année.

   n = 0
   u = 1000
        while u < = 2200 :
             u = 0,9*u + 250
            n = n+1
        return n

   Le programme s'arrêtera la 16^e année.

Partie I

1. On a P(6 ; 0 ; 0) et Q(0 ; 0 ; 6).

2. On a \(\overrightarrow{\text{PQ}}\begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{PR}}\begin{pmatrix}2\\2\\8\end{pmatrix}\).

   ★ \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{PQ}} = - 6 + 0 + 6 = 0\) : les vecteurs \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{\text{PQ}}\) sont orthogonaux ;

   ★ \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{PR}} = 2 - 10 + 8 = 0\) : les vecteurs \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{\text{PR}}\) sont orthogonaux.

   Conclusion : le vecteur \(\overrightarrow{n}\) orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan PQR est normal à ce plan.

3. D'après le résultat précédent :

   \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{PQR}) \iff 1x - 5y + 1z + d = 0\), avec \(d \in \mathbb{R}\).

   Or P(6 ; 0 ; 0) \(\in (\text{PQR}) \iff 1\times 6 - 5\times 0 + 1\times 0 + d = 0 \iff d = - 6\).

   Donc \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{PQR}) \iff x - 5y + z - 6 = 0\).

Partie II

1. ★ Les plans (ABCD) et (EFGH) sont parallèles, donc les droites (AC) et (EG) sont parallèles ;

   ★ Les droites (AE) et (CG) sont perpendiculaires au plan (ABCD) , elles sont donc parallèles.

   Le quadrilatère (AEGC) ayant ses côtés opposés parallèles est donc un parallélogramme ; ses diagonales [AG] et [CE] ont donc le même milieu \(\Omega\).

   Comme G(8 ; 8 ; 8), les coordonnées de \(\Omega\) sont donc \(\left(\dfrac{0 + 8}{2}~;~\dfrac{0 + 8}{2}~;~\dfrac{0 + 8}{2}\right) = (4~;~4~;~4)\).

2. La droite (d) a donc pour vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\) et contient \(\Omega\), donc :

   \(M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \overrightarrow{\Omega M} = t\overrightarrow{n}, \, \text{avec}\, t \in \mathbb{R}\), soit :

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x - 4&=&t \times 1\\ y - 4&=&t \times (- 5)\\ z - 4&=&t \times 1 \end{array}\right., t\, \in \mathbb{R} \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&4 + t\\ y &=&4 - 5t\\ z &=&4 + t \end{array}\right., t \, \in \mathbb{R}\).

3. L est le le projeté orthogonal du point \(\Omega\) sur le plan (PQR) donc la droite (\(\Omega\)L) est perpendiculaire au plan (PQR), c'est donc la droite \((d)\).

   L est donc le point commun au plan (PQR) et à la droite \((d)\), ses coordonnées vérifient donc le système :

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&4 + t\\ y &=&4 - 5t\\ z &=&4 + t\\ x - 5y + z - 6 &=& 0 \end{array}\right., t \in \mathbb{R} \Rightarrow 4 + t - 5(4 - 5t) + 4 + t - 6 = 0 \iff 2 + 2t - 20 + 25t = 0 \iff 27t = 18 \iff 9 \times 3t = 9 \times 2 \iff 3t = 2 \iff t = \dfrac{2}{3}\).

   En reportant cette valeur de \(t\) dans les trois premières équations du système, on trouve que L\(\left(\dfrac{14}{3}~;~ \dfrac{2}{3}~;~\dfrac{14}{3}\right)\).

4. L étant le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan (PQR), la distance \(\Omega\)L est la distance (la plus petite) du point \(\Omega\) au plan (PQR) ; on a

   \(\Omega \text{L}^2 = \left(\dfrac{14}{3} - 4\right)^2 + \left(\dfrac{2}{3} - 4\right)^2 + \left(\dfrac{14}{3} - 4\right)^2 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{10}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4 + 100 + 4}{9} = \dfrac{108}{9} = \dfrac{9 \times 12}{9 \times 1} = 12\).

   On a donc \(\Omega\)L\(= \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\).

1. 1. Il y a 7 tirages contenant la lettre A, puis

      6 tirages contenant la lettre B (le tirage AB étant le même que le tirage BA),

      5 tirages contenant la lettre C, etc.

      Il y a donc : \(7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = \dfrac{7 \times 8}{2}= 7 \times 4 = 28\) tirages différents.

   2. Les tirages gagnant sont les 6 tirages contenant la lettre A et une consonne et les 6 contenanr la lettre E et une consonne : il y a donc \(6 + 6 = 12\) tirages gagants.

      La probabilité que le joueur gagne à ce jeu est donc égale à \(\dfrac{12}{28} = \dfrac{4\times 3}{4 \times 7} = \dfrac{3}{7}\).

1. 1. On a \(P(G = 10 - k) = \dfrac{3}{7}\) et \(P(G = -k) = \dfrac{4}{7}\). D'où le tableau :

      

   2. L'espérance mathématique de la variable aléatoire \(G\) est égale à

      \(E(G) = - k \times \dfrac{4}{7} + (10 - k) \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{-4k + 30 - 3k}{7} = \dfrac{30 - 7k}{7}\).

      Le jeu est favorable au joueur si :

      \(E(G) > 0 \iff \dfrac{30 - 7k}{7} \iff 30 - 7k > 0 \iff 7k < 30 \iff k < \dfrac{30}{7}\).

      \(\dfrac{30}{7} \approx 4{,}3\).

      La somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ne doit pas dépasser 4 €.

2. 1. Le tirage par un joueur est indépendant de celui des autres et chacun a une probabilité de gagner de \(\dfrac{3}{7}\) ; \(X\) suit donc une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) et \(p = \dfrac{3}{7}\).

   2. On a \(p(X = 4) = \displaystyle\binom{10}{4}\left(\dfrac{3}{7}\right)^4\left( 1 - \dfrac{3}{7} \right)^{10-4} = 210 \times\left(\dfrac{3}{7}\right)^4 \times \left(\dfrac{4}{7}\right)^6 \approx 0{,}2466\), soit 0,247 au millième près.

   3. La calculatrice donne \(p(X\leqslant 4) \approx 0{,}560\) donc

      \(p(X\geqslant 5) = 1 - p(X\leqslant 4) \approx (1 - 0{,}560)\).

      Finalement : \(p(X\geqslant 5) \approx 0{,}440\).

      La probabilité qu'il y ait au moins 5 gagnants sur 10 joueurs est d'environ 0,440.

   4. La calculatrice donne :

      \(p(X \leqslant 5) \approx 0{,}782\) et \(p(X \leqslant 6) \approx 0{,}921\), donc le plus petit entier \(n\) tel que

      \(P(X \leqslant n) \geqslant 0{,}9\) est donc \(n = 6\).

Partie I : lectures graphiques

\(f\) désigne une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée \(f'\).

1. On lit \(f'(0) = 0{,}4 = \dfrac{2}{5}\).

2. 1. D'après la figure :

      ★ \(f'(x)\) est croissante si \(x \in [-2~;~1]\);

      ★ \(f'(x)\) est décroissante si \(x < - 2\) et si \(x > 1\).

   2. ★ \(f'\left(- \dfrac{1}{2}\right) = 0\).

      Donc \(f''(x) > 0\) sur l'intervalle \([-2~;~1]\) ; la fonction \(f\) est convexe sur l'intervalle \([-2~;~1]\).

Partie II : étude de fonction

La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par

1. ★ On a \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 + x + \dfrac{5}{2} = + \infty\), d'où par composition de limites \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\).

   ★ On a \(x^2 + x + \dfrac{5}{2} = x^2\left(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{2x^2}\right)\).

   Donc \(f(x) = \ln x^2\left(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{2x^2}\right) = \ln x^2 + \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{2x^2}\right)\).

   Or \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\dfrac{1}{x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty}\dfrac{5}{2x^2x} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty}1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{2x^2} = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\ln \left(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{2x^2}\right) = \ln 1 = 0\).

   Finalement :

   \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty}\ln x^2 = + \infty\).

2. On a \(f(x) = \ln u(x)\), avec \(u(x) = x^2 + x + \dfrac{5}{2}\).

   \(u\) étant dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour le trinôme \(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\),   \(\Delta = 1 - 10 = - 9 < 0\), donc

   \(x^2 + x + \dfrac{5}{2} > 0\) quel que soit le réel \(x\).

   La fonction \(\ln u\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sur cet intervalle :

   \(\left(\ln u \right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + \dfrac{5}{2}}\).

   Conclusion : quel que soit \(x \in \mathbb{R}\),   \(f'(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + \dfrac{5}{2}}\).

3. On a vu que \(x^2 + x + \dfrac{5}{2} > 0\) sur \(\mathbb{R}\) ; le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(2x + 1\) :

   ★ \(f'(x) > 0 \iff 2x + 1 > 0 \iff x > - \dfrac{1}{2}\) : la fonction \(f\) est croissante sur \(\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[\) ;

   ★ \(f'(x) < 0 \iff 2x + 1 < 0 \iff x < - \dfrac{1}{2}\) : la fonction \(f\) est décroissante sur \(\left]- \infty~;~-\dfrac{1}{2} \right[\).

   On a \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \ln \left(\left(- \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} \right) = \ln \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}\right) = \ln \dfrac{9}{4}\).

   D'où le tableau de variations de \(f\) :

   

4. 1. Dans la tableau précédent \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right) =\ln \dfrac{9}{4} \approx 0{,}81\).

      Sur l'intervalle \(\left[-\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[\) la fonction \(f\) est continue car dérivable et comme \(2 \in \left[\ln \frac{9}{4}~;~+ \infty\right[\), il existe d'après le théorème des valeurs intermédiaires un réel unique \(\alpha \in \left[-\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[\) tel que \(f(\alpha) = 2\).

   2. La calculatrice donne :

      \(f(1) \approx 1{,}5\) et \(f(2) \approx 2{,}14\), donc \(\alpha \in ]1~;~2[\) ;

      \(f(1{,}7) \approx 1{,}96\) et \(f(1{,}8) \approx 2{,}02\), donc \(\alpha \in ]1{,}7~;~1{,}8[\) ;

      \(f(1{,}76) \approx 1{,}995\) et \(f(1{,}77) \approx 2{,}002\), donc \(\alpha \in ]1{,}76~;~1{,}77[\).

      Conclusion \(\alpha \approx 1{,}8\) à \(10^{-1}\) près.

5. La fonction a un point d'inflexion si en ce point sa dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

   On a \(f'(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + \dfrac52}\) : cette fonction est dérivable car le dénominateur ne s'annule pas, donc sur \(\mathbb{R}\) :

   \(f''(x) = \dfrac{2\left(x^2 + x + \frac52\right) - (2x + 1)(2x + 1)}{\left(x^2 + x + \frac52\right)^2} = \dfrac{2x^2 + 2x + 5 - 4x^2 - 4x - 1}{\left(x^2 + x + \frac52\right)^2} =\)

   \(\dfrac{- 2x^2 - 2x + 4}{\left(x^2 + x + \frac52\right)^2} = \dfrac{-2\left(x^2 + x - 2 \right)}{\left(x^2 + x + \frac52\right)^2} ; f''(x) = \dfrac{-2\left[\left( x + \frac12\right) - \frac14 - 2 \right]}{\left(x^2 + x + \frac52\right)^2} =\)

   \(\dfrac{- 2\left[\left(x + \frac12\right)^2 - \frac94 \right]}{\left(x^2 + x + \frac52\right)^2} =\dfrac{- 2\left(x + \frac12 + \frac32 \right)\left(x + \frac12 - \frac32 \right)}{\left(x^2 + x + \frac52\right)^2} = \dfrac{-2(x + 2)(x - 1)}{\left(x^2 + x + \frac52\right)^2}\).

   Comme \(\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right)^2 > 0\), quel que soit le réel \(x\), le signe de \(f''(x)\) est celui du numérateur \(-2(x + 2)(x - 1) = 2(x + 2)(1 - x)\), soit celui du trinôme \((x + 2)(1 - x)\). On en déduit le

   Tableau de signes :

   

On constate que la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en \(- 2\) et en 1. La courbe a donc deux points d'inflexion.

Partie I

1. 1. \(y = K\), avec \(K \in \mathbb{R}\) est solution de l'équation, si, avec \(y' = 0\),

      \(0 = -0{,}4K + 0{,}4 \iff 0{,}4K = 0{,}4 \iff K = 1\)

   2. ★ On sait que les solutions de l'équation différentielle \(y' = - 0{,}4y\) sont les fonctions définies par : \(t \longmapsto y = C\text{e}^{-0{,}4t}\), avec \(C \in \mathbb{R}\) ;

      ★ Les solutions de l'équation \(y' = - 0{,}4u + 0{,}4\) sont donc les fonctions :

      \[t \longmapsto y = 1 + C\text{e}^{-0{,}4t},\, \text{avec }\, C \in \mathbb{R}.\]

   3. \(g\) définie par \(g(t) = 1 + C\text{e}^{-0{,}4t}\) vérifie :

      \(g(0) = 10 \iff 1 + C\text{e}^{-0{,}4\times 0} = 10 \iff 1 + C = 10 \iff C = 9\).

      On a donc \(g(t) = 1 + 9\text{e}^{-0{,}4t}\)

Partie II

1. On sait que \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \mathrm{e}^{-0{,}4t} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty} p(t) = 1\).

2. \(g\) somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) est dérivable et sur cet intervalle :

   \(g'(t) = - 0{,}4 \times 9\mathrm{e}^{-0{,}4t} = - 3{,}6\mathrm{e}^{-0{,}4t}\).

   Or \(p(t) = \dfrac{1}{g(t)} \Rightarrow p'(t) = - \dfrac{g'(t)}{(g(t))^2} = - \dfrac{- 3{,}6\mathrm{e}^{-0{,}4t}}{\left(1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t} \right)^2} = \dfrac{3,6\mathrm{e}^{-0{,}4t}}{\left(1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t} \right)^2}\) pour tout \(t \in [0~;~+ \infty[\).

3. 1. Le résultat précédent montre que, comme \(3{,}6 >\),  \(\mathrm{e}^{-0{,}4t} >\) quel que soit le réel \(y\),   \(\left(1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t} \right)^2 > 0\),   \(p'(t) > 0\) sur \([0~;~+ \infty[\) : la fonction \(p\) est strictement croissante sur cet intervalle.

      Or \(p(0) = \dfrac{1}{1 + 9} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1\) , et \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty} p(t) = \dfrac{1}{1} = 1\).

      Par application du théorème des valeurs intermédiaires comme \(\dfrac{1}{2} \in [0~;~1]\), il existe un réel unique \(\alpha \in [0~;~+ \infty[\) tel que \(p(\alpha) = \dfrac{1}{2}\).

   2. La calculatrice donne :

      \(p(5) \approx 0{,}45\) et \(p(6) \approx 0{,}55\), donc \(5 < \alpha < 6\) ;

      \(p(5{,}4) \approx 0{,}491\) et \(p(5{,}5) \approx 0{,}501\), donc \(5{,}4 < \alpha < 5{,}5\) ;

      \(p(5{,}49) \approx 0{,}499\) et \(p(5{,}50) \approx 0{,}501\), donc \(5{,}49 < \alpha < 5{,}50\).

      Conclusion \(\alpha \approx 5{,}5\) à \(10^{-1}\) près.

Partie III

1. ★ \(p'(t) = \dfrac{3,6\mathrm{e}^{-0{,}4t}}{\left(1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t} \right)^2}\) d'après la question 2.

   ★ \(0{,}4p(t)(1 - p(t)) = 0{,}4 \times \dfrac{1}{1 + 9\text{e}^{-0{,}4t}} \times \left(1 - \dfrac{1}{1 + 9\text{e}^{-0{,}4t}} \right)^2 = 0{,}4\times \dfrac{9\text{e}^{-0{,}4t}}{1 + 9\text{e}^{-0{,}4t}} = \dfrac{3,6\mathrm{e}^{-0{,}4t}}{\left(1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t} \right)^2}\), donc \(p\) est solution de l'équation différentielle.

   De plus on a vu que \(p(0) = \dfrac{1}{10}\).

2. \(\bullet~~\)\(\displaystyle\lim_{t \to + \infty} p(t) = 1\) signifie qu'à long terme toutes les écoles auront accès à internet.

   \(\bullet~~\)\(\alpha \approx 5{,}5\) signifie qu'au bout de 5 ans et demi la moitié des écoles aura accès à internet.

   \(\bullet~~\)\(p(0) = 0{,}1\) signifie qu'en 2020, 10 % des écoles ont accès à internet.