Annales · Épreuve anticipée de maths › techno

2026Épreuve anticipée · techno · Métropole (septembre)

Voie technologique, toutes séries · 11 septembre 2026

Mis à jour le 22 octobre 2026

11 septembre 2026Durée : 2 heures20 pointsSans calculatrice

Automatismes QCM · 6 points · 12 questions

Aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. Calculatrice interdite.

Question 1

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x-1)^2-8\).

La forme développée de l'expression \(f(x)\) est :

  1. \(x^2-2x-7\)
  2. \(x^2-7\)
  3. \(x^2-9\)
  4. \(x^2-2x-9\)
Voir la correction de la question 1

Bonne réponse : A

On développe avec l'identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), ici avec \(a=x\) et \(b=1\).

\(f(x)=(x-1)^2-8=x^2-2x+1-8=x^2-2x-7\).

Piège : \((x-1)^2\) n'est pas égal à \(x^2-1\) : il ne faut pas oublier le double produit \(-2x\). Et \(1-8=-7\), pas \(-9\).

Question 2

Le prix de revente d'un véhicule neuf a baissé de 20 % la première année puis de 10 % la deuxième année. En deux ans, le prix de ce véhicule a :

  1. baissé de 30 %
  2. baissé de 72 %
  3. augmenté de 72 %
  4. baissé de 28 %
Voir la correction de la question 2

Bonne réponse : D

Une baisse de \(t\) % revient à multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\).

Baisse de 20 % : coefficient \(0{,}8\). Baisse de 10 % : coefficient \(0{,}9\).

Coefficient global : \(0{,}8\times 0{,}9=0{,}72=1-0{,}28\), soit une baisse de 28 %.

Piège : les pourcentages successifs ne s'additionnent pas (pas de baisse de 30 %), on multiplie les coefficients.

Question 3

On donne ci-contre la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-6 ; 7]\).

On considère l'équation \(f(x) = 0\).

On peut affirmer que :

  1. l'équation admet deux solutions positives
  2. l'équation admet exactement deux solutions
  3. l'équation n'admet pas de solution
  4. l'équation admet exactement une solution positive
Figure de la question 3
Voir la correction de la question 3

Bonne réponse : A

Les solutions de \(f(x)=0\) sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses.

La courbe le coupe en trois points, d'abscisses \(-5\), \(1\) et \(6\). L'équation a donc trois solutions, dont deux sont positives (\(1\) et \(6\)).

C est fausse (il y a des solutions), B aussi (il y en a trois et non deux), ainsi que D (il y a deux solutions positives et non une seule).

Question 4

Soit \((d)\) la droite représentée dans le repère orthonormé ci-dessous.

Figure de la question 4

L'équation réduite de la droite \((d)\) est :

  1. \(y = 3x+6\)
  2. \(y = -2x+3\)
  3. \(y = \dfrac{1}{2}x+6\)
  4. \(y = -\dfrac{1}{2}x+3\)
Voir la correction de la question 4

Bonne réponse : D

La droite coupe l'axe des ordonnées au point \((0;3)\) : l'ordonnée à l'origine est \(3\).

Elle passe aussi par le point \((6;0)\), donc son coefficient directeur vaut \(a=\dfrac{0-3}{6-0}=-\dfrac{3}{6}=-\dfrac12\).

L'équation réduite est \(y=-\dfrac12x+3\).

Vérification rapide : la droite descend de gauche à droite, le coefficient directeur est négatif, ce qui élimine A et C.

Question 5

Le diagramme en barres ci-dessous donne la répartition des hébergements collectifs de tourisme depuis 2013.

Figure de la question 5

L'année où le nombre de nuitées en camping a été le plus faible est :

  1. 2020
  2. 2016
  3. 2021
  4. 2014
Voir la correction de la question 5

Bonne réponse : B

Le nombre de nuitées en camping correspond à la hauteur de la partie noire de chaque barre, et non à la hauteur totale de la barre.

Par lecture graphique, pour les années proposées :

  • 2014 : de 203 à 318 environ, soit environ 115 millions ;
  • 2016 : de 202 à 280 environ, soit environ 78 millions ;
  • 2020 : de 117 à 222 environ, soit environ 105 millions ;
  • 2021 : de 90 à 202 environ, soit environ 112 millions.

Le minimum est atteint en 2016.

Piège : regarder le sommet de la barre au lieu de la hauteur du segment concerné.

Question 6

On considère le nombre \(N = 0{,}026 \times 10^{-3}\).

\(N\) est égal à :

  1. \(2{,}6 \times 10^{-1}\)
  2. \(0{,}0026 \times 10^{-4}\)
  3. \(2{,}6 \times 10^{-5}\)
  4. 26
Voir la correction de la question 6

Bonne réponse : C

On écrit \(0{,}026=2{,}6\times 10^{-2}\).

\(N=2{,}6\times 10^{-2}\times 10^{-3}=2{,}6\times 10^{-2-3}=2{,}6\times 10^{-5}\).

Vérification : \(N=0{,}000026\), soit cinq rangs après la virgule pour le chiffre 2.

Piège : en B, l'écriture \(0{,}0026\times 10^{-4}\) vaut \(2{,}6\times 10^{-7}\).

Question 7

Dans un repère orthonormé on considère les points \(A(5 ; 15)\) et \(B(7 ; -5)\). Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est :

  1. \(-10\)
  2. \(-0{,}1\)
  3. \(\dfrac{5}{6}\)
  4. \(0{,}1\)
Voir la correction de la question 7

Bonne réponse : A

Le coefficient directeur de la droite \((\mathrm{AB})\) est :

\(a=\dfrac{y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A}}{x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}}=\dfrac{-5-15}{7-5}=\dfrac{-20}{2}=-10\).

Piège : inverser numérateur et dénominateur donnerait \(-0{,}1\) (réponse B), et il faut garder le même ordre des points en haut et en bas.

Question 8

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 4x+3\). Son tableau de signes est :

Figure de la question 8
Voir la correction de la question 8

Bonne réponse : D

On cherche d'abord la valeur qui annule \(4x+3\) :

\(4x+3=0\iff x=-\dfrac34\).

Le coefficient de \(x\) est \(4>0\) : la fonction affine est croissante, donc négative avant \(-\dfrac34\) et positive après.

Le tableau D est celui qui place \(-\dfrac34\) avec le signe \(-\) puis le signe \(+\).

Les autres tableaux sont à écarter : A a les bons signes mais place \(\dfrac34\) au lieu de \(-\dfrac34\), et B et C ont des signes inversés (\(+\) puis \(-\)), ce qui correspondrait à une fonction décroissante.

Question 9

On souhaite exprimer \(F = \dfrac{1}{2+\frac{5}{6}}\) sous la forme d'une fraction irréductible.

  1. \(F = \dfrac{6}{17}\)
  2. \(F = \dfrac{12}{17}\)
  3. \(F = \dfrac{6}{7}\)
  4. \(F = -\dfrac{17}{6}\)
Voir la correction de la question 9

Bonne réponse : A

On réduit d'abord le dénominateur : \(2+\dfrac56=\dfrac{12}{6}+\dfrac56=\dfrac{17}{6}\).

Puis on prend l'inverse : \(F=\dfrac{1}{\frac{17}{6}}=\dfrac{6}{17}\).

La fraction est irréductible car \(17\) est premier et ne divise pas \(6\).

Question 10

On considère l'équation suivante : \((3x+1)(x-5) = 0\).

Soit \(S\) l'ensemble des solutions de cette équation.

  1. \(S = \left\{-\dfrac{1}{3}~;~5\right\}\)
  2. \(S = \left\{-5~;~\dfrac{1}{3}\right\}\)
  3. \(S = \{-5~;~-3\}\)
  4. \(S = \left\{\dfrac{1}{3}~;~5\right\}\)
Voir la correction de la question 10

Bonne réponse : A

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

\(3x+1=0\iff x=-\dfrac13\) et \(x-5=0\iff x=5\).

Donc \(S=\left\{-\dfrac13;5\right\}\).

Piège : le signe change en passant de l'autre côté : \(x-5=0\) donne \(x=5\), pas \(-5\).

Question 11

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur l'intervalle \([-5 ; 5]\). On donne ci-contre, dans un repère orthonormé, la représentation graphique \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) et la représentation graphique \(\mathcal{C}_g\) de la fonction \(g\).

L'ensemble des solutions de l'inéquation \(f(x) \leqslant g(x)\) est :

  1. \(S = [-5~;~-3] \cup [4~;~5]\)
  2. \(S = \left]-3~;~2\right[\)
  3. \(S = [-5~;~-3]\)
  4. \(S = [-5~;~-3] \cup [2~;~5]\)
Figure de la question 11
Voir la correction de la question 11

Bonne réponse : D

Les solutions de \(f(x)\leqslant g(x)\) sont les abscisses des points où \(\mathcal{C}_f\) est sur ou sous \(\mathcal{C}_g\).

Les deux courbes se coupent aux points \((-3;-1)\) et \((2;3)\). La parabole \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de la droite \(\mathcal{C}_g\) entre \(-3\) et \(2\), et en dessous ailleurs sur \([-5;5]\).

Donc \(S=[-5;-3]\cup[2;5]\).

Piège : l'inégalité est large (\(\leqslant\)), les bornes \(-3\) et \(2\) sont incluses, car les courbes s'y coupent.

Question 12

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-5~;~6]\) et \(\mathcal{C}_f\) sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.

Figure de la question 12

Le tableau de variations de la fonction \(f\) est :

Figure de la question 12
Voir la correction de la question 12

Bonne réponse : B

On lit les variations de \(f\) sur la courbe : elle part du point \((-5;0)\), monte jusqu'au point \((-2;5)\), descend jusqu'au point \((4;-6)\), puis remonte jusqu'au point \((6;0)\).

Dans le tableau de variations, la première ligne contient les abscisses \(-5\), \(-2\), \(4\), \(6\), et les flèches relient les ordonnées \(0\), \(5\), \(-6\), \(0\) : c'est le tableau B.

Les autres tableaux sont à écarter : A place un maximum en \(x=0\) alors que la courbe n'y est pas au sommet, C mélange abscisses et ordonnées, et D oublie la remontée finale.

Exercice 1 (5 pts)

Probabilités

Une maladie contagieuse se répand chez les bovins.

Afin de détecter cette maladie, un laboratoire élabore un test de dépistage.

Les essais de ce test sur un groupe témoin de 1000 bovins sont résumés dans le tableau suivant :

Test positif à la maladieTest négatif à la maladieTotal
Malade18020200
Non malade45755800
Total2257751000

On choisit au hasard un bovin ayant participé à l'essai et on note :

  • \(M\) l'évènement « le bovin est malade » ;

  • \(T\) l'évènement « le test est positif ».

On exprimera tous les résultats sous forme décimale.

  1. Montrer que la probabilité de l'évènement \(M\) est \(0{,}2\).

  2. Décrire par une phrase l'évènement \(M \cap T\), puis calculer la probabilité de cet évènement.

  3. Calculer la probabilité \(P_M(T)\).

Aide au calcul :
\(225 = 5 \times 45\)

  1. Un test est dit fiable si la probabilité de ne pas être atteint par la maladie sachant que le test est positif est inférieure ou égale à \(0{,}15\).

    En se basant sur les résultats de cet essai, le test du laboratoire est-il fiable ? Justifier la réponse.

  2. À présent, on choisit deux bovins parmi ceux ayant participé à l'essai. Le nombre de bovins est suffisamment grand pour considérer cette expérience comme un tirage avec remise. On souhaite déterminer la probabilité de l'évènement \(A\) : « les deux bovins sont malades ».

    1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

    2. En déduire la probabilité de l'évènement \(A\).

Voir le corrigé détaillé de l'exercice 1

Question 1

Le bovin est choisi au hasard : on est en situation d'équiprobabilité, donc \(P(M)=\dfrac{\text{nombre de bovins malades}}{\text{nombre total de bovins}}\).

Le tableau donne 200 malades sur 1000 bovins :

\(P(M)=\dfrac{200}{1000}=0{,}2\).

Question 2

\(M\cap T\) se lit « et » : c'est l'évènement « le bovin est malade et son test est positif ».

Le tableau donne 180 bovins à la fois malades et positifs :

\(P(M\cap T)=\dfrac{180}{1000}=0{,}18\).

Question 3

\(P_M(T)\) est la probabilité que le test soit positif sachant que le bovin est malade. On se restreint donc aux 200 malades :

\(P_M(T)=\dfrac{180}{200}=0{,}9\).

On retrouve le même résultat avec la formule : \(\dfrac{P(M\cap T)}{P(M)}=\dfrac{0{,}18}{0{,}2}=0{,}9\).

Question 4

« Ne pas être atteint par la maladie sachant que le test est positif » se traduit par \(P_T\left(\overline{M}\right)\). On se restreint aux 225 bovins dont le test est positif, parmi lesquels 45 ne sont pas malades :

\(P_T\left(\overline{M}\right)=\dfrac{45}{225}=\dfrac{45}{5\times 45}=\dfrac15=0{,}2\).

Or \(0{,}2>0{,}15\) : la condition « inférieure ou égale à \(0{,}15\) » n'est pas remplie, donc le test n'est pas fiable.

Question 5.a

Le tirage est avec remise : les deux tirages sont identiques et indépendants. À chaque niveau de l'arbre :

  • \(P(M)=0{,}2\) ;
  • \(P\left(\overline{M}\right)=1-0{,}2=0{,}8\).
Figure du corrigé de l'exercice 1

Vérification : sur chaque paire de branches issues d'un même nœud, la somme vaut \(0{,}2+0{,}8=1\).

Question 5.b

L'évènement \(A\) « les deux bovins sont malades » correspond au chemin \(M\to M\) de l'arbre. On multiplie les probabilités le long du chemin :

\(P(A)=0{,}2\times 0{,}2=0{,}04\).

La probabilité que les deux bovins choisis soient malades est \(0{,}04\), soit 4 %.

Exercice 2 (5 pts)

Partie A

Soit \(f\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) par \(f(x) = (12x-480)(x-10)\).

Établir le tableau de signes de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Aide au calcul :
\(480 = 40 \times 12\)

Partie B

On s'intéresse dans cette partie à une usine qui fabrique des tracteurs. Chaque mois elle en vend entre 0 et 18. On note \(x\) le nombre de tracteurs vendus par mois.

On modélise alors le bénéfice de cette entreprise, en centaines d'euros, par la fonction \(B\) définie sur l'intervalle \([0~;~18]\) par

\[B(x) = 4x^3 - 300x^2 + 4800x - 10\,000.\]

  1. Calculer \(B(0)\).

  2. On donne \(B(18) = 2528\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    1. Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0 ~;~18]\), calculer \(B'(x)\) puis montrer que \(B'(x) = f(x)\), où \(f\) est la fonction définie dans la partie A.

    2. En déduire le tableau de variations de la fonction \(B\) sur l'intervalle \([0~;~18]\).

    3. À l'aide du tableau de variations, déterminer combien de tracteurs l'entreprise doit produire et vendre afin d'obtenir un bénéfice maximal. Quelle sera la valeur de ce bénéfice maximal ?

Voir le corrigé détaillé de l'exercice 2

Partie A · question 1

Un produit de deux facteurs affines : on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes.

\(12x-480=0\iff x=\dfrac{480}{12}=40\) (car \(480=40\times 12\)), et \(x-10=0\iff x=10\).

Les coefficients de \(x\) (12 et 1) sont positifs : chaque facteur est négatif avant sa racine et positif après.

Figure du corrigé de l'exercice 2

Lecture : \(f(x)>0\) sur \(]-\infty;10[\) et sur \(]40;+\infty[\), \(f(x)<0\) sur \(]10;40[\), et \(f(x)=0\) pour \(x=10\) et \(x=40\).

Partie B · question 1

On remplace \(x\) par \(0\) dans l'expression de \(B\) :

\(B(0)=4\times 0-300\times 0+4800\times 0-10\,000=-10\,000\).

Partie B · question 2

\(B(x)\) est le bénéfice en centaines d'euros pour \(x\) tracteurs vendus par mois.

\(B(18)=2528\) signifie que, lorsque l'usine vend 18 tracteurs dans le mois, elle réalise un bénéfice de \(2528\) centaines d'euros, soit \(252\,800\) €.

De même, \(B(0)=-10\,000\) traduit une perte de \(10\,000\) centaines d'euros (soit \(1\,000\,000\) €) si aucun tracteur n'est vendu.

Partie B · question 3.a

On dérive terme à terme, avec \((x^n)'=nx^{n-1}\) :

\(B'(x)=4\times 3x^2-300\times 2x+4800=12x^2-600x+4800\).

On développe maintenant \(f(x)\) :

\(f(x)=(12x-480)(x-10)=12x^2-120x-480x+4800=12x^2-600x+4800\).

Les deux expressions sont identiques, donc pour tout \(x\) de \([0;18]\), \(B'(x)=f(x)\).

Partie B · question 3.b

Le signe de \(B'(x)=f(x)\) se lit dans le tableau de la partie A, restreint à l'intervalle \([0;18]\). Seule la racine \(10\) s'y trouve (car \(40>18\)).

  • sur \([0;10]\) : \(B'(x)\geqslant 0\), donc \(B\) est croissante ;
  • sur \([10;18]\) : \(B'(x)\leqslant 0\), donc \(B\) est décroissante.

On calcule les valeurs utiles : \(B(0)=-10\,000\), \(B(18)=2528\) et

\(B(10)=4\times 1000-300\times 100+4800\times 10-10\,000=4000-30\,000+48\,000-10\,000=12\,000\).

Figure du corrigé de l'exercice 2

Partie B · question 3.c

D'après le tableau de variations, \(B\) atteint son maximum en \(x=10\).

L'entreprise doit donc produire et vendre 10 tracteurs par mois.

Le bénéfice maximal est alors \(B(10)=12\,000\) centaines d'euros, soit \(1\,200\,000\) €.

Exercice 3 (4 pts)

Suites

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

  1. On considère la suite arithmétique \(\left(u_n\right)\) de raison \(r=5\) et telle que \(u_5=10\).

    Affirmation : \(u_7 = 250\).

  2. Soit \(\left(u_n\right)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = 2n^2+1\).

    Affirmation : la suite \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique.

  3. Soit \(f\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) par \(f(x) = 5x^2-2x+3\).

    Affirmation : une équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse 1 est donnée par :

    \[y = 8x-2.\]

  4. Avec la chaleur et la surpêche, une association de pêcheurs constate chaque année que le nombre de truites présentes dans l'étang de leur commune diminue de 15 %. À partir de 2024, pour enrayer ce phénomène, ils décident de réintroduire chaque année 100 truites dans l'étang. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) désigne le nombre de truites en \(2024+n\).

    Affirmation : pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}15\,u_n + 100\).

Voir le corrigé détaillé de l'exercice 3

Question 1

Fausse.

Dans une suite arithmétique de raison \(r\), on passe d'un terme au suivant en ajoutant \(r\) :

\(u_6=u_5+5=10+5=15\) et \(u_7=u_6+5=15+5=20\).

On a donc \(u_7=20\) et non \(250\). Le nombre \(250\) vient d'une confusion avec une suite géométrique (multiplication).

Question 2

Fausse.

Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant. On calcule les premiers termes : \(u_0=1\), \(u_1=3\), \(u_2=9\), \(u_3=2\times 9+1=19\).

\(\dfrac{u_1}{u_0}=3\) et \(\dfrac{u_2}{u_1}=3\), mais \(\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{19}{9}\neq 3\).

Le quotient n'est pas constant : \((u_n)\) n'est pas géométrique. Il suffit d'un seul contre-exemple pour conclure.

Question 3

Vraie.

La tangente au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Ici \(a=1\).

\(f(1)=5-2+3=6\).

\(f'(x)=10x-2\), donc \(f'(1)=8\).

Une équation de la tangente est donc \(y=8(x-1)+6\), soit \(y=8x-8+6=8x-2\).

L'équation annoncée est la bonne.

Question 4

Fausse.

Une diminution de 15 % correspond au coefficient multiplicateur \(1-\dfrac{15}{100}=0{,}85\), et non \(0{,}15\).

Chaque année, il reste 85 % des truites de l'année précédente, auxquelles on ajoute les 100 truites réintroduites :

\(u_{n+1}=0{,}85\,u_n+100\).

L'affirmation utilise \(0{,}15\), qui est la part de truites perdues, pas celle qui reste.

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Questions fréquentes

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