2026Épreuve anticipée · techno · Antilles-Guyane

Question 1.a

Chaque année la production baisse de \(5\) %, donc elle est multipliée par \(1-\dfrac{5}{100}=0{,}95\).

\(u_1=3000\times 0{,}95=2850\).

La production en 2026 sera de \(2850\) kWh.

Question 1.b

Diminuer une quantité de \(5\) % revient à la multiplier par \(0{,}95\).

La production de l'année \(2025+(n+1)\) est inférieure de \(5\) % à celle de l'année \(2025+n\), donc pour tout entier naturel \(n\) :

\(u_{n+1}=0{,}95\times u_n\).

Question 1.c

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre \(0{,}95\) : la suite \((u_n)\) est une suite géométrique.

Sa raison est \(q=0{,}95\) et son premier terme est \(u_0=3000\).

Question 2.a

On cherche la première ligne du tableau où \(u_n\) est inférieure à \(1000\).

Pour \(n=21\), \(u_{21}=1021{,}68\) : c'est encore supérieur à \(1000\).

Pour \(n=22\), \(u_{22}=970{,}60<1000\).

La suite étant décroissante, tous les termes suivants sont aussi inférieurs à \(1000\).

Comme \(2025+22=2047\), la production sera inférieure à \(1000\) kWh à partir de l'année \(2047\).

Question 2.b

Après \(25\) ans, on lit dans le tableau \(u_{25}=832{,}17\).

\(30\) % de la production initiale valent \(0{,}3\times 3000=900\).

Comme \(832{,}17<900\), la production est inférieure à \(30\) % de la production initiale : elle en représente environ \(\dfrac{832}{3000}\approx 28\) %.

L'affirmation du fabricant est donc fausse.

Question 3

Une suite géométrique de raison \(0{,}95\) ne diminue pas de la même quantité à chaque étape : la baisse est de \(150\) d'abord, puis un peu moins chaque année. Ses points ne sont donc pas alignés.

Le graphique 1 a des points alignés : c'est le signe d'une suite arithmétique, donc il ne représente pas \((u_n)\). D'ailleurs, son point d'abscisse \(1\) est vers \(2925\), alors que \(u_1=2850\).

Le graphique 2 montre des points qui se rapprochent de plus en plus lentement de l'axe des abscisses, et ses premiers points correspondent au tableau : \(3000\), \(2850\), \(2707{,}5\)…

C'est donc le graphique 2 qui représente la suite \((u_n)\).

Question 1

L'évènement « sans enfant et ne vivant pas en couple » correspond à la case du tableau « personne ne vivant pas en couple » et « sans enfant » : \(35\) personnes.

On interroge une personne au hasard parmi \(100\) : il y a équiprobabilité, donc les proportions sont des probabilités.

\(P\big(\overline{C}\cap\overline{E}\big)=\dfrac{35}{100}=0{,}35\).

Question 2

\(C\cap\overline{E}\) signifie : la personne vit en couple et n'a pas d'enfant. Le tableau donne \(12\) personnes sur \(100\).

\(P\big(C\cap\overline{E}\big)=\dfrac{12}{100}=0{,}12\).

Interprétation : la probabilité de tirer au hasard une personne qui vit en couple et qui n'a pas d'enfant est de \(0{,}12\), soit \(12\) %.

Question 3

On cherche la probabilité de ne pas vivre en couple sachant que la personne a au moins un enfant : \(P_E\big(\overline{C}\big)\).

Par définition : \(P_E\big(\overline{C}\big)=\dfrac{P\big(E\cap\overline{C}\big)}{P(E)}\).

Dans le tableau, \(53\) personnes ont au moins un enfant, donc \(P(E)=0{,}53\). Parmi elles, \(35\) ne vivent pas en couple, donc \(P\big(E\cap\overline{C}\big)=0{,}35\).

\(P_E\big(\overline{C}\big)=\dfrac{0{,}35}{0{,}53}=\dfrac{35}{53}\).

Vérification rapide : parmi les \(53\) personnes qui ont au moins un enfant, \(35\) ne vivent pas en couple, ce qui donne bien \(\dfrac{35}{53}\).

Question 4.a

Un logement a \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) ou \(5\) pièces, et les probabilités sont les pourcentages donnés, écrits en décimaux.

Vérification : \(0{,}07+0{,}2+0{,}4+0{,}25+0{,}08=1\).

Question 4.b

L'évènement \(X\geqslant 2\) est le contraire de \(X=1\).

\(P(X\geqslant 2)=1-P(X=1)=1-0{,}07=0{,}93\).

Interprétation : la probabilité qu'un logement choisi au hasard ait au moins deux pièces est de \(0{,}93\), soit \(93\) %.

Question 4.c

L'espérance est la somme des valeurs multipliées par leur probabilité :

\(\mathrm{E}(X)=1\times 0{,}07+2\times 0{,}2+3\times 0{,}4+4\times 0{,}25+5\times 0{,}08\).

\(\mathrm{E}(X)=0{,}07+0{,}4+1{,}2+1+0{,}4=3{,}07\).

Interprétation : en moyenne, un logement du parc social compte \(3{,}07\) pièces. C'est une moyenne, il n'y a donc pas lieu de l'arrondir à un entier.

Question 1

\(f(x)=2(x+1)(x-3)(x-5)\) est un produit de facteurs dont on connaît les signes : les racines sont \(-1\), \(3\) et \(5\).

Pour \(x\) dans \([-1;3]\) :

• \(x+1\geqslant 0\) ;
• \(x-3\leqslant 0\) ;
• \(x-5<0\).

Le produit d'un facteur positif, de deux facteurs négatifs et du nombre \(2>0\) est positif.

Donc \(f\) est positive sur \([-1;3]\), et non négative.

Vérification : \(f(0)=2\times 1\times(-3)\times(-5)=30>0\).

Question 2.a

La tangente au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y=h'(a)(x-a)+h(a)\), avec ici \(a=1\).

\(h'(x)=-6x+12\), donc \(h'(1)=6\).

\(h(1)=-3\times 1^2+12\times 1-4=5\).

\(y=6(x-1)+5=6x-6+5=6x-1\).

L'équation de la tangente est bien \(y=6x-1\).

Question 2.b

On étudie le signe de la dérivée \(h'(x)=-6x+12\) sur \([2;+\infty[\).

Si \(x\geqslant 2\), alors \(-6x\leqslant -12\) (on multiplie par un nombre négatif, l'inégalité change de sens), donc \(-6x+12\leqslant 0\).

La dérivée est négative sur \([2;+\infty[\) : la fonction \(h\) y est décroissante, et non croissante.

Autre argument : le coefficient de \(x^2\) vaut \(-3<0\), la parabole est tournée vers le bas, avec un maximum en \(x=\dfrac{-12}{2\times(-3)}=2\) : après ce sommet, la fonction décroît.

Question 3

Les deux racines d'une fonction du second degré sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie \(x=2{,}5\).

Une racine est \(2\), qui est à \(0{,}5\) de l'axe : l'autre est à \(0{,}5\) de l'autre côté, donc \(x_2=2{,}5+0{,}5=3\).

Donc \(g(x)=(x-2)(x-3)\).

\(g(0)=(0-2)(0-3)=(-2)\times(-3)=6\).