2026Épreuve anticipée · spé maths · Antilles-Guyane

Question 1.a

Une baisse de \(10\) % correspond au coefficient multiplicateur \(1-\dfrac{10}{100}=1-0{,}1=0{,}9\).

En janvier \(2026\) (un an après janvier \(2025\)) :

\(u_1=10\,000\times 0{,}9=9000\).

La voiture vaut \(9000\) euros en janvier \(2026\).

Question 1.b

Le terme \(u_{n+1}\) est la valeur de la voiture un an après \(u_n\). Cette valeur est celle de l'année précédente diminuée de \(10\) %, donc multipliée par \(0{,}9\).

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}=0{,}9\,u_n\).

Question 2

Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par le même nombre \(0{,}9\) : c'est la caractéristique d'une suite géométrique.

La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q=0{,}9\) et de premier terme \(u_0=10\,000\).

Question 3.a

Pour une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), on a \(u_n=u_0\times q^n\).

Donc, pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n=10\,000\times 0{,}9^n\).

Question 3.b

\(2030=2025+5\), donc on cherche \(u_5\).

\(u_5=10\,000\times 0{,}9^5=10\,000\times 0{,}59049=5904{,}9\).

En janvier \(2030\), la voiture vaut \(5904{,}90\) euros.

Question 4

La variable U contient la valeur du terme courant (au départ \(u_0=10\,000\)) et N son indice.

On répète le calcul du terme suivant tant que le seuil n'est pas atteint, c'est-à-dire tant que \(u_n\geqslant A\) (on s'arrête dès que \(u_n

def seuil(A) :
    N = 0
    U = 10000
    while U >= A :
        U = 0.9*U
        N = N+1
    return N

Question 5.a

L'appel seuil(5000) renvoie \(7\) : le plus petit indice \(n\) tel que \(u_n<5000\) est \(n=7\).

Dans le contexte : la valeur de la voiture passe pour la première fois sous \(5000\) euros \(7\) ans après janvier \(2025\), donc en janvier \(2032\).

Contrôle : \(u_6=10\,000\times 0{,}531441=5314{,}41\geqslant 5000\) et \(u_7=10\,000\times 0{,}9^7\approx 4783<5000\).

Question 5.b

Perdre plus des trois quarts de sa valeur, c'est valoir strictement moins d'un quart de la valeur initiale :

\(\dfrac14\times 10\,000=2500\), donc on cherche \(u_n<2500\).

L'appel seuil(2500) renvoie \(14\) : c'est le premier rang pour lequel \(u_n<2500\) (en effet \(u_{13}\approx 2542\geqslant 2500\) et \(u_{14}\approx 2288<2500\)).

\(2025+14=2039\) : la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur à partir de janvier \(2039\).

Question 1

On traduit les données en probabilités (les proportions sont assimilées à des probabilités) :

• \(P(A)=0{,}6\), donc \(P(\overline{A})=1-0{,}6=0{,}4\) ;
• parmi les abonnés, \(40\) % sont jeunes : \(P_A(J)=0{,}4\), donc \(P_A(\overline{J})=0{,}6\) ;
• parmi les non abonnés, \(20\) % sont jeunes : \(P_{\overline{A}}(J)=0{,}2\), donc \(P_{\overline{A}}(\overline{J})=0{,}8\).

Question 2

On multiplie les probabilités le long du chemin \(A\to J\) :

\(P(A\cap J)=P(A)\times P_A(J)=0{,}6\times 0{,}4=0{,}24\).

Interprétation : \(24\) % des spectateurs sont à la fois abonnés et jeunes.

Question 3

Les évènements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\(P(J)=P(A\cap J)+P(\overline{A}\cap J)\).

Or \(P(\overline{A}\cap J)=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(J)=0{,}4\times 0{,}2=0{,}08\).

Donc \(P(J)=0{,}24+0{,}08=0{,}32\).

Question 4

On interroge un spectateur jeune : on cherche donc \(P_J(A)\), et il faut la comparer à \(\dfrac12\).

\(P_J(A)=\dfrac{P(A\cap J)}{P(J)}=\dfrac{0{,}24}{0{,}32}=\dfrac{24}{32}=\dfrac34\).

Comme \(\dfrac34>\dfrac12\), l'affirmation est exacte : un spectateur jeune est abonné avec une probabilité de \(\dfrac34\), donc plus d'une chance sur deux.

Piège : ne pas confondre \(P_J(A)\) avec \(P_A(J)=0{,}4\), qui répond à une autre question.

Question 5.a

Le prix \(X\) peut valoir \(0\), \(2\) ou \(5\) euros :

• \(X=0\) : abonné et jeune, \(P(A\cap J)=0{,}24\) ;
• \(X=2\) : abonné et non jeune, \(P(A\cap\overline{J})=0{,}6\times 0{,}6=0{,}36\) ;
• \(X=5\) : non abonné, \(P(\overline{A})=0{,}4\).

Loi de probabilité de \(X\) :

Vérification : \(0{,}24+0{,}36+0{,}4=1\).

Question 5.b

L'espérance est la somme de chaque valeur multipliée par sa probabilité :

\(\mathrm{E}(X)=0\times 0{,}24+2\times 0{,}36+5\times 0{,}4=0+0{,}72+2=2{,}72\).

Interprétation : en moyenne, un spectateur paie \(2{,}72\) euros sa place.

Question 1

Dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul.

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}3-2\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}0-2\\4-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\).

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=1\times(-2)+2\times 4=-2+8=6\neq 0\).

Le produit scalaire n'est pas nul : les droites (AB) et (AC) ne sont pas perpendiculaires.

Question 2.a

La fonction \(f\) est un produit \(uv\) avec \(u(x)=3x-1\) et \(v(x)=\mathrm{e}^x\), donc \(u'(x)=3\) et \(v'(x)=\mathrm{e}^x\). On applique \((uv)'=u'v+uv'\) :

\(f'(x)=3\mathrm{e}^x+(3x-1)\mathrm{e}^x=(3+3x-1)\mathrm{e}^x=(3x+2)\mathrm{e}^x\).

Comme \(\mathrm{e}^x>0\) pour tout réel \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(3x+2\).

\(3x+2>0\iff x>-\dfrac23\).

La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(\left]-\infty;-\dfrac23\right]\) puis croissante sur \(\left[-\dfrac23;+\infty\right[\) : elle n'est pas croissante sur \(\mathbb{R}\).

Contre-exemple : \(-1<-\dfrac23\) mais \(f(-1)\approx -1{,}47>f\left(-\dfrac23\right)\approx -1{,}54\), ce qui contredit une fonction croissante.

Question 2.b

La tangente au point d'abscisse \(a=0\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).

\(f(0)=(3\times 0-1)\mathrm{e}^0=-1\times 1=-1\).

\(f'(0)=(3\times 0+2)\mathrm{e}^0=2\times 1=2\).

D'où \(y=2(x-0)+(-1)\), soit \(y=2x-1\).