Annales · Épreuve anticipée de maths › spé maths
2026Épreuve anticipée · spé maths · Amérique du Nord
Voie générale, avec spécialité mathématiques · 1er juin 2026
Mis à jour le 22 octobre 2026
Automatismes QCM · 6 points · 9 questions
Aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. Calculatrice interdite.
Question 1
Le nombre \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2} \times 4\) est égal à :
- 8
- \(\dfrac{13}{2}\)
- 4
- \(\dfrac{16}{8}\)
Voir la correction de la question 1
Bonne réponse : B
On respecte les priorités : la multiplication avant l'addition.
\(\dfrac32\times 4=\dfrac{12}{2}=6\), puis \(\dfrac12+6=\dfrac12+\dfrac{12}{2}=\dfrac{13}{2}\).
Piège : additionner d'abord \(\dfrac12+\dfrac32=2\) puis multiplier par 4 donnerait 8 (réponse A), ce qui ne respecte pas les priorités opératoires.
Question 2
Le volume de la partie visible d'un iceberg est d'environ 10 % de son volume total.
Si la partie visible d'un iceberg est de \(150\), quel sera le volume total de cet iceberg ?
- \(1350\)
- \(1500\)
- \(15\)
- \(135\)
Voir la correction de la question 2
Bonne réponse : B
La partie visible, \(150\), représente \(10\) % du volume total \(V\), donc \(0{,}1\times V=150\).
\(V=\dfrac{150}{0{,}1}=1500\).
Vérification : \(10\) % de \(1500\) font bien \(150\).
Piège : calculer \(10\) % de \(150\) (soit \(15\)) ou \(90\) % de \(150\) (soit \(135\)) revient à chercher une autre quantité. Le volume total doit être plus grand que la partie visible.
Question 3
Le prix d'un article est multiplié par 0,845. Cela signifie que le prix de cet article a :
- augmenté de 84,5 %
- baissé de 1,55 %
- augmenté de 15,5 %
- baissé de 15,5 %
Voir la correction de la question 3
Bonne réponse : D
Une évolution de taux \(t\) correspond au coefficient multiplicateur \(1+\dfrac{t}{100}\).
\(0{,}845=1-0{,}155=1+\dfrac{-15{,}5}{100}\) : le taux vaut \(-15{,}5\) %, c'est une baisse de \(15{,}5\) %.
Piège : un coefficient inférieur à 1 correspond toujours à une baisse, ce qui élimine A et C ; et \(0{,}155=\dfrac{15{,}5}{100}\) correspond à \(15{,}5\) %, pas à \(1{,}55\) % (réponse B).
Question 4
On considère la fonction \(A\) définie pour tout réel \(x\) par :
\[A(x)=(x+5)(x+8)\]Le tableau de signes de \(A(x)\) sur \(\mathbb{R}\) est :
Voir la correction de la question 4
Bonne réponse : C
\(A(x)=(x+5)(x+8)\) est un produit de deux facteurs affines qui s'annulent en \(-5\) et en \(-8\).
On étudie le signe de chaque facteur. Sur \(]-\infty\,;-8[\), les deux facteurs sont négatifs, donc le produit est positif. Sur \(]-8\,;-5[\), \(x+8>0\) et \(x+5<0\), donc le produit est négatif. Sur \(]-5\,;+\infty[\), les deux facteurs sont positifs, donc le produit est positif.
Le tableau de signes est donc : \(+\), puis \(-\), puis \(+\), avec des zéros en \(-8\) et en \(-5\) : c'est le tableau C.
À retenir : un trinôme de coefficient dominant \(a=1>0\) est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Les autres tableaux sont à écarter : A a des signes inversés, B n'a qu'une seule racine, et D place les zéros en \(5\) et \(8\) au lieu de \(-5\) et \(-8\) (\(x+5=0\iff x=-5\)).
Question 5
Un singe choisit une lettre au hasard parmi les lettres de l'alphabet.
On note les évènements :
\(V\) : « Le singe choisit une voyelle. »
\(M\) : « Le singe choisit une des lettres du mot SINGE. »
Rappel : L'alphabet est constitué de 26 lettres dont les voyelles sont : A, E, I, O, U, Y.
On note \(P_{M}(V)\) la probabilité que le singe choisisse une voyelle sachant qu'il a choisi une lettre du mot SINGE. On peut alors affirmer que \(P_{M}(V)\) vaut :
- \(\dfrac{6}{26}\)
- \(\dfrac{2}{5}\)
- \(\dfrac{2}{6}\)
- \(\dfrac{5}{6}\)
Voir la correction de la question 5
Bonne réponse : B
On cherche la probabilité d'obtenir une voyelle sachant que la lettre choisie est dans SINGE : on se restreint aux lettres de ce mot.
SINGE comporte \(5\) lettres : S, I, N, G, E. Parmi elles, \(2\) sont des voyelles : I et E.
Les lettres sont choisies au hasard, donc \(P_M(V)=\dfrac25\).
Piège : \(\dfrac{6}{26}\) est la probabilité \(P(V)\) sur tout l'alphabet, sans condition (réponse A).
Question 6
Soit \(f\) une fonction affine, dont on a tracé la représentation graphique dans le repère ci-contre.
Une expression algébrique de \(f\) est :
- \(f(x) = -x + 30\)
- \(f(x) = 30 x + 3\)
- \(f(x) = -10 x + 30\)
- \(f(x) = -\dfrac{1}{10} x + 30\)
Voir la correction de la question 6
Bonne réponse : C
La droite passe par les points \((0\,;30)\) et \((3\,;0)\).
L'ordonnée à l'origine vaut \(30\).
Le coefficient directeur vaut \(m=\dfrac{0-30}{3-0}=-10\).
Donc \(f(x)=-10x+30\).
Vérification : \(f(3)=-30+30=0\). La droite descend de gauche à droite, donc le coefficient directeur est négatif, ce qui élimine B.
Question 7
La forme développée et réduite de l'expression \((x+2)^{2}-(1-x)^{2}\) vaut :
- \(2 x^{2}+3\)
- \(6 x+3\)
- \(2 x+5\)
- \(2 x^{2}+2 x+3\)
Voir la correction de la question 7
Bonne réponse : B
On développe chaque carré avec les identités remarquables \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) et \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
\((x+2)^2=x^2+4x+4\) et \((1-x)^2=1-2x+x^2\).
\((x+2)^2-(1-x)^2=x^2+4x+4-1+2x-x^2=6x+3\).
Piège : le signe moins devant la parenthèse change tous les signes de \((1-x)^2\). Les termes en \(x^2\) se compensent, donc A et D sont exclues.
Question 8
L'équation \(2(x-4)-(2 x+1)=0\) admet :
- Deux solutions : 4 et \(\dfrac{1}{2}\)
- Deux solutions : 4 et \(-\dfrac{1}{2}\)
- Aucune solution
- Une infinité de solutions
Voir la correction de la question 8
Bonne réponse : C
On développe : \(2(x-4)-(2x+1)=2x-8-2x-1=-9\).
L'équation devient \(-9=0\), qui est fausse quel que soit \(x\) : l'équation n'a aucune solution.
Piège : les termes en \(x\) s'éliminent. L'équation revient à \(0\times x=9\), impossible ; on aurait une infinité de solutions seulement si l'on obtenait \(0=0\).
Question 9
On considère le nombre réel : \(\text{E} =\dfrac{2 \times 3^{2}}{27 \times 2^{3}}\). On peut affirmer que E est égal à :
- \(\dfrac{1}{9}\)
- \(\dfrac{1}{12}\)
- 12
- \(\dfrac{1}{6}\)
Voir la correction de la question 9
Bonne réponse : B
On écrit tout avec des puissances de \(2\) et de \(3\) : \(27=3^3\).
\(E=\dfrac{2\times 3^2}{3^3\times 2^3}=\dfrac{2}{2^3}\times\dfrac{3^2}{3^3}=2^{1-3}\times 3^{2-3}=2^{-2}\times 3^{-1}=\dfrac{1}{4\times 3}=\dfrac{1}{12}\).
Vérification numérique : \(\dfrac{2\times 9}{27\times 8}=\dfrac{18}{216}=\dfrac{1}{12}\).
Exercice 1 (6 pts)
Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher.
Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer le joueur doit d'abord payer 1 euro.
Ensuite,
le joueur tire une première boule qu'il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l'urne;
le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l'urne.
Voici les récompenses qu'il obtient :
si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit 3 euros ;
si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit 1 euro ;
sinon il ne reçoit pas d'argent.
Partie A
Dans cette partie, on considère que cette urne contient 1 boule rouge et 9 boules vertes.
On note :
\(R_{1}\) l'événement : « La première boule tirée est rouge. »
\(R_{2}\) l'événement : « La deuxième boule tirée est rouge. »
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.
On note \(X\) la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de 1 euro.
Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \(X\).
Montrer que \(P(X=-1)=\dfrac{18}{100}\).
Recopier sur votre feuille et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de \(X\) :
\(k\) \(P(X=k)\) Calculer l'espérance de \(X\). Interpréter le résultat.
Partie B
Dans cette partie, on considère que cette urne contient maintenant \(n\) boules rouges et \(10-n\) boules vertes où \(n\) est un nombre entier naturel avec \(0 \leq n \leq 10\).
On note \(Y\) la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.
Démontrer que \(E(Y)=\dfrac{4 n^{2}-20 n}{100}\).
On expliquera la démarche mise en œuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
Pour combien de boules rouges dans l'urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain?
Voir le corrigé détaillé de l'exercice 1
Partie A · question 1
Les boules sont indiscernables au toucher : on est en situation d'équiprobabilité. Avec \(1\) boule rouge sur \(10\), \(P(R_1)=\dfrac{1}{10}\) et \(P\left(\overline{R_1}\right)=\dfrac{9}{10}\).
Les tirages se font avec remise : l'urne retrouve sa composition initiale au second tirage, donc les probabilités sont les mêmes sur toutes les branches du second niveau, quel que soit le premier tirage.
Partie A · question 2.a
Le joueur paie \(1\) euro, qui compte négativement dans le gain algébrique. Il reçoit ensuite \(3\) euros (deux rouges), \(1\) euro (deux vertes) ou \(0\) euro (sinon).
\(X=3-1=2\) (deux rouges), \(X=1-1=0\) (deux vertes), \(X=0-1=-1\) (une rouge et une verte).
\(X\) prend donc les valeurs \(-1\), \(0\) et \(2\).
Partie A · question 2.b
\(\{X=-1\}\) correspond à « une rouge et une verte », dans un ordre ou dans l'autre :
\(\{X=-1\}=\left(R_1\cap\overline{R_2}\right)\cup\left(\overline{R_1}\cap R_2\right)\).
Ces deux événements sont incompatibles, donc leurs probabilités s'ajoutent. On multiplie les probabilités le long de chaque chemin de l'arbre :
\(P(X=-1)=\dfrac{1}{10}\times\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{10}\times\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{100}+\dfrac{9}{100}=\dfrac{18}{100}\).
Partie A · question 2.c
\(P(X=2)=P(R_1\cap R_2)=\dfrac{1}{10}\times\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{100}\).
\(P(X=0)=P\left(\overline{R_1}\cap\overline{R_2}\right)=\dfrac{9}{10}\times\dfrac{9}{10}=\dfrac{81}{100}\).
| \(k\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=k)\) | \(\dfrac{18}{100}\) | \(\dfrac{81}{100}\) | \(\dfrac{1}{100}\) |
Vérification : \(\dfrac{18}{100}+\dfrac{81}{100}+\dfrac{1}{100}=\dfrac{100}{100}=1\).
Partie A · question 2.d
\(E(X)=\sum x_k\,P(X=x_k)=(-1)\times\dfrac{18}{100}+0\times\dfrac{81}{100}+2\times\dfrac{1}{100}=\dfrac{-18+0+2}{100}=\dfrac{-16}{100}=-0{,}16\).
Interprétation : en jouant un très grand nombre de fois, le joueur perd en moyenne \(0{,}16\) euro (soit \(16\) centimes) par partie. Le jeu est défavorable au joueur et favorable au forain.
Partie B · question 1
La démarche est la même qu'en partie A, avec \(P(R)=\dfrac{n}{10}\) et \(P(\overline{R})=\dfrac{10-n}{10}\) à chaque tirage.
\(Y\) prend encore les valeurs \(-1\), \(0\) et \(2\).
\(P(Y=2)=P(R_1\cap R_2)=\dfrac{n}{10}\times\dfrac{n}{10}=\dfrac{n^2}{100}\).
\(P(Y=-1)=\dfrac{n}{10}\times\dfrac{10-n}{10}+\dfrac{10-n}{10}\times\dfrac{n}{10}=\dfrac{2n(10-n)}{100}\).
Inutile de calculer \(P(Y=0)\) : dans l'espérance, elle est multipliée par la valeur \(0\).
\(E(Y)=2\times\dfrac{n^2}{100}+(-1)\times\dfrac{2n(10-n)}{100}=\dfrac{2n^2-20n+2n^2}{100}=\dfrac{4n^2-20n}{100}\).
On retrouve bien l'expression demandée.
Partie B · question 2
Le jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle : \(E(Y)=0\).
\(\dfrac{4n^2-20n}{100}=0\iff 4n^2-20n=0\iff 4n(n-5)=0\iff n=0\text{ ou }n=5\).
Pour \(n=0\), l'urne ne contient aucune boule rouge : le joueur tire toujours deux vertes, gagne \(1\) euro en payant \(1\) euro, il n'y a plus de hasard.
Le cas intéressant est donc \(n=5\) : avec \(5\) boules rouges (et \(5\) vertes), le jeu est équitable.
Vérification : \(E(Y)=\dfrac{4\times 25-20\times 5}{100}=\dfrac{100-100}{100}=0\).
Exercice 2 (4 pts)
Pour réduire sa facture d'électricité, Camille a décidé de faire poser des panneaux solaires sur le toit de sa maison.
Elle souhaite analyser sa production et estimer le temps nécessaire pour rentabiliser cet investissement.
Les deux parties suivantes sont indépendantes.
Partie A
Lors d'une belle journée ensoleillée, la puissance électrique en kilowatt (kW) des panneaux solaires de Camille peut être modélisée en fonction de l'heure par une fonction \(f\). On admet que \(f\) est définie sur \([0 ; 24]\) et on donne sa courbe représentative \(\mathcal{C}_{f}\) ci-dessous.
Avec la précision permise par le graphique :
Donner la puissance électrique des panneaux solaires à 11 h 00.
Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geqslant 5\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
Partie B
Le coût pour 1 kilowattheure (kWh) consommé au tarif réglementé était de 0,15 € en 2020. On admet que ce tarif réglementé augmente de 6 % chaque année.
On note \(c_{n}\) le coût en euros ( €) pour 1 kWh consommé durant l'année \(2020+n\), avec \(n\) un entier naturel. On a alors \(c_{0}=0{,}15\).
Déterminer la nature de la suite \(\left(c_{n}\right)\). On précisera sa raison.
Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(c_{n}\) en fonction de \(n\).
Donner le calcul permettant d'obtenir le coût pour 1 kWh consommé en 2030. II n'est pas demandé d'effectuer ce calcul.
On admet que, chaque année depuis 2020, l'utilisation des panneaux solaires de Camille lui a permis d'éviter l'achat de 2000 par an. L'installation des panneaux solaires en janvier 2020 a coûté à Camille 7000 €. On considère le programme Python ci-contre.
Dans le contexte de l'énoncé, que représentent les variables
cetSdu programme ?On exécute le programme ci-contre.
II affiche 16.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
n = 0 c = 0.15 S = 0 while S < 7000 : S = S + c*2000 n = n+1 c = 1.06* c print(n)
Voir le corrigé détaillé de l'exercice 2
Partie A · question 1
On lit l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse \(11\) (voir le tracé en tirets).
À \(11\) h, la puissance est d'environ \(5{,}75\) kW, avec la précision permise par le graphique.
Partie A · question 2
Résoudre \(f(x)\geqslant 5\) graphiquement, c'est trouver les abscisses des points de la courbe situés sur ou au-dessus de la droite horizontale d'équation \(y=5\).
On lit approximativement : \(f(x)\geqslant 5\) pour \(x\in[10{,}5\,;15{,}5]\).
Interprétation : la puissance des panneaux est d'au moins \(5\) kW entre environ \(10\) h \(30\) et \(15\) h \(30\), soit pendant environ \(5\) heures dans la journée.
Partie B · question 1
Une augmentation de \(6\) % correspond au coefficient multiplicateur \(1+\dfrac{6}{100}=1{,}06\).
Chaque année, le coût est celui de l'année précédente multiplié par \(1{,}06\) : \(c_{n+1}=1{,}06\,c_n\).
La suite \((c_n)\) est donc géométrique de raison \(q=1{,}06\), de premier terme \(c_0=0{,}15\).
Partie B · question 2
Pour une suite géométrique, \(c_n=c_0\times q^n\).
Pour tout entier naturel \(n\) : \(c_n=0{,}15\times 1{,}06^n\).
Partie B · question 3
L'année \(2030\) correspond à \(2020+10\), donc \(n=10\).
Le coût du kWh en \(2030\) est \(c_{10}=0{,}15\times 1{,}06^{10}\) (en euros).
Partie B · question 4.a
Au départ, \(c=0{,}15\) est le coût de \(1\) kWh en \(2020\). Dans la boucle, \(c\) est multiplié par \(1{,}06\) à chaque tour : la variable \(c\) représente le coût (en euros) de \(1\) kWh pour l'année considérée, \(2020+n\).
La variable \(S\) reçoit à chaque tour \(c\times 2000\) : c'est la somme économisée cette année-là (\(2000\) kWh non achetés, au prix de \(c\) euros le kWh). \(S\) représente donc l'économie totale cumulée, en euros, réalisée grâce aux panneaux depuis \(2020\).
La boucle continue tant que \(S<7000\), c'est-à-dire tant que l'installation n'est pas remboursée.
Partie B · question 4.b
Le programme affiche la valeur de \(n\) à la sortie de la boucle, c'est-à-dire quand l'économie cumulée \(S\) atteint ou dépasse \(7000\) euros, le coût de l'installation.
Le résultat \(16\) signifie qu'il faut \(16\) années d'économies (de \(2020\) à \(2035\)) pour que l'économie cumulée dépasse \(7000\) euros : d'après ce modèle, l'investissement est rentabilisé au bout de \(16\) ans, soit début \(2036\).
Exercice 3 (4 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)=(4 x-4) \mathrm{e}^{-0{,}5 x}+5\]On note \(\mathcal{C}_{f}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
On admet que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x)=(-2 x+6) \mathrm{e}^{-0{,}5 x}\).
Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\) puis en déduire les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
La courbe \(\mathcal{C}_{f}\) admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.
Voir le corrigé détaillé de l'exercice 3
Question 1
\(f\) s'écrit \(u\times v+5\) avec \(u(x)=4x-4\), donc \(u'(x)=4\), et \(v(x)=\mathrm{e}^{-0{,}5x}\), donc \(v'(x)=-0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}\). La dérivée de la constante \(5\) est nulle.
Formule du produit : \((uv)'=u'v+uv'\).
Pour tout réel \(x\) :
\(f'(x)=4\mathrm{e}^{-0{,}5x}+(4x-4)\times(-0{,}5)\mathrm{e}^{-0{,}5x}\)
\(=\left[4-0{,}5(4x-4)\right]\mathrm{e}^{-0{,}5x}\)
\(=\left[4-2x+2\right]\mathrm{e}^{-0{,}5x}\)
\(=(-2x+6)\mathrm{e}^{-0{,}5x}\).
On retrouve l'expression de l'énoncé.
Question 2
La fonction exponentielle est strictement positive : pour tout \(x\), \(\mathrm{e}^{-0{,}5x}>0\). Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(-2x+6\).
\(-2x+6=0\iff x=3\) et \(-2x+6>0\iff x<3\).
Donc \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty\,;3[\), \(f'(3)=0\) et \(f'(x)<0\) sur \(]3\,;+\infty[\).
On en déduit que \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;3]\) et décroissante sur \([3\,;+\infty[\) : elle admet un maximum en \(x=3\).
Question 3
La tangente à \(\mathcal{C}_f\) est horizontale aux points où \(f'(x)=0\). Comme \(\mathrm{e}^{-0{,}5x}>0\), cela équivaut à \(-2x+6=0\), soit \(x=3\) uniquement.
\(f(3)=(4\times 3-4)\mathrm{e}^{-0{,}5\times 3}+5=8\mathrm{e}^{-1{,}5}+5\).
Oui, la courbe admet un seul point à tangente horizontale, de coordonnées exactes \(\left(3\,;8\mathrm{e}^{-1{,}5}+5\right)\).
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