2026Épreuve anticipée · spé maths · Polynésie

Partie A · question 1

On traduit chaque donnée de l'énoncé :

• un quart des clients font la randonnée : \(P(R)=\dfrac14\), donc \(P(\overline{R})=\dfrac34\) ;
• parmi ceux qui font la randonnée, la moitié fait du nautique : \(P_R(N)=\dfrac12\), donc \(P_R(\overline{N})=\dfrac12\) ;
• parmi les autres, un tiers fait du nautique : \(P_{\overline{R}}(N)=\dfrac13\), donc \(P_{\overline{R}}(\overline{N})=\dfrac23\).

L'arbre complété comporte donc deux niveaux. Du départ partent deux branches, \(R\) (\(\dfrac14\)) et \(\overline{R}\) (\(\dfrac34\)). De \(R\) partent \(N\) (\(\dfrac12\)) et \(\overline{N}\) (\(\dfrac12\)). De \(\overline{R}\) partent \(N\) (\(\dfrac13\)) et \(\overline{N}\) (\(\dfrac23\)).

Vérification : sur les branches issues d'un même nœud, la somme des probabilités vaut \(1\).

Partie A · question 2

Les évènements \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\(P(N)=P(R\cap N)+P(\overline{R}\cap N)\).

On multiplie les probabilités le long de chaque chemin :

\(P(N)=\dfrac14\times\dfrac12+\dfrac34\times\dfrac13=\dfrac18+\dfrac14=\dfrac18+\dfrac28=\dfrac38\).

Partie A · question 3

On cherche \(P_N(R)\). Par définition d'une probabilité conditionnelle :

\(P_N(R)=\dfrac{P(R\cap N)}{P(N)}=\dfrac{\frac18}{\frac38}=\dfrac18\times\dfrac83=\dfrac13\).

Sachant que le client a fait du nautique, la probabilité qu'il ait fait la randonnée le matin est \(\dfrac13\).

Partie A · question 4

Deux évènements \(R\) et \(N\) sont indépendants si et seulement si \(P(R\cap N)=P(R)\times P(N)\).

\(P(R\cap N)=\dfrac14\times\dfrac12=\dfrac18\) et \(P(R)\times P(N)=\dfrac14\times\dfrac38=\dfrac{3}{32}\).

Or \(\dfrac18=\dfrac{4}{32}\neq\dfrac{3}{32}\) : les évènements \(R\) et \(N\) ne sont pas indépendants.

Autre façon de le voir : \(P_R(N)=\dfrac12\neq P(N)=\dfrac38\).

Partie B · question 1

La relation \(u_{n+1}=1{,}025\,u_n\) signifie qu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

La suite \((u_n)\) est donc géométrique, de raison \(q=1{,}025\) et de premier terme \(u_0=400\).

Partie B · question 2

Multiplier par \(1{,}025=1+\dfrac{2{,}5}{100}\) correspond à une augmentation de \(2{,}5\) %.

Le taux d'évolution annuel de la fréquentation est donc de \(2{,}5\) %.

Partie B · question 3.a

On cherche le plus petit \(n\) tel que \(u_n\geqslant k\) :

• \(u\) contient le terme courant et \(n\) son indice, initialisés à \(u_0=400\) et \(0\) ;
• la boucle continue tant que le seuil n'est pas atteint, c'est-à-dire tant que \(u
• à chaque tour, l'indice augmente de \(1\) et le terme est multiplié par \(1{,}025\) ;
• à la sortie de la boucle, \(n\) est le premier indice pour lequel \(u\geqslant k\).

Programme complété :

def seuil(k) :
    u = 400
    n = 0
    while u < k :
        n = n + 1
        u = u * 1.025
    return n

Partie B · question 3.b

Avec \(k=600\) : on cherche le plus petit \(n\) tel que \(400\times 1{,}025^n\geqslant 600\), soit \(1{,}025^n\geqslant\dfrac{600}{400}=1{,}5\).

Dans le tableau : \(1{,}025^{16}\approx 1{,}48<1{,}5\) et \(1{,}025^{17}\approx 1{,}52\geqslant 1{,}5\).

Donc seuil(600) renvoie 17.

Interprétation : selon ce modèle, le club atteindra (au moins) \(600\) clients dix-sept ans après 2025, soit en \(2025+17=2042\).

Partie A · question 1

La fonction \(f\) est de la forme \(u\times v\), avec \(u(x)=\dfrac12x+1\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-x}\). On utilise \((uv)'=u'v+uv'\).

\(u'(x)=\dfrac12\) et \(v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}\).

\(f'(x)=\dfrac12\,\mathrm{e}^{-x}+\left(\dfrac12x+1\right)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\left(\dfrac12-\dfrac12x-1\right)\mathrm{e}^{-x}=\left(-\dfrac12x-\dfrac12\right)\mathrm{e}^{-x}\).

Piège : la dérivée de \(\mathrm{e}^{-x}\) est \(-\mathrm{e}^{-x}\) (dérivée de la fonction composée), et non \(\mathrm{e}^{-x}\).

Partie A · question 2

Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{-x}>0\) : le signe de \(f'(x)\) est celui de \(-\dfrac12x-\dfrac12\).

\(-\dfrac12x-\dfrac12\geqslant 0\iff -\dfrac12x\geqslant\dfrac12\iff x\leqslant -1\).

Donc \(f'(x)>0\) pour \(x<-1\), \(f'(-1)=0\) et \(f'(x)<0\) pour \(x>-1\).

Valeur en \(-1\) : \(f(-1)=\left(-\dfrac12+1\right)\mathrm{e}^{1}=\dfrac{\mathrm{e}}{2}\approx\dfrac{2{,}7}{2}=1{,}35\) (avec l'aide aux calculs).

La fonction \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-1]\) et décroissante sur \([-1\,;+\infty[\). Elle admet un maximum égal à \(\dfrac{\mathrm{e}}{2}\) en \(x=-1\).

Partie A · question 3

D'après la question précédente, le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(\dfrac{\mathrm{e}}{2}\approx 1{,}35\).

Comme \(\mathrm{e}<4\), on a \(\dfrac{\mathrm{e}}{2}<2\), donc \(f(x)\leqslant\dfrac{\mathrm{e}}{2}<2\) pour tout réel \(x\).

L'affirmation est vraie.

Partie A · question 4

L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse \(0\) est \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\).

\(f(0)=\left(0+1\right)\mathrm{e}^0=1\) et \(f'(0)=\left(0-\dfrac12\right)\mathrm{e}^0=-\dfrac12\).

La tangente a pour équation \(y=-\dfrac12x+1\).

Partie B · question 1

Le point M\((0\,;1)\) appartient à \((\mathcal{C}_g)\), donc \(g(0)=1\).

Or \(g(0)=0{,}5\times 0^2+b\times 0+c=c\).

Donc \(c=1\).

Partie B · question 2

La dérivée de \(g\) est \(g'(x)=0{,}5\times 2x+b=x+b\), donc le nombre dérivé en \(0\) est \(g'(0)=b\).

Les deux courbes ont la même tangente en M : elles ont le même nombre dérivé en \(0\), c'est-à-dire \(g'(0)=f'(0)=-\dfrac12\) (calculé en A.4).

Donc \(b=-\dfrac12=-0{,}5\).

Ainsi \(g(x)=0{,}5x^2-0{,}5x+1\).

Contrôle sur la figure : \(g(2)=2-1+1=2\) et \(g(3)=4{,}5-1{,}5+1=4\), ce qui correspond aux points \((2\,;2)\) et \((3\,;4)\) de \((\mathcal{C}_g)\).