2026Épreuve anticipée · tronc commun · Polynésie

Partie A · question 1

Au rang 0, la croix est à l'ordonnée \(500\), quantité produite par l'entreprise A en 2020 (le point rond, lui, est à \(600\), quantité de B).

De plus, A réduit ses déchets de \(15\) tonnes chaque année : on retranche toujours la même quantité, donc les points sont alignés. C'est le cas des croix (\(500\), \(485\), \(470\), etc.), alors que les points ronds de B, qui baisse de \(8\) % par an, ne sont pas alignés.

Les croix représentent donc bien l'entreprise A.

Partie A · question 2

On cherche le premier rang pour lequel le point de B est sous la croix de A.

Au rang 3, le point de B est encore au-dessus de la croix de A.

Au rang 4, la croix est au-dessus du point : B produit moins que A. Le rang 4 correspond à l'année \(2020+4=2024\).

Vérification par le calcul : au rang 4, \(600\times 0{,}92^4\approx 430\) tonnes pour B et \(500-4\times 15=440\) tonnes pour A.

À partir de 2024, l'entreprise B produit moins de déchets que l'entreprise A.

Partie A · question 3

L'objectif est de réduire de moitié : passer de \(500\) à \(\dfrac{500}{2}=250\) tonnes ou moins.

L'année 2030 correspond au rang \(2030-2020=10\). Sur le graphique, la croix du rang 10 est à une ordonnée d'environ \(350\), supérieure à \(250\).

Non, l'entreprise A n'atteint pas son objectif en 2030.

Partie B · question 1.a

\(u_1=u_0-15=500-15=485\).

Interprétation : selon le modèle, l'entreprise A produit \(485\) tonnes de déchets plastiques en 2021 (\(2020+1\)).

Partie B · question 1.b

\(u_{n+1}\) est la quantité de déchets une année après avoir produit \(u_n\). L'entreprise réduit ses déchets de \(15\) tonnes par an, donc pour tout entier naturel \(n\) :

\(u_{n+1}=u_n-15\).

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre \(-15\) : la suite \((u_n)\) est arithmétique, de raison \(r=-15\) (et de premier terme \(u_0=500\)).

Partie B · question 1.c

Chaque terme s'obtient en retranchant \(15\) au terme précédent. En C4, le terme précédent est en C3, donc on saisit :

\(\texttt{=C3-15}\)

puis on recopie vers le bas. Les références relatives se décalent d'une ligne à chaque recopie (C4 donne C5, etc.).

Partie B · question 1.d

Réduire de moitié signifie atteindre \(\dfrac{500}{2}=250\) tonnes ou moins.

On lit dans le tableur : \(u_{16}=260>250\) et \(u_{17}=245\leqslant 250\).

On peut le retrouver par le calcul, avec le terme général d'une suite arithmétique \(u_n=u_0+nr\) : \(u_n=500-15n\leqslant 250\iff 15n\geqslant 250\iff n\geqslant\dfrac{250}{15}\approx 16{,}7\), donc \(n=17\).

L'entreprise A atteindra son objectif au bout de \(17\) ans, soit en 2037.

Partie B · question 2.a

\(v_{n+1}\) est obtenu à partir de \(v_n\) par une réduction de \(8\) %.

Diminuer de \(8\) %, c'est multiplier par le coefficient multiplicateur \(1-\dfrac{8}{100}=1-0{,}08=0{,}92\).

Donc, pour tout entier naturel \(n\) : \(v_{n+1}=0{,}92\,v_n\).

Partie B · question 2.b

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre \(0{,}92\) : la suite \((v_n)\) est géométrique, de raison \(q=0{,}92\) (et de premier terme \(v_0=600\)).

Ce n'est pas une suite arithmétique : la différence \(v_{n+1}-v_n=-0{,}08\,v_n\) n'est pas constante.

Partie B · question 2.c

Pour une suite géométrique de premier terme \(v_0\) et de raison \(q\) : \(v_n=v_0\times q^n\).

Ici, pour tout entier naturel \(n\) : \(v_n=600\times 0{,}92^n\).

Partie B · question 2.d

Réduire de moitié, c'est passer de \(600\) à \(\dfrac{600}{2}=300\) tonnes ou moins :

\(600\times 0{,}92^n\leqslant 300\iff 0{,}92^n\leqslant\dfrac{300}{600}=0{,}5\).

D'après le tableau : \(0{,}92^8\approx 0{,}51>0{,}5\) et \(0{,}92^9\approx 0{,}47<0{,}5\).

Le plus petit entier \(n\) qui convient est \(n=9\). L'entreprise B aura atteint son objectif au bout de \(9\) ans, soit en 2029 (\(2020+9\)).

Question 1

On utilise les totaux du tableau.

Colonne des graines de basilic : \(x+450=600\), donc \(x=600-450=150\).

Ligne des graines qui ne germent pas : \(450+y=750\), donc \(y=750-450=300\).

Vérification : colonne des graines d'estragon, \(100+300=400\), et ligne des graines qui germent, \(150+100=250\).

Interprétation : \(x=150\) graines de basilic germent, et \(y=300\) graines d'estragon ne germent pas.

Question 2.a

On suppose que chaque graine a la même probabilité d'être semée (équiprobabilité), donc une probabilité est une proportion.

\(P(B)=\dfrac{600}{1000}=0{,}6\) et \(P(E)=\dfrac{400}{1000}=0{,}4\).

Contrôle : \(B\) et \(E\) sont contraires, donc \(0{,}6+0{,}4=1\).

Question 2.b

\(E\cap G\) est l'évènement : « la graine semée est une graine d'estragon et elle germe ».

Il y a \(100\) graines d'estragon qui germent, donc :

\(P(E\cap G)=\dfrac{100}{1000}=0{,}1\).

Question 2.c

On cherche \(P_G(E)\) : on se restreint aux graines qui germent, au nombre de \(250\).

Parmi elles, \(100\) sont des graines d'estragon :

\(P_G(E)=\dfrac{100}{250}=\dfrac{2}{5}=0{,}4\).

Question 2.d

On cherche \(P_E(G)\) : on se restreint aux graines d'estragon, au nombre de \(400\).

Parmi elles, \(100\) germent :

\(P_E(G)=\dfrac{100}{400}=\dfrac14=0{,}25\).

Piège : ne pas confondre \(P_G(E)\) et \(P_E(G)\), l'évènement de départ n'est pas le même.

Question 2.e

Vraie.

Dire que la germination ne dépend pas du type de graine, c'est dire que \(G\) et \(E\) sont indépendants.

On a trouvé \(P_G(E)=0{,}4\) et \(P(E)=0{,}4\) : \(P_G(E)=P(E)\), donc \(G\) et \(E\) sont indépendants.

Autre vérification : \(P(G)=\dfrac{250}{1000}=0{,}25\) et \(P(G)\times P(E)=0{,}25\times 0{,}4=0{,}1=P(E\cap G)\).

Comme \(B\) est l'évènement contraire de \(E\), \(G\) et \(B\) sont aussi indépendants : la proportion de graines qui germent est la même (\(25\) %) pour le basilic (\(\dfrac{150}{600}=0{,}25\)) et pour l'estragon.

Question 1.a

On repère l'abscisse \(x=5\) sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée : \(f(5)\approx 180\).

Interprétation : à la fin de la cinquième semaine, il y a environ \(180\) malades.

Question 1.b

Le pic de l'épidémie correspond au maximum de la courbe. Il est atteint pour \(x=8\) : c'est la huitième semaine de l'épidémie.

Cette semaine-là, on lit une ordonnée comprise entre \(240\) et \(280\), soit environ \(260\) malades.

Question 2.a

\(f(1)=-1^3+12\times 1^2+4=-1+12+4=15\).

Interprétation : selon ce modèle, il y a \(15\) malades à la fin de la première semaine.

Question 2.b

La fonction \(f\) est dérivable sur \([0;12]\). On dérive terme à terme, avec \((x^n)'=nx^{n-1}\) et la dérivée d'une constante nulle :

\(f'(x)=-3x^2+12\times 2x+0=-3x^2+24x\).

On développe l'expression proposée : \(3x(-x+8)=-3x^2+24x\).

Les deux expressions sont égales, donc \(f'(x)=3x(-x+8)\).

Question 2.c

Valeurs aux bornes : \(f(0)=4\) et \(f(12)=-12^3+12\times 12^2+4=-12^3+12^3+4=4\).

Signe de \(f'(x)\), produit de \(3x\) et de \(-x+8\) :

• \(3x>0\) pour \(x>0\), et \(3x=0\) pour \(x=0\) ;
• \(-x+8=0\iff x=8\) et \(-x+8>0\iff x<8\).

Par la règle des signes d'un produit, \(f'(x)\geqslant 0\) sur \([0;8]\) et \(f'(x)\leqslant 0\) sur \([8;12]\), avec \(f'(0)=f'(8)=0\). La fonction \(f\) est croissante sur \([0;8]\) puis décroissante sur \([8;12]\).

Question 2.d

D'après le tableau de variations, le maximum est atteint en \(x=8\).

\(f(8)=-8^3+12\times 8^2+4=-512+768+4=260\).

La valeur exacte du nombre de malades la semaine du pic est \(260\), ce qui confirme la lecture graphique (entre \(240\) et \(280\)).