2026Épreuve anticipée · tronc commun · Métropole (septembre)

Question 1.a

Au début de l'expérience, \(t=0\).

\(f(0)=10\times 1{,}15^0=10\times 1=10\), car tout nombre non nul à la puissance \(0\) vaut \(1\).

Au début, la population compte \(10\) milliers de bactéries, soit \(10\,000\) bactéries.

Question 1.b

Au bout d'une heure, \(t=1\).

\(f(1)=10\times 1{,}15^1=10\times 1{,}15=11{,}5\).

La population compte alors \(11{,}5\) milliers de bactéries, soit \(11\,500\) bactéries.

Question 2

Une fonction de la forme \(t\mapsto k\times a^t\) avec \(k>0\) et \(a>0\) est croissante si \(a>1\) et décroissante si \(0

Ici \(k=10>0\) et \(a=1{,}15>1\) : la fonction \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\).

Cela est cohérent avec les résultats précédents : \(f(0)=10

Question 3

\(t=1{,}5\) correspond à \(1{,}5\) heure, soit \(1\) h \(30\) min, et \(f(t)\) est exprimé en milliers de bactéries.

\(f(1{,}5)\approx 12{,}332\) signifie qu'au bout d'une heure et demie, la population compte environ \(12{,}332\) milliers de bactéries, soit environ \(12\,332\) bactéries.

Question 1

La valeur diminue de \(100\) € chaque année :

\(u_1=u_0-100=1060-100=960\) et \(u_2=u_1-100=960-100=860\).

Pour \(n=2\), l'année est \(2025+2=2027\) : en 2027, le téléphone vaudra \(860\) €.

Question 2

Chaque année, la valeur diminue de \(100\) €, donc pour tout entier naturel \(n\) :

\(u_{n+1}=u_n-100\).

Question 3

On peut écrire \(u_{n+1}=u_n+(-100)\) : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

La suite \((u_n)\) est donc arithmétique, de raison \(r=-100\) et de premier terme \(u_0=1060\).

Question 4

Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\), on a \(u_n=u_0+nr\).

Donc pour tout entier naturel \(n\) :

\(u_n=1060+n\times(-100)=1060-100n\).

Vérification : \(u_2=1060-200=860\), ce qui correspond au résultat de la question 1.

Question 5

La moitié de la valeur initiale est \(\dfrac{1060}{2}=530\) €. Le téléphone a perdu plus de la moitié de sa valeur lorsque \(u_n<530\).

\(1060-100n<530\iff -100n<-530\iff n>5{,}3\).

En divisant par \(-100\) (nombre négatif), on change le sens de l'inégalité.

Le plus petit entier \(n\) qui convient est \(n=6\).

Vérification : \(u_5=560>530\) et \(u_6=460<530\).

C'est donc à partir de l'année \(2025+6=2031\) que le téléphone aura perdu plus de la moitié de sa valeur initiale.

Question 1

On complète le tableau en procédant par différences.

• Lacs : \(500-300=200\) échantillons ;
• lacs de qualité satisfaisante : \(200-80=120\) ;
• rivières de qualité satisfaisante : \(280-120=160\) ;
• rivières de qualité insatisfaisante : \(300-160=140\) ;
• total de qualité insatisfaisante : \(500-280=220\).

	Rivière	Lac	Total
Qualité satisfaisante	160	120	280
Qualité insatisfaisante	140	80	220
Total	300	200	500

Vérification : \(160+140=300\), \(120+80=200\) et \(280+220=500\).

Question 2.a

Le choix se fait au hasard : on est en situation d'équiprobabilité.

\(P(R)=\dfrac{300}{500}=\dfrac35\).

La probabilité que l'échantillon provienne d'une rivière est \(\dfrac35\).

Question 2.b

\(\overline{S}\) est l'évènement contraire de \(S\) : « l'échantillon choisi est classé de qualité insatisfaisante ».

Le tableau donne \(220\) échantillons de qualité insatisfaisante :

\(P\left(\overline{S}\right)=\dfrac{220}{500}=\dfrac{11}{25}\), en simplifiant par \(20\).

Question 2.c

\(S\cap\overline{R}\) est l'évènement « l'échantillon est de qualité satisfaisante et ne provient pas d'une rivière », c'est-à-dire provient d'un lac.

Le tableau donne \(120\) échantillons de ce type :

\(P\left(S\cap\overline{R}\right)=\dfrac{120}{500}=\dfrac{6}{25}\), en simplifiant par \(20\).

Interprétation : la probabilité que l'échantillon choisi provienne d'un lac et soit de qualité satisfaisante est \(\dfrac{6}{25}\), soit \(24\) %.

Question 3.a

La probabilité \(x\) est portée par la branche allant de \(R\) à \(\overline{S}\) : c'est une probabilité conditionnelle.

\(x=P_R\left(\overline{S}\right)\) : la probabilité que l'échantillon soit de qualité insatisfaisante, sachant qu'il provient d'une rivière.

Question 3.b

On se restreint aux \(300\) échantillons provenant d'une rivière, parmi lesquels \(140\) sont de qualité insatisfaisante :

\(x=P_R\left(\overline{S}\right)=\dfrac{140}{300}=\dfrac{14}{30}=\dfrac{7}{15}\).

Question 3.c

On complète toutes les branches, en sachant que la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut \(1\).

• \(P\left(\overline{R}\right)=1-\dfrac35=\dfrac25\) ;
• \(P_R(S)=1-\dfrac{7}{15}=\dfrac{8}{15}\) ;
• parmi les \(200\) échantillons de lacs, \(120\) sont satisfaisants : \(P_{\overline{R}}(S)=\dfrac{120}{200}=\dfrac35\) ;
• \(P_{\overline{R}}\left(\overline{S}\right)=\dfrac{80}{200}=\dfrac25\) (ou \(1-\dfrac35\)).

Question 4

Deux évènements \(R\) et \(\overline{S}\) sont indépendants si et seulement si \(P\left(R\cap\overline{S}\right)=P(R)\times P\left(\overline{S}\right)\).

D'une part : \(P\left(R\cap\overline{S}\right)=\dfrac{140}{500}=\dfrac{7}{25}=\dfrac{35}{125}\).

D'autre part : \(P(R)\times P\left(\overline{S}\right)=\dfrac35\times\dfrac{11}{25}=\dfrac{33}{125}\).

Comme \(\dfrac{35}{125}\neq\dfrac{33}{125}\), l'égalité n'est pas vérifiée : les évènements « l'échantillon provient d'une rivière » et « l'échantillon est de qualité insatisfaisante » ne sont pas indépendants.