2026Épreuve anticipée · spé maths · Métropole (septembre)

Question 1

On traduit les données de l'énoncé :

• \(P(E)=0{,}7\), donc \(P(\overline{E})=1-0{,}7=0{,}3\) ;
• \(P_E(M)=0{,}2\), donc \(P_E(\overline{M})=1-0{,}2=0{,}8\) ;
• \(P_{\overline{E}}(M)=0{,}4\), donc \(P_{\overline{E}}(\overline{M})=1-0{,}4=0{,}6\).

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours \(1\).

Question 2

\(\overline{E}\cap M\) : « le patient est un adulte et le médecin prescrit des médicaments ». On multiplie les probabilités le long du chemin \(\overline{E}\to M\) :

\(P(\overline{E}\cap M)=P(\overline{E})\times P_{\overline{E}}(M)=0{,}3\times 0{,}4=0{,}12\).

Interprétation : \(12\) % des patients sont des adultes à qui le médecin prescrit des médicaments.

Question 3

\(E\) et \(\overline{E}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\(P(M)=P(E\cap M)+P(\overline{E}\cap M)\).

\(P(E\cap M)=P(E)\times P_E(M)=0{,}7\times 0{,}2=0{,}14\).

\(P(M)=0{,}14+0{,}12=0{,}26\).

Question 4

Deux évènements \(E\) et \(M\) sont indépendants si et seulement si \(P(E\cap M)=P(E)\times P(M)\).

D'une part \(P(E\cap M)=0{,}14\). D'autre part \(P(E)\times P(M)=0{,}7\times 0{,}26=0{,}182\).

Comme \(0{,}14\neq 0{,}182\), les évènements \(E\) et \(M\) ne sont pas indépendants.

Autre justification : \(P_E(M)=0{,}2\) alors que \(P(M)=0{,}26\), donc \(P_E(M)\neq P(M)\) : être un enfant change la probabilité de prescription (qui est plus faible chez les enfants).

Question 5

On cherche \(P_M(E)\) : la probabilité que le patient soit un enfant sachant qu'il y a eu une prescription.

\(P_M(E)=\dfrac{P(E\cap M)}{P(M)}=\dfrac{0{,}14}{0{,}26}=\dfrac{14}{26}=\dfrac{7}{13}\).

La fraction \(\dfrac{7}{13}\) est irréductible, car \(13\) est premier et ne divise pas \(7\).

Piège : ne pas confondre avec \(P_E(M)=0{,}2\), la probabilité conditionnelle dans l'autre sens (prescription sachant que le patient est un enfant).

Question 1

\(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de premier terme \(v_0=3\) et de raison \(q=\dfrac14\).

On étudie le signe de \(v_{n+1}-v_n\) pour tout entier naturel \(n\) :

\(v_{n+1}-v_n=3\left(\dfrac14\right)^{n+1}-3\left(\dfrac14\right)^n=3\left(\dfrac14\right)^n\left(\dfrac14-1\right)=-\dfrac94\left(\dfrac14\right)^n\).

Or \(\left(\dfrac14\right)^n>0\) et \(-\dfrac94<0\), donc \(v_{n+1}-v_n<0\) : la suite est strictement décroissante.

Contrôle sur les premiers termes : \(v_0=3\) et \(v_1=\dfrac34\), on a bien \(v_1

Question 2

On ramène l'équation à la forme \(ax^2+bx+c=0\) :

\(x(1-x)=4\iff x-x^2=4\iff x^2-x+4=0\).

Discriminant : \(\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times 4=1-16=-15\).

Comme \(\Delta<0\), l'équation n'a aucune solution réelle : il n'existe pas de réel \(x\) tel que \(x(1-x)=4\).

Autre argument : \(x(1-x)\) est une parabole tournée vers le bas, dont le maximum vaut \(\dfrac14\) pour \(x=\dfrac12\), donc \(x(1-x)\leqslant\dfrac14<4\) pour tout réel \(x\).

Question 3

On se place dans le repère orthonormé d'origine A, avec \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) pour premier vecteur et \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) pour second : A\((0\,;0)\), B\((4\,;0)\), C\((4\,;3)\), D\((0\,;3)\).

K vérifie \(\overrightarrow{\mathrm{AK}}=\dfrac34\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) : K\((3\,;0)\).

L vérifie \(\overrightarrow{\mathrm{CL}}=\dfrac13\overrightarrow{\mathrm{CB}}\), avec \(\overrightarrow{\mathrm{CB}}\begin{pmatrix}0\\-3\end{pmatrix}\) : \(\overrightarrow{\mathrm{CL}}\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}\), donc L\((4\,;2)\).

\(\overrightarrow{\mathrm{KD}}\begin{pmatrix}0-3\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{KL}}\begin{pmatrix}4-3\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\).

\(\overrightarrow{\mathrm{KD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{KL}}=-3\times 1+3\times 2=-3+6=3\).

Autre méthode (sans coordonnées) : avec la relation de Chasles, \(\overrightarrow{\mathrm{KD}}=\overrightarrow{\mathrm{KA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{KL}}=\overrightarrow{\mathrm{KB}}+\overrightarrow{\mathrm{BL}}\). Les produits de vecteurs orthogonaux sont nuls ; il reste \(\overrightarrow{\mathrm{KA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{KB}}=-3\times 1=-3\) (vecteurs opposés en sens) et \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BL}}=3\times 2=6\), soit \(-3+6=3\).

Question 1

Le décollage a lieu à l'instant \(t=0\).

\(f(0)=\dfrac{4\times 0+1}{\mathrm{e}^0}=\dfrac{1}{1}=1\).

Au décollage, la montgolfière est à \(1\) km d'altitude (celle du village de montagne).

Question 2

\(f\) est un quotient \(\dfrac uv\) avec \(u(t)=4t+1\), \(u'(t)=4\), \(v(t)=\mathrm{e}^t\) et \(v'(t)=\mathrm{e}^t\). La formule est \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\).

\(f'(t)=\dfrac{4\mathrm{e}^t-(4t+1)\mathrm{e}^t}{\left(\mathrm{e}^t\right)^2}=\dfrac{\mathrm{e}^t\left(4-4t-1\right)}{\mathrm{e}^t\times\mathrm{e}^t}=\dfrac{3-4t}{\mathrm{e}^t}\).

Attention au signe : \(-(4t+1)=-4t-1\).

Question 3

Pour tout réel \(t\), \(\mathrm{e}^t>0\) : le signe de \(f'(t)\) est celui du numérateur \(3-4t\).

\(3-4t\geqslant 0\iff 3\geqslant 4t\iff t\leqslant\dfrac34\).

Donc \(f'(t)>0\) sur \(\left[0\,;\dfrac34\right[\), \(f'\left(\dfrac34\right)=0\) et \(f'(t)<0\) sur \(\left]\dfrac34\,;5\right]\).

Tableau de variations : \(f\) est croissante sur \(\left[0\,;\dfrac34\right]\) puis décroissante sur \(\left[\dfrac34\,;5\right]\).

Comme \(f\) croît puis décroît, elle admet un maximum en \(t=\dfrac34\), égal à \(f\left(\dfrac34\right)=\dfrac{4\times\frac34+1}{\mathrm{e}^{3/4}}=\dfrac{4}{\mathrm{e}^{3/4}}\) (soit environ \(1{,}9\) km).

Question 4

La montgolfière commence à perdre de l'altitude quand \(f\) devient décroissante, c'est-à-dire pour \(t=\dfrac34\) h.

Conversion : \(\dfrac34\) h \(=\dfrac34\times 60=45\) minutes.

Heure demandée : \(10\) h \(50\) min \(+\) \(45\) min \(=10\) h \(95\) min \(=11\) h \(35\) min.

La montgolfière commence à descendre à \(11\) h \(35\).

Piège : \(0{,}75\) h n'est pas \(75\) minutes ; une heure vaut 60 minutes.