2026Épreuve anticipée · spé maths · Antilles-Guyane (septembre)

Question 1

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\), l'abscisse du sommet de la parabole est \(x_S=-\dfrac{b}{2a}\). Ici \(a=1\) et \(b=2\).

\(x_S=-\dfrac{2}{2\times 1}=-1\) et \(f(-1)=(-1)^2+2\times(-1)-3=1-2-3=-4\).

Le sommet de \(\mathcal{P}\) a pour coordonnées \((-1\,;-4)\).

Question 2.a

Une racine de \(g\) est un réel \(x\) tel que \(g(x)=0\). On calcule :

\(g(-3)=(-3)^2+(-3)-6=9-3-6=0\)

\(g(2)=2^2+2-6=4+2-6=0\)

Donc \(-3\) et \(2\) sont bien deux racines de \(g\).

Question 2.b

\(g\) est un trinôme du second degré de coefficient dominant \(1>0\), avec deux racines \(-3\) et \(2\). Il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

Vérification : \(g(0)=-6<0\), ce qui est cohérent car \(0\) est entre \(-3\) et \(2\).

Question 3

Pour tout réel \(x\) :

\(f(x)-h(x)=\left(x^2+2x-3\right)-(x+3)=x^2+2x-3-x-3=x^2+x-6=g(x)\).

Piège : le signe moins devant \((x+3)\) change le signe de chacun de ses termes.

Question 4

Étudier la position relative de \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{D}\), c'est étudier le signe de \(f(x)-h(x)=g(x)\), connu grâce à la question 2.b.

Sur \(]-3\,;2[\), \(g(x)<0\), donc \(f(x)

Sur \(]-\infty\,;-3[\) et sur \(]2\,;+\infty[\), \(g(x)>0\), donc \(f(x)>h(x)\) : \(\mathcal{P}\) est au-dessus de \(\mathcal{D}\).

Les courbes se coupent là où \(g(x)=0\), soit pour \(x=-3\) et \(x=2\). On calcule les ordonnées avec \(h\), plus simple : \(h(-3)=0\) et \(h(2)=5\).

Les points d'intersection sont \((-3\,;0)\) et \((2\,;5)\).

Vérification avec \(f\) : \(f(-3)=9-6-3=0\) et \(f(2)=4+4-3=5\).

Question 5

Le schéma doit montrer la parabole \(\mathcal{P}\) avec son sommet \((-1\,;-4)\), la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(y=x+3\), et leurs deux points d'intersection \((-3\,;0)\) et \((2\,;5)\). La parabole est sous la droite entre ces deux points et au-dessus à l'extérieur.

Question 1

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut \(1\).

\(P(\overline F)=1-0{,}6=0{,}4\) et \(P_F(\overline B)=1-0{,}5=0{,}5\).

Enfin \(P_{\overline F}(B)=x\) et donc \(P_{\overline F}(\overline B)=1-x\).

Question 2

Le véhicule est un fourgon en bon état : c'est l'évènement \(F\cap B\). On multiplie les probabilités le long du chemin :

\(P(F\cap B)=P(F)\times P_F(B)=0{,}6\times 0{,}5=0{,}3\).

Question 3

On cherche la probabilité conditionnelle \(P_B(F)\) :

\(P_B(F)=\dfrac{P(F\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}3}{0{,}66}=\dfrac{30}{66}=\dfrac{5}{11}\).

On simplifie par \(6\) : \(30=6\times 5\) et \(66=6\times 11\). La fraction \(\dfrac{5}{11}\) est irréductible car \(5\) et \(11\) sont premiers entre eux.

Question 4

Les évènements \(F\) et \(\overline F\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\(P(B)=P(F\cap B)+P\left(\overline F\cap B\right)=P(F\cap B)+P\left(\overline F\right)\times P_{\overline F}(B)\).

Donc \(0{,}66=0{,}3+0{,}4\times x\), c'est-à-dire \(0{,}4x+0{,}3=0{,}66\).

Question 5

\(0{,}4x+0{,}3=0{,}66\iff 0{,}4x=0{,}36\iff x=\dfrac{0{,}36}{0{,}4}=\dfrac{36}{40}=0{,}9\).

Interprétation : \(x=P_{\overline F}(B)\), donc la probabilité qu'un véhicule soit en bon état sachant que c'est un camion est de \(0{,}9\) : \(90\) % des camions sont en bon état.

Question 1

Pour étudier le sens de variation, on étudie le signe de la dérivée. \(f=uv\) avec \(u(x)=x\), \(u'(x)=1\), \(v(x)=\mathrm{e}^x\) et \(v'(x)=\mathrm{e}^x\).

\(f'(x)=u'v+uv'=1\times\mathrm{e}^x+x\,\mathrm{e}^x=(1+x)\mathrm{e}^x\).

Pour tout \(x\geqslant 0\) : \(1+x\geqslant 1>0\) et \(\mathrm{e}^x>0\), donc \(f'(x)>0\).

La dérivée est strictement positive sur \([0\,;+\infty[\) : \(f\) est croissante sur cet intervalle.

Question 2

Dans une suite arithmétique de raison \(r\), \(u_n=u_p+(n-p)\times r\). Donc \(u_6=u_2+4r\).

\(51=50+4r\iff 4r=1\iff r=\dfrac14=0{,}25\).

Alors \(u_{26}=u_2+(26-2)\times r=50+24\times 0{,}25=50+6=56\).

L'affirmation est donc vraie.