Annales · Épreuve anticipée de maths › spé maths

2026Épreuve anticipée · spé maths · Polynésie (septembre)

Voie générale, avec spécialité mathématiques · 4 septembre 2026

Mis à jour le 22 octobre 2026

4 septembre 2026Durée : 2 heures20 pointsSans calculatrice

Automatismes QCM · 6 points · 8 questions

Aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. Calculatrice interdite.

Question 1

On note \(S\) l'ensemble des solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'équation :   \((2 x-6)(x+4)=0\).   On a :

  1. \(S=\{4 ; 6\}\)
  2. \(S=\{-4 ; 6\}\)
  3. \(S=\{3 ; 4\}\)
  4. \(S=\{-4 ; 3\}\)
Voir la correction de la question 1

Bonne réponse : D

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

\((2x-6)(x+4)=0\iff 2x-6=0\ \text{ou}\ x+4=0\iff x=3\ \text{ou}\ x=-4\).

Donc \(S=\{-4\,;3\}\).

Piège : \(2x-6=0\) donne \(x=\dfrac62=3\), et non \(6\) (réponse B) ; et \(x+4=0\) donne \(x=-4\), pas \(4\).

Question 2

On lance un dé cubique équilibré numéroté de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ?

  1. \(\dfrac{1}{2}\)
  2. \(\dfrac{1}{3}\)
  3. \(\dfrac{1}{4}\)
  4. \(\dfrac{1}{5}\)
Voir la correction de la question 2

Bonne réponse : B

Le dé est équilibré : on est en situation d'équiprobabilité.

Les issues strictement supérieures à \(4\) sont \(5\) et \(6\) : il y a \(2\) issues favorables sur \(6\).

\(P=\dfrac26=\dfrac13\).

Piège : « strictement supérieur à \(4\) » exclut le \(4\), contrairement à « supérieur ou égal à \(4\) » (qui donnerait \(\dfrac36=\dfrac12\)).

Question 3

La seule égalité vraie est :

  1. \(3^{-5} \times 6^{-5}=18^{-10}\)
  2. \(\left(3^{-5}\right)^{2}=3^{-3}\)
  3. \(\dfrac{3}{3^{5}}=3^{-4}\)
  4. \(\dfrac{3^{-2}}{3^{8}}=3^{-6}\)
Voir la correction de la question 3

Bonne réponse : C

On utilise la règle \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) avec \(3=3^1\) :

\(\dfrac{3}{3^5}=3^{1-5}=3^{-4}\).

Les autres égalités sont fausses :

  • A : \(3^{-5}\times 6^{-5}=(3\times 6)^{-5}=18^{-5}\) et non \(18^{-10}\) ;
  • B : \(\left(3^{-5}\right)^2=3^{-10}\) et non \(3^{-3}\) ;
  • D : \(\dfrac{3^{-2}}{3^8}=3^{-2-8}=3^{-10}\) et non \(3^{-6}\).

Question 4

On a représenté ci-dessous quatre droites dans un repère orthonormé.

Figure de la question 4

Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

  1. La droite \(\mathrm{D}_{1}\) a pour équation \(y=3\)
  2. La droite \(\mathrm{D}_{2}\) a pour coefficient directeur 1
  3. La droite \(\mathrm{D}_{3}\) a pour coefficient directeur 3
  4. La droite \(\mathrm{D}_{4}\) a pour équation \(y=x+1\)
Voir la correction de la question 4

Bonne réponse : D

On lit sur le graphique chaque droite.

\(\mathrm{D}_1\) est verticale, d'équation \(x=3\) (et non \(y=3\)) : A est fausse.

\(\mathrm{D}_2\) passe par \((0\,;0)\) et \((1\,;-1)\) : son coefficient directeur est \(-1\), pas \(1\) : B est fausse.

\(\mathrm{D}_3\) est horizontale, d'équation \(y=3\) : son coefficient directeur est \(0\), pas \(3\) : C est fausse.

\(\mathrm{D}_4\) passe par \((-1\,;0)\) et \((0\,;1)\) : son ordonnée à l'origine est \(b=1\) et son coefficient directeur est \(a=\dfrac{1-0}{0-(-1)}=1\). Son équation réduite est \(y=x+1\) : D est vraie.

Question 5

Soit \(\mathcal{C}_{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur par   \(f(x)=2 x^{2}-3 x+1\).

Parmi les quatre points suivants, lequel appartient à \(\mathcal{C}_{f}\) ?

  1. E\((-1 ; 2)\)
  2. H\((-3 ; 28)\)
  3. G\((2 ; 1)\)
  4. K\((3 ; 4)\)
Voir la correction de la question 5

Bonne réponse : B

Un point appartient à \(\mathcal{C}_f\) si et seulement si son ordonnée est l'image de son abscisse.

Pour H\((-3\,;28)\) : \(f(-3)=2\times(-3)^2-3\times(-3)+1=2\times 9+9+1=28\). Le point H appartient à \(\mathcal{C}_f\).

Contrôle des autres : \(f(-1)=2+3+1=6\neq 2\) ; \(f(2)=8-6+1=3\neq 1\) ; \(f(3)=18-9+1=10\neq 4\).

Piège : \((-3)^2=9\) et \(-3\times(-3)=+9\).

Question 6

On considère le nombre   \(E=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{2}{5}\).   Une écriture simplifiée de \(E\) est :

  1. \(\dfrac{4}{25}\)
  2. \(\dfrac{1}{3}\)
  3. \(\dfrac{2}{30}\)
  4. \(\dfrac{4}{5}\)
Voir la correction de la question 6

Bonne réponse : B

On réduit d'abord la parenthèse au même dénominateur :

\(\dfrac12+\dfrac13=\dfrac36+\dfrac26=\dfrac56\).

Puis \(E=\dfrac56\times\dfrac25=\dfrac{5\times 2}{6\times 5}=\dfrac{10}{30}=\dfrac13\).

Piège : on n'additionne pas les dénominateurs : \(\dfrac12+\dfrac13\neq\dfrac25\) (cette erreur mène à \(\dfrac25\times\dfrac25=\dfrac{4}{25}\), réponse A).

Question 7

Le prix d'un pantalon a augmenté de \(10\,\%\) puis a baissé de \(20\,\%\).

Quelle évolution globale a subi le prix du pantalon ?

  1. une baisse de 15 %
  2. une augmentation de 8,8 %
  3. une baisse de 12 %
  4. une baisse de 10 %
Voir la correction de la question 7

Bonne réponse : C

Une hausse de \(10\) % correspond au coefficient multiplicateur \(1{,}10\), une baisse de \(20\) % au coefficient \(0{,}80\).

Le coefficient global est le produit : \(1{,}10\times 0{,}80=0{,}88=1-0{,}12\).

Le prix a donc subi une baisse de \(12\) %.

Piège : on ne peut pas additionner les pourcentages (\(+10-20=-10\), réponse D), car ils ne portent pas sur la même valeur.

Question 8

L'accélération gravitationnelle \(g\) (en \(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\)) d'un astre est donnée par la formule

\[g=\dfrac{G m}{r^{2}}\]

où \(G\) est la constante gravitationnelle universelle (en \(\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{kg}^{2}\)),
\(m\) est la masse de l'astre (en kg) et \(r\) le rayon de l'astre (en m).

L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer le rayon \(r\) est :

  1. \(r=\dfrac{G m}{g^{2}}\)
  2. \(r=\sqrt{G m g}\)
  3. \(r=\sqrt{\dfrac{G m}{g}}\)
  4. \(r=\sqrt{\dfrac{g}{G m}}\)
Voir la correction de la question 8

Bonne réponse : C

Toutes les grandeurs sont strictement positives. On isole \(r\) en plusieurs étapes :

\(g=\dfrac{Gm}{r^2}\iff g\,r^2=Gm\iff r^2=\dfrac{Gm}{g}\iff r=\sqrt{\dfrac{Gm}{g}}\).

Piège : \(r\) est élevé au carré dans la formule, il faut donc prendre une racine carrée à la fin. Ne pas oublier non plus que \(g\) passe au dénominateur.

Exercice 1 (4 pts)

Probabilités

Un joueur participe à un jeu. Il dispose d'une pièce de monnaie équilibrée et de deux urnes A et B qui contiennent chacune des jetons dorés et des jetons argentés.

Il doit commencer par lancer la pièce de monnaie.

  • S'il obtient le côté pile, il pioche un jeton dans l'urne A. Il a alors 60 % de chances de tirer un jeton doré.

  • S'il obtient le côté face, il pioche un jeton dans l'urne B. Il a alors 80 % de chances de tirer un jeton argenté.

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer la pièce de monnaie puis à tirer un jeton dans une des deux urnes.

On considère les évènements suivants :

  • A : le joueur pioche dans l'urne A;

  • B : le joueur pioche dans l'urne B;

  • D : le jeton obtenu est doré;

  • \(\overline{\mathrm{D}}\) : le jeton obtenu est argenté.

  1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

  2. Calculer \(P\big(A \cap D\big)\), puis interpréter le résultat obtenu.

  3. Montrer que \(P(D)=0{,}4\).

  4. Le joueur a obtenu un jeton doré.

    Quelle est la probabilité qu'il l'ait pioché dans l'urne B ?

Voir le corrigé détaillé de l'exercice 1

Question 1

On traduit chaque donnée de l'énoncé :

  • la pièce est équilibrée : \(P(A)=P(B)=0{,}5\) ;
  • dans l'urne A, \(60\) % des jetons sont dorés : \(P_A(D)=0{,}6\), donc \(P_A(\overline{D})=1-0{,}6=0{,}4\) ;
  • dans l'urne B, \(80\) % des jetons sont argentés : \(P_B(\overline{D})=0{,}8\), donc \(P_B(D)=1-0{,}8=0{,}2\).

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours \(1\).

Figure du corrigé de l'exercice 1

Question 2

On multiplie les probabilités le long du chemin \(A\to D\) :

\(P(A\cap D)=P(A)\times P_A(D)=0{,}5\times 0{,}6=0{,}3\).

Interprétation : la probabilité que le joueur pioche dans l'urne A et obtienne un jeton doré est \(0{,}3\), soit \(30\) % des parties.

Question 3

Les évènements \(A\) et \(B\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\(P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)=P(A)\times P_A(D)+P(B)\times P_B(D)\).

\(P(D)=0{,}5\times 0{,}6+0{,}5\times 0{,}2=0{,}3+0{,}1=0{,}4\).

Question 4

On cherche \(P_D(B)\). Par définition d'une probabilité conditionnelle :

\(P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}\).

Or \(P(B\cap D)=P(B)\times P_B(D)=0{,}5\times 0{,}2=0{,}1\), donc :

\(P_D(B)=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=\dfrac14=0{,}25\).

Sachant que le jeton est doré, la probabilité qu'il vienne de l'urne B est \(0{,}25\).

Piège : ne pas confondre \(P_D(B)\) (on sait que le jeton est doré) avec \(P_B(D)=0{,}2\) (on sait que le tirage a lieu dans l'urne B).

Exercice 2 (5 pts)

Fonction exponentielle

On injecte à un patient un médicament. Après l'injection, on mesure la concentration de ce médicament dans le sang, en grammes par litre (g/L), pendant 13 heures.

Cette concentration est modélisée par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0 ; 13]\) par :

\(f(t)=\left(t^{2}+t+1\right) \mathrm{e}^{-t}\)   où \(t\) représente le nombre d'heures écoulées depuis l'injection.

  1. Déterminer \(f(0)\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    1. Justifier que pour tout réel \(t\) dans \([0 ; 13]\), on a :   \(f'(t)=t(-\mathrm{t}+1) \mathrm{e}^{-t}\).

    2. Étudier le signe de \(t(-\mathrm{t}+1)\) sur \([0 ; 13]\).

    3. En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \([0 ; 13]\).

      Il n'est pas demandé de calculer les images.

  3. On estime que le médicament n'est plus actif lorsque sa concentration est strictement inférieure à 0,1 g/L. Il convient alors de faire une nouvelle injection du médicament. En utilisant le tableau de valeurs approchées ci-dessous, déterminer le nombre d'heures maximal \(t_{0}\) (\(t_{0}\) est un entier naturel) pendant lequel le médicament reste actif.

\(t\)345678910111213
\(f(t)\)0,6470,3850,2090,1070,0520,0250,0110,0050,0020,0010
Voir le corrigé détaillé de l'exercice 2

Question 1

\(f(0)=(0^2+0+1)\,\mathrm{e}^{0}=1\times 1=1\).

Interprétation : juste après l'injection (\(t=0\)), la concentration du médicament dans le sang est de \(1\) g/L.

Question 2.a

\(f\) est de la forme \(uv\) avec \(u(t)=t^2+t+1\) et \(v(t)=\mathrm{e}^{-t}\), donc \(u'(t)=2t+1\) et \(v'(t)=-\mathrm{e}^{-t}\).

On applique \((uv)'=u'v+uv'\) :

\(f'(t)=(2t+1)\mathrm{e}^{-t}+(t^2+t+1)\times\left(-\mathrm{e}^{-t}\right)\).

On factorise par \(\mathrm{e}^{-t}\) :

\(f'(t)=\mathrm{e}^{-t}\left[(2t+1)-(t^2+t+1)\right]=\mathrm{e}^{-t}\left(-t^2+t\right)=t(-t+1)\,\mathrm{e}^{-t}\).

Piège : le signe moins devant la parenthèse change tous les signes : \(-(t^2+t+1)=-t^2-t-1\).

Question 2.b

Sur \([0\,;13]\) : \(t\geqslant 0\), et \(-t+1\geqslant 0\iff t\leqslant 1\).

On en déduit le tableau de signes : \(t(-t+1)\) vaut \(0\) en \(t=0\), est positif sur \(]0\,;1[\), s'annule en \(t=1\), puis est négatif sur \(]1\,;13]\).

Figure du corrigé de l'exercice 2

Question 2.c

Pour tout réel \(t\), \(\mathrm{e}^{-t}>0\) : d'après 2.a, le signe de \(f'(t)\) est donc celui de \(t(-t+1)\), étudié en 2.b.

Le signe de \(f'\) donne les variations de \(f\) : \(f\) est croissante sur \([0\,;1]\) puis décroissante sur \([1\,;13]\). Elle admet donc un maximum en \(t=1\).

Figure du corrigé de l'exercice 2

Question 3

Le médicament est actif tant que sa concentration est supérieure ou égale à \(0{,}1\) g/L, et \(f\) est décroissante sur \([1\,;13]\).

On lit dans le tableau : \(f(6)\approx 0{,}107\geqslant 0{,}1\) et \(f(7)\approx 0{,}052<0{,}1\).

Sur \([0\,;1]\), \(f\) croît à partir de \(f(0)=1\), puis décroît sur \([1\,;6]\) jusqu'à \(f(6)\approx 0{,}107\) : on a donc \(f(t)\geqslant 0{,}1\) sur \([0\,;6]\). Comme \(f\) est décroissante sur \([7\,;13]\), \(f(t)\leqslant f(7)<0{,}1\) pour tout \(t\geqslant 7\).

Le médicament reste donc actif pendant \(t_0=6\) heures au maximum : la nouvelle injection doit avoir lieu au bout de \(6\) heures.

Exercice 3 (5 pts)

SuitesAlgorithmique, Python et tableur

Les activités d'une association sont financées grâce à des donateurs.

On réalise une estimation du nombre de donateurs de la manière suivante.

Chaque année,

  • 80 % des donateurs de l'année précédente renouvellent leur don;

  • 300 nouveaux donateurs effectuent un don.

En 2025, l'association comptait 1000 donateurs.

Pour tout entier naturel \(n\), on modélise par \(u_{n}\) le nombre de donateurs pour l'année \(2025+n\).

Ainsi, on a \(u_{0}=1000\).

Partie A

    1. Déterminer le nombre de donateurs prévu en 2026.

    2. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), on a :  \(u_{n+1}=0{,}8 u_{n}+300\).

  2. On donne \(u_{5} \approx 1336\). Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?

  3. On considère la suite d'instructions Python ci-dessous :

    u=1000
i=0
while u<=1400:
	u=0.8*u + 300
	i=i+1

    À la fin de l'exécution de ce script, la variable i contient la valeur 8.
    Comment peut-on l'interpréter dans le cadre de l'exercice?

Partie B

On considère la suite \(\left(v_{n}\right)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par   \(v_{n}=u_{n}-1500\).

  1. Démontrer que \(\left(v_{n}\right)\) est une suite géométrique.

    Préciser sa raison et son premier terme.

Aide au calcul : \[\dfrac{1200}{0,8}=1500\] \[0{,}8 \times 1500=1200\]

    1. Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).

    2. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), que :   \(u_{n}=1500-500 \times 0{,}8^{n}\).

Voir le corrigé détaillé de l'exercice 3

Partie A · question 1.a

Chaque année, \(80\) % des donateurs renouvellent leur don et \(300\) nouveaux donateurs arrivent :

\(u_1=0{,}8\times 1000+300=800+300=1100\).

En 2026, l'association comptera \(1100\) donateurs.

Partie A · question 1.b

D'une année à la suivante, on conserve \(80\) % des donateurs, ce qui revient à multiplier \(u_n\) par \(0{,}8\), puis on ajoute les \(300\) nouveaux donateurs.

Pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}=0{,}8u_n+300\).

Partie A · question 2

\(u_5\) correspond à l'année \(2025+5=2030\).

D'après le modèle, l'association comptera environ \(1336\) donateurs en 2030.

Partie A · question 3

Le programme calcule les termes de la suite un par un, et la boucle continue tant que \(u\leqslant 1400\). À la fin, \(i\) est le premier rang pour lequel \(u_i>1400\).

On a \(u_7\approx 1395\leqslant 1400\) et \(u_8\approx 1416>1400\).

\(i=8\) signifie donc que c'est en \(2025+8=2033\) que le nombre de donateurs dépassera \(1400\) pour la première fois.

Partie B · question 1

Pour tout entier naturel \(n\) :

\(v_{n+1}=u_{n+1}-1500=0{,}8u_n+300-1500=0{,}8u_n-1200\).

Avec l'aide au calcul, \(1200=0{,}8\times 1500\), donc :

\(v_{n+1}=0{,}8u_n-0{,}8\times 1500=0{,}8\,(u_n-1500)=0{,}8\,v_n\).

On passe de \(v_n\) à \(v_{n+1}\) en multipliant par \(0{,}8\) : la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(q=0{,}8\).

Son premier terme est \(v_0=u_0-1500=1000-1500=-500\).

Partie B · question 2.a

Pour une suite géométrique, \(v_n=v_0\times q^n\).

Pour tout entier naturel \(n\) : \(v_n=-500\times 0{,}8^n\).

Partie B · question 2.b

Comme \(v_n=u_n-1500\), on a \(u_n=v_n+1500\).

Pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n=1500-500\times 0{,}8^n\).

Vérification : \(u_0=1500-500=1000\) et \(u_1=1500-500\times 0{,}8=1500-400=1100\), ce qui est cohérent avec la partie A.

Au programme du sujet 2026 · Polynésie (septembre) · spé maths

Épreuve anticipée de mathématiques de Première (voie générale, avec spécialité mathématiques), session du 4 septembre 2026, durée 2 heures, 20 points, sans calculatrice. Chaque question est corrigée pas à pas, avec la méthode à retenir et les pièges à éviter.

🎁 Cadeau · échantillon gratuit

7 fiches magiques offertes

Suites, second degré, dérivation, exponentielle, produit scalaire, probabilités : 7 fiches de cours de Première spé, avec l'essentiel à retenir et les méthodes.

Problème d'inscription, merci de réessayer.
C'est parti ! Tes 7 fiches arrivent dans ta boîte mail (pense à regarder les spams).

Questions fréquentes

Quels sont les thèmes du sujet Polynésie (septembre) 2026 de l'épreuve anticipée de maths (spé maths) ?

Une première partie d'automatismes (8 questions de QCM, 6 points) puis 3 exercices sur 14 points : probabilités, fonction exponentielle, suites, algorithmique, python et tableur.

Combien de temps dure l'épreuve anticipée de maths et la calculatrice est-elle autorisée ?

L'épreuve dure 2 heures, elle est notée sur 20 points (6 points d'automatismes et 14 points d'exercices) et la calculatrice n'est pas autorisée.

Où trouver le corrigé de l'épreuve anticipée de maths 2026 Polynésie (septembre) (spé maths) ?

Sur cette page : chaque question d'automatismes a sa correction expliquée, et chaque exercice son corrigé détaillé (bouton « Voir le corrigé »).