2026Épreuve anticipée · spé maths · Métropole

Question 1

On traduit chaque donnée de l'énoncé :

• \(P(T)=0{,}6\), donc \(P(\overline{T})=1-0{,}6=0{,}4\) ;
• \(P_T(A)=0{,}25\), donc \(P_T(\overline{A})=1-0{,}25=0{,}75\).

Les branches issues de \(\overline{T}\) ne comportent pas de pointillés : elles ne sont pas à compléter ici. Leur probabilité sera obtenue à la question 5 (\(P_{\overline{T}}(A)=0{,}125\), donc \(P_{\overline{T}}(\overline{A})=0{,}875\)).

Question 2

« 20 % de l'ensemble des clients ont pris une assurance » : il s'agit d'une proportion sur tous les clients, donc \(P(A)=0{,}2\).

Attention : ce n'est pas une probabilité conditionnelle, elle ne se place sur aucune branche de l'arbre.

Question 3

L'événement « le client a loué une bicyclette traditionnelle et a pris une assurance » est \(T\cap A\). On multiplie les probabilités le long du chemin \(T\to A\) :

\(P(T\cap A)=P(T)\times P_T(A)=0{,}6\times 0{,}25=0{,}15\).

Question 4

Les événements \(T\) et \(\overline{T}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\(P(A)=P(T\cap A)+P(\overline{T}\cap A)\).

Donc \(P(\overline{T}\cap A)=P(A)-P(T\cap A)=0{,}2-0{,}15=0{,}05\).

Question 5

On cherche \(P_{\overline{T}}(A)\). Par définition d'une probabilité conditionnelle :

\(P_{\overline{T}}(A)=\dfrac{P(\overline{T}\cap A)}{P(\overline{T})}=\dfrac{0{,}05}{0{,}4}=\dfrac{5}{40}=\dfrac18\).

La probabilité qu'un client ayant loué une bicyclette électrique ait pris une assurance est \(\dfrac18\) (soit \(0{,}125\)).

Question 1

(E) est une équation du second degré \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a=1\), \(b=1\) et \(c=-u^2\).

Son discriminant vaut \(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 1\times(-u^2)=1+4u^2\).

Pour tout réel \(u\), \(u^2\geqslant 0\), donc \(\Delta=1+4u^2\geqslant 1>0\).

Le discriminant est strictement positif quel que soit \(u\) : (E) possède toujours deux solutions réelles distinctes.

Question 2

Pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n=2^{-n}=\dfrac{1}{2^n}=\left(\dfrac12\right)^n\).

On peut aussi calculer \(u_{n+1}=2^{-(n+1)}=2^{-n}\times 2^{-1}=\dfrac12\,u_n\).

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par \(\dfrac12\) : \((u_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\) et de premier terme \(u_0=2^0=1\).

Question 3

L'équation de la tangente à \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(a\) est \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Ici \(a=0\).

\(f(0)=\mathrm{e}^0-1=1-1=0\).

\(f'(x)=\mathrm{e}^x\) (la dérivée d'une constante est nulle), donc \(f'(0)=\mathrm{e}^0=1\).

\(\mathcal{T}\) a pour équation \(y=1\times(x-0)+0\), soit \(y=x\).

Pour A\((3;3)\) : \(x_\mathrm{A}=3=y_\mathrm{A}\), les coordonnées de A vérifient l'équation de \(\mathcal{T}\), donc A appartient à \(\mathcal{T}\).

Question 1

\(\overrightarrow{\mathrm{KP}}\begin{pmatrix}x_\mathrm{P}-x_\mathrm{K}\\y_\mathrm{P}-y_\mathrm{K}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-1\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\).

Le repère est orthonormé, donc \(\left\|\overrightarrow{\mathrm{KP}}\right\|=\sqrt{3^2+0^2}=3\).

Question 2

\(\overrightarrow{\mathrm{KM}}\begin{pmatrix}x-1\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-1\\3\end{pmatrix}\).

\(\left\|\overrightarrow{\mathrm{KM}}\right\|=\sqrt{(x-1)^2+3^2}=\sqrt{(x-1)^2+9}\).

En développant, on peut aussi écrire \(\left\|\overrightarrow{\mathrm{KM}}\right\|=\sqrt{x^2-2x+10}\).

Question 3

Dans un repère orthonormé, si \(\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\), alors \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\).

\(\overrightarrow{\mathrm{KP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{KM}}=3\times(x-1)+0\times 3=3x-3\).

Question 4

On utilise l'autre expression du produit scalaire :

\(\overrightarrow{\mathrm{KP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{KM}}=\left\|\overrightarrow{\mathrm{KP}}\right\|\times\left\|\overrightarrow{\mathrm{KM}}\right\|\times\cos\widehat{\mathrm{PKM}}\).

Si \(\widehat{\mathrm{PKM}}=\dfrac\pi3\), alors \(\cos\widehat{\mathrm{PKM}}=\dfrac12\) et :

\(\overrightarrow{\mathrm{KP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{KM}}=3\times\sqrt{(x-1)^2+9}\times\dfrac12=\dfrac32\sqrt{(x-1)^2+9}\).

En égalant avec le résultat de la question 3 :

\(\dfrac32\sqrt{(x-1)^2+9}=3x-3\).

On multiplie les deux membres par \(\dfrac23\) :

\(\sqrt{(x-1)^2+9}=\dfrac23(3x-3)=2x-2\).

Donc \(x\) est solution de (E).

Question 5

On remplace \(x\) par \(1+\sqrt3\) dans chaque membre de (E).

Membre de gauche : \(x-1=\sqrt3\), donc \(\sqrt{(\sqrt3)^2+9}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt3\).

Membre de droite : \(2(1+\sqrt3)-2=2+2\sqrt3-2=2\sqrt3\).

Les deux membres sont égaux, donc \(1+\sqrt3\) est solution de (E).

Remarque : on calcule directement chaque membre plutôt que d'élever au carré, car élever au carré peut faire apparaître de fausses solutions (il faudrait alors vérifier que \(2x-2\geqslant 0\)).