Annales · Épreuve anticipée de maths › spé maths
2026Épreuve anticipée · spé maths · Centres étrangers
Voie générale, avec spécialité mathématiques · 8 juin 2026
Mis à jour le 22 octobre 2026
Automatismes QCM · 6 points · 8 questions
Aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. Calculatrice interdite.
Question 1
Soient \(A\) et \(B\) deux événements.
On donne l'arbre de probabilités ci-contre :
On peut alors affirmer que \(P\!\left(\overline{A}\cap B\right)\) est égale à :
- \(1{,}3\)
- \(0{,}42\)
- \(0{,}7\)
- \(0{,}18\)
Voir la correction de la question 1
Bonne réponse : B
\(\overline{A}\cap B\) correspond au chemin qui passe par la branche \(\overline{A}\) puis par la branche \(B\) : on multiplie les probabilités le long de ce chemin.
\(P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}(B)=0{,}6\times 0{,}7=0{,}42\).
Piège : une probabilité ne peut pas dépasser \(1\), ce qui élimine la réponse a (\(1{,}3\), somme de \(0{,}6\) et \(0{,}7\)). Et \(0{,}18\) s'obtiendrait en multipliant \(0{,}6\) par \(0{,}3\), la mauvaise branche.
Question 2
Dans un lycée, 150 élèves de première générale suivent la spécialité Mathématiques, ce qui représente \(\dfrac{3}{5}\) de l'ensemble des élèves de première générale.
Le nombre d'élèves en première générale dans ce lycée est :
- 90
- 200
- 250
- 300
Voir la correction de la question 2
Bonne réponse : C
Soit \(x\) le nombre d'élèves de première générale. Les \(150\) élèves en spécialité Mathématiques représentent les \(\dfrac35\) de \(x\) :
\(\dfrac35\times x=150\), donc \(x=150\times\dfrac53=\dfrac{150}{3}\times 5=50\times 5=250\).
Vérification : \(\dfrac35\) de \(250\) font \(\dfrac{250}{5}\times 3=50\times 3=150\).
Piège : \(150\times\dfrac35=90\) (réponse a) donne une fraction de \(150\), alors qu'on cherche le total.
Question 3
On considère les nombres \(A=\dfrac{1}{3}\) et \(B=\dfrac{5}{6}\).
Le nombre \(\dfrac{A}{B}+1\) est égal à :
- \(\dfrac{7}{5}\)
- \(\dfrac{3}{5}\)
- \(\dfrac{23}{18}\)
- \(\dfrac{7}{3}\)
Voir la correction de la question 3
Bonne réponse : A
On remplace \(A\) et \(B\) par leurs valeurs. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\(\dfrac AB=\dfrac13\div\dfrac56=\dfrac13\times\dfrac65=\dfrac{6}{15}=\dfrac25\).
Donc \(\dfrac AB+1=\dfrac25+\dfrac55=\dfrac75\).
Question 4
Dans un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\), la droite \(d\) d'équation réduite \(y=\dfrac{1}{3}x+1\) est représentée par :
Voir la correction de la question 4
Bonne réponse : C
On exploite l'équation réduite \(y=\dfrac13x+1\) :
- l'ordonnée à l'origine est \(1\) : la droite passe par le point \((0;1)\) ;
- le coefficient directeur est \(\dfrac13\) : quand on avance de \(3\) unités vers la droite, on monte de \(1\) unité. Par exemple, pour \(x=3\), \(y=\dfrac13\times 3+1=2\) : la droite passe par \((3;2)\).
On contrôle sur chaque graphique :
- droite a : elle coupe l'axe des ordonnées en \(3\), pas en \(1\) ;
- droite b : elle passe par \((0;1)\) mais monte de \(3\) unités quand on avance de \(1\) : son coefficient directeur est \(3\) ;
- droite c : elle passe par \((0;1)\) et par \((3;2)\) ;
- droite d : elle passe par \((0;1)\) mais monte de \(2\) unités quand on avance de \(1\) : son coefficient directeur est \(2\).
Seule la droite c convient.
Piège : ne pas confondre un coefficient directeur \(\dfrac13\) avec \(3\) (droite b).
Question 5
La forme développée de \(\left(x^{3}-1\right)^{2}\) est :
- \(x^{6}-1\)
- \(x^{6}-2x^{3}+1\)
- \(x^{5}-2x^{3}+1\)
- \(x^{6}+2x^{3}-1\)
Voir la correction de la question 5
Bonne réponse : B
On reconnaît l'identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) avec \(a=x^3\) et \(b=1\).
\(\left(x^3-1\right)^2=\left(x^3\right)^2-2\times x^3\times 1+1^2=x^{3\times 2}-2x^3+1=x^6-2x^3+1\).
Piège : on oublie le double produit \(-2x^3\) (réponse a), et pour \(\left(x^3\right)^2\) on multiplie les exposants (\(3\times 2=6\)) ; les additionner donnerait \(x^5\) (réponse c).
Question 6
L'évolution globale correspondant à une hausse de 20 % puis une baisse de 50 %, est une baisse de :
- 10 %
- 30 %
- 40 %
- 60 %
Voir la correction de la question 6
Bonne réponse : C
On traduit chaque évolution par un coefficient multiplicateur :
- hausse de \(20\,\%\) : \(1+\dfrac{20}{100}=1{,}2\) ;
- baisse de \(50\,\%\) : \(1-\dfrac{50}{100}=0{,}5\).
Coefficient global : \(1{,}2\times 0{,}5=0{,}6\).
Le taux d'évolution global est \(0{,}6-1=-0{,}4\), soit une baisse de \(40\,\%\).
Piège : les pourcentages d'évolutions successives ne s'additionnent pas. Ce n'est pas \(20-50=-30\,\%\) (réponse b).
Question 7
Ce tableau donne les résultats partiels d'un sondage dans une classe de première comptant 25 élèves :
| 16 ans ou moins | Plus de 16 ans | |
| Suivent la spécialité Mathématiques | 8 | |
| Ne suivent pas la spécialité Mathématiques | 7 | 4 |
On interroge un élève de cette classe au hasard.
La probabilité que ce soit un élève qui suive la spécialité Mathématiques sachant qu'il est âgé de plus de 16 ans est :
- \(\dfrac{3}{7}\)
- \(\dfrac{6}{25}\)
- 6
- \(\dfrac{3}{5}\)
Voir la correction de la question 7
Bonne réponse : D
On complète d'abord le tableau avec le total de \(25\) élèves :
- colonne « 16 ans ou moins » : \(8+7=15\) élèves ;
- colonne « Plus de 16 ans » : \(25-15=10\) élèves, dont \(4\) ne suivent pas la spécialité, donc \(10-4=6\) la suivent.
On cherche la probabilité de « suivre la spécialité » sachant « avoir plus de 16 ans ». On se restreint à la colonne des plus de 16 ans :
\(\dfrac{6}{10}=\dfrac35\).
Piège : diviser par \(25\) (réponse b) donnerait la probabilité de l'intersection, pas la probabilité conditionnelle. La réponse c (\(6\)) ne peut pas être une probabilité.
Question 8
Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs tels que : \(x=\dfrac{5}{2+y}\).
On peut affirmer que :
- \(y=\dfrac{10}{2x-5}\)
- \(y=\dfrac{5}{2+x}\)
- \(y=5-2x\)
- \(y=\dfrac{5}{x}-2\)
Voir la correction de la question 8
Bonne réponse : D
On isole \(y\). Comme \(y>0\), on a \(2+y\neq 0\), donc on peut multiplier par \(2+y\) :
\(x=\dfrac{5}{2+y}\iff x(2+y)=5\).
Comme \(x>0\), on peut diviser par \(x\) : \(2+y=\dfrac5x\), puis \(y=\dfrac5x-2\).
Vérification rapide avec \(y=3\) : \(x=\dfrac55=1\), et \(\dfrac51-2=3\).
Exercice 1 (5 pts)
Un maire souhaite végétaliser sa ville.
Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs.
Ces arbres sont réputés pour leurs qualités d'ombrage et de résistance à la sécheresse.
Partie A
Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure 1 mètre.
On suppose que, chaque année, la hauteur de l'arbre augmente de 40 cm.
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_{n}\) la hauteur de l'arbre, en mètres, \(n\) années après sa plantation. Ainsi \(u_{0}=1\).
Calculer \(u_{1}\) .
Quelle sera la hauteur de l'arbre deux années après sa plantation ?
Quelle est la nature de la suite \(\left(u_{n}\right)\) ? Justifier.
Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
Au bout de combien d'années le mûrier atteindra-t-il 9 mètres de haut ?
Partie B
Au moment de la plantation, l'arbre possède un tronc et deux branches.
Un an après la plantation, on observe 4 nouvelles branches.
Deux ans après la plantation, on observe 8 nouvelles branches.
Chaque année, le nombre de nouvelles branches double comme représenté sur le schéma ci-dessous :
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(v_{n}\) le nombre de nouvelles branches \(n\) années après la plantation.
À la plantation, l'arbre possède 2 branches, ainsi on pose \(v_{0}=2\).
Quelle est la nature de la suite \(\left(v_{n}\right)\) ? Justifier.
Un an après la plantation, l'arbre a produit 4 nouvelles branches.
Il possède alors un nombre total de branches égal à 6.
Montrer que, trois ans après sa plantation, l'arbre possède un nombre total de branches égal à 30.
On donne le programme ci-contre écrit en langage Python :
Rappel :
for i in range(n)permet de répéternfois un ensemble d'instructions.La valeur affichée par ce programme est 4094.
Dans le contexte de l'exercice, que représente la valeur 4094 affichée par ce programme ?
v = 2 total = 2 for i in range(10): v = 2 * v total = total + v print(total)
Voir le corrigé détaillé de l'exercice 1
Partie A · question 1.a
La hauteur augmente de \(40\) cm, soit \(0{,}4\) m par an. L'unité de \(u_n\) est le mètre, donc il faut convertir.
\(u_1=u_0+0{,}4=1+0{,}4=1{,}4\) m.
Partie A · question 1.b
Même principe, une année de plus :
\(u_2=u_1+0{,}4=1{,}4+0{,}4=1{,}8\).
Deux ans après la plantation, l'arbre mesure \(1{,}8\) m.
Partie A · question 2
Chaque année, on ajoute toujours le même nombre : \(u_{n+1}=u_n+0{,}4\) pour tout entier naturel \(n\).
La suite \((u_n)\) est donc arithmétique, de raison \(r=0{,}4\) et de premier terme \(u_0=1\).
Partie A · question 3
Pour une suite arithmétique, \(u_n=u_0+n\times r\).
Donc \(u_n=1+0{,}4n\) pour tout entier naturel \(n\).
Partie A · question 4
On résout \(u_n=9\) :
\(1+0{,}4n=9\iff 0{,}4n=8\iff n=\dfrac{8}{0{,}4}=\dfrac{80}{4}=20\).
Le mûrier atteindra \(9\) mètres au bout de \(20\) ans.
Partie B · question 1
Le nombre de nouvelles branches double chaque année : \(v_{n+1}=2v_n\) pour tout entier naturel \(n\).
La suite \((v_n)\) est donc géométrique, de raison \(q=2\) et de premier terme \(v_0=2\).
Partie B · question 2.a
On suit l'énoncé année par année :
- un an après : \(v_1=4\) nouvelles branches, total \(6\) ;
- deux ans après : \(v_2=2\times 4=8\) nouvelles branches, total \(6+8=14\) ;
- trois ans après : \(v_3=2\times 8=16\) nouvelles branches, total \(14+16=30\).
Trois ans après sa plantation, l'arbre possède donc \(30\) branches.
Partie B · question 2.b
Dans le programme, la variable v est initialisée à \(2\) puis doublée à chaque tour de boucle : elle contient successivement \(v_1,v_2,v_3,\dots\), c'est-à-dire le nombre de nouvelles branches de l'année.
La variable total part de \(2\) (les branches à la plantation) et on y ajoute chaque année les nouvelles branches : elle contient le nombre total de branches.
La boucle s'exécute \(10\) fois, soit \(10\) années.
La valeur \(4094\) est donc le nombre total de branches de l'arbre dix ans après sa plantation.
Vérification : \(2+4+8+16+\dots+2048=4094\) (on ajoute \(v_0=2\) et les \(10\) termes suivants \(v_1=4\) à \(v_{10}=2^{11}=2048\)).
Exercice 2 (3 pts)
On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On considère les points A\((-1 ; 5)\), B\((3 ; 5)\) et C\((4 ; 0)\).
Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\).
En déduire la valeur du produit scalaire \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\).
Montrer que \(\mathrm{AC}=5\sqrt{2}\).
On admet que \(\mathrm{AB}=4\).
Écrire l'expression permettant de calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) en fonction de l'angle \(\widehat{\mathrm{BAC}}\).
En déduire une mesure, en radian, de l'angle \(\widehat{\mathrm{BAC}}\).
Aide aux calculs : \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Voir le corrigé détaillé de l'exercice 2
Question 1.a
Les coordonnées d'un vecteur se calculent par différence « arrivée moins départ » :
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}3-(-1)\\5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}4-(-1)\\0-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}\).
Piège : \(3-(-1)=3+1=4\), le signe moins devant la parenthèse change le signe.
Question 1.b
Le repère est orthonormé : \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\).
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=4\times 5+0\times(-5)=20\).
Question 2.a
Dans un repère orthonormé, \(\mathrm{AC}=\left\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right\|=\sqrt{5^2+(-5)^2}\).
\(\mathrm{AC}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt2\).
Question 3.a
Pour deux vecteurs non nuls, \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}\times\cos\widehat{\mathrm{BAC}}\).
Avec \(\mathrm{AB}=4\) et \(\mathrm{AC}=5\sqrt2\) :
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=4\times 5\sqrt2\times\cos\widehat{\mathrm{BAC}}=20\sqrt2\,\cos\widehat{\mathrm{BAC}}\).
Question 3.b
On a calculé le même produit scalaire de deux façons : \(20=20\sqrt2\,\cos\widehat{\mathrm{BAC}}\).
Donc \(\cos\widehat{\mathrm{BAC}}=\dfrac{20}{20\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) (aide aux calculs).
On reconnaît la valeur remarquable \(\cos\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}{2}\). Une mesure de l'angle \(\widehat{\mathrm{BAC}}\) est donc \(\dfrac\pi4\) radian (soit \(45^\circ\)).
Vérification : \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) a des coordonnées égales en valeur absolue, il fait un angle de \(45^\circ\) avec l'horizontale, direction de \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(f\) une fonction définie sur \(]0 ; +\infty[\).
On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) représentative de la fonction \(f\) et la droite \(T_{\mathrm{A}}\) tangente à la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) au point A de coordonnées \((1 ; 20)\).
La droite \(T_{\mathrm{A}}\) passe par le point B de coordonnées \((3 ; 10)\).
Donner \(f(1)\).
Déterminer la valeur de \(f'(1)\).
Justifier que l'équation réduite de la tangente \(T_{A}\) à \(\mathcal{C}_{f}\) au point \(A\) est : \(y=-5x+25\).
Pour la suite de l'exercice, la fonction \(f\) est définie sur \(]0 ; +\infty[\) par
\[f(x)=\dfrac{4x^{2}+7x+9}{x}.\]On admet que \(f\) est dérivable sur cet intervalle.
Démontrer que pour tout \(x\in\,]0 ; +\infty[\), on a
\[f'(x)=\dfrac{(2x-3)(2x+3)}{x^{2}}.\]Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]0 ; +\infty[\).
En déduire les variations de la fonction \(f\) sur \(]0 ; +\infty[\).
Existe-t-il une tangente à \(\mathcal{C}_{f}\) parallèle à la droite d'équation \(y=3x+5\) ? Justifier votre réponse.
Voir le corrigé détaillé de l'exercice 3
Question 1.a
Le point A\((1;20)\) appartient à la courbe \(\mathcal{C}_f\), donc \(f(1)=20\).
Question 1.b
\(f'(1)\) est le coefficient directeur de la tangente en A, c'est-à-dire de la droite (AB) avec A\((1;20)\) et B\((3;10)\) :
\(f'(1)=\dfrac{y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A}}{x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}}=\dfrac{10-20}{3-1}=\dfrac{-10}{2}=-5\).
Question 1.c
La tangente au point d'abscisse \(1\) a pour équation \(y=f'(1)(x-1)+f(1)\).
\(y=-5(x-1)+20=-5x+5+20=-5x+25\).
Vérification : le point B\((3;10)\) donne \(-5\times 3+25=10\), il est bien sur la droite.
Question 2.a
On pose \(f=\dfrac uv\) avec \(u(x)=4x^2+7x+9\) et \(v(x)=x\), donc \(u'(x)=8x+7\) et \(v'(x)=1\). La formule est \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\).
\(f'(x)=\dfrac{(8x+7)\times x-\left(4x^2+7x+9\right)\times 1}{x^2}=\dfrac{8x^2+7x-4x^2-7x-9}{x^2}=\dfrac{4x^2-9}{x^2}\).
On reconnaît l'identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :
\(4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)\), d'où \(f'(x)=\dfrac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}\).
Question 2.b
Le dénominateur \(x^2\) est strictement positif sur \(]0;+\infty[\) : le signe de \(f'(x)\) est celui du numérateur.
- \(2x-3>0\iff x>\dfrac32\) ;
- \(2x+3>0\iff x>-\dfrac32\), vrai pour tout \(x\) de \(]0;+\infty[\).
Ainsi \(f'(x)<0\) sur \(\left]0;\dfrac32\right[\), \(f'(x)=0\) en \(\dfrac32\) et \(f'(x)>0\) sur \(\left]\dfrac32;+\infty\right[\).
Question 2.c
Une fonction est décroissante là où sa dérivée est négative, croissante là où elle est positive.
\(f\) est décroissante sur \(\left]0;\dfrac32\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac32;+\infty\right[\) : elle admet un minimum en \(x=\dfrac32\), qui vaut \(f\left(\dfrac32\right)=\dfrac{4\times\dfrac94+7\times\dfrac32+9}{\dfrac32}=\dfrac{9+10{,}5+9}{1{,}5}=\dfrac{28{,}5}{1{,}5}=19\).
C'est cohérent avec le graphique : la courbe descend jusqu'à un point bas d'ordonnée environ \(19\), atteint entre \(1\) et \(2\), puis remonte.
Question 3
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Une tangente en \(x_0\) a pour coefficient directeur \(f'(x_0)\), et la droite \(y=3x+5\) a pour coefficient directeur \(3\).
On résout \(f'(x)=3\) sur \(]0;+\infty[\) :
\(\dfrac{4x^2-9}{x^2}=3\iff 4x^2-9=3x^2\iff x^2=9\iff x=3\text{ ou }x=-3\).
Seule la solution \(x=3\) appartient à \(]0;+\infty[\).
Il existe donc une unique tangente parallèle à la droite d'équation \(y=3x+5\) : celle au point d'abscisse \(3\).
Au programme du sujet 2026 · Centres étrangers · spé maths
Épreuve anticipée de mathématiques de Première (voie générale, avec spécialité mathématiques), session du 8 juin 2026, durée 2 heures, 20 points, sans calculatrice. Chaque question est corrigée pas à pas, avec la méthode à retenir et les pièges à éviter.
- Automatismes : 8 questions de QCM sur 6 points
- Exercice 1 (5 points) : algorithmique, python et tableur
- Exercice 2 (3 points) : produit scalaire et géométrie repérée, trigonométrie
- Exercice 3 (6 points) : dérivation, fonctions affines et droites
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Questions fréquentes
Quels sont les thèmes du sujet Centres étrangers 2026 de l'épreuve anticipée de maths (spé maths) ?
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Combien de temps dure l'épreuve anticipée de maths et la calculatrice est-elle autorisée ?
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