2026Épreuve anticipée · tronc commun · Centres étrangers

Question 1

Le client est choisi au hasard, chaque client a la même chance d'être choisi : on est en situation d'équiprobabilité, donc \(P(E)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\).

Dans le tableau, il y a 900 clients satisfaits sur 1\,000 clients au total :

\(P(S)=\dfrac{900}{1000}=\dfrac{9}{10}=0{,}9\).

Question 2

\(S\cap I\) : « le client est satisfait et a acheté son billet par internet ». Dans le tableau, on lit \(720\) clients à l'intersection de la ligne « Satisfait » et de la colonne « internet ».

\(P(S\cap I)=\dfrac{720}{1000}=0{,}72\).

Interprétation : \(72\) % des clients de l'enquête sont à la fois satisfaits et ont acheté leur billet par internet. Autrement dit, si on choisit un client au hasard, il y a \(72\) chances sur \(100\) qu'il soit satisfait et ait acheté par internet.

Question 3

\(P_S(I)\) est la probabilité que le client ait acheté par internet sachant qu'il est satisfait. On se restreint donc aux \(900\) clients satisfaits :

\(P_S(I)=\dfrac{P(S\cap I)}{P(S)}=\dfrac{0{,}72}{0{,}9}=\dfrac{720}{900}=\dfrac{4}{5}=0{,}8\).

Question 4

Deux événements \(S\) et \(I\) (de probabilités non nulles) sont indépendants si et seulement si \(P_S(I)=P(I)\), ou de façon équivalente \(P(S\cap I)=P(S)\times P(I)\).

\(P(I)=\dfrac{800}{1000}=0{,}8\), et on a trouvé \(P_S(I)=0{,}8\).

Vérification avec l'autre formule : \(P(S)\times P(I)=0{,}9\times 0{,}8=0{,}72=P(S\cap I)\).

Donc \(I\) et \(S\) sont indépendants : savoir qu'un client est satisfait ne change pas la probabilité qu'il ait acheté par internet.

Question 5

Les clients ayant acheté en agence sont ceux de l'événement contraire \(\overline{I}\) : il y en a \(200\). Parmi eux, \(180\) sont satisfaits.

\(P_{\overline{I}}(S)=\dfrac{180}{200}=\dfrac{90}{100}=0{,}9\).

Donc \(90\) % des clients qui ont acheté en agence sont satisfaits : l'affirmation du service marketing est exacte.

Remarque : on retrouve la valeur de \(P(S)=0{,}9\), ce qui est cohérent avec l'indépendance de la question précédente.

Question 1

La fonction est une somme de termes de la forme \(ax^n\), dont la dérivée est \(a\,n\,x^{n-1}\). La dérivée d'une constante est nulle.

\(f'(x)=-1\times 3x^2+4{,}5\times 2x-6\times 1+0\)

\(f'(x)=-3x^2+9x-6\).

Question 2

On développe le produit \((3x-6)(1-x)\) par double distributivité :

\((3x-6)(1-x)=3x\times 1+3x\times(-x)+(-6)\times 1+(-6)\times(-x)\)

\((3x-6)(1-x)=3x-3x^2-6+6x=-3x^2+9x-6\).

On retrouve l'expression de la question 1 : \(f'(x)=(3x-6)(1-x)\).

Attention au signe : \((-6)\times(-x)=+6x\).

Question 3

La forme factorisée est la plus pratique : on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes.

\(3x-6\geqslant 0\iff x\geqslant 2\) : fonction affine croissante, négative avant \(2\) et positive après.

\(1-x\geqslant 0\iff x\leqslant 1\) : fonction affine décroissante, positive avant \(1\) et négative après.

Règle des signes sur \([0\,;10]\) :

• sur \([0\,;1[\) : \(3x-6<0\) et \(1-x>0\), donc \(f'(x)<0\) ;
• sur \(]1\,;2[\) : \(3x-6<0\) et \(1-x<0\), donc \(f'(x)>0\) ;
• sur \(]2\,;10]\) : \(3x-6>0\) et \(1-x<0\), donc \(f'(x)<0\) ;
• \(f'(1)=f'(2)=0\).

Conclusion : \(f'(x)\leqslant 0\) sur \([0\,;1]\) et sur \([2\,;10]\), \(f'(x)\geqslant 0\) sur \([1\,;2]\).

Vérification : \(f'(0)=-6<0\), \(f'(1{,}5)=(-1{,}5)\times(-0{,}5)=0{,}75>0\) et \(f'(3)=3\times(-2)=-6<0\).

Question 4

Une fonction est décroissante là où sa dérivée est négative, croissante là où elle est positive.

• \(f'\leqslant 0\) sur \([0\,;1]\) : \(f\) est décroissante sur \([0\,;1]\) ;
• \(f'\geqslant 0\) sur \([1\,;2]\) : \(f\) est croissante sur \([1\,;2]\) ;
• \(f'\leqslant 0\) sur \([2\,;10]\) : \(f\) est décroissante sur \([2\,;10]\).

\(f\) admet donc un minimum local en \(x=1\) et un maximum local en \(x=2\) (leurs valeurs ne sont pas demandées).

Question 1

En 2025, il y avait \(B_0=900\) adhérents, et le club en perd \(10\) chaque année.

\(B_1=900-10=890\).

Interprétation : en 2026 (\(2025+1\)), le club compterait environ \(890\) adhérents.

Question 2

Chaque année, on retire \(10\) au nombre d'adhérents : on ajoute toujours le même nombre \(-10\). La suite \((B_n)\) est donc arithmétique de premier terme \(B_0=900\) et de raison \(-10\).

\(B_n=B_0+n\times r=900-10n\).

Vérification : pour \(n=1\), on retrouve \(900-10=890\).

Question 3

L'année 2035 correspond à \(n=2035-2025=10\).

\(B_{10}=900-10\times 10=800\).

Une baisse de \(10\) % de \(900\) correspond à \(900\times 0{,}9=810\) adhérents (coefficient multiplicateur \(1-0{,}10=0{,}9\)).

Comme \(800<810\), le club aura perdu plus de \(10\) % de ses adhérents.

Autre méthode : la perte est \(900-800=100\) adhérents, et \(\dfrac{100}{900}=\dfrac19\approx 11{,}1\) % \(>10\) %.

Question 4

L'année 2028 correspond à \(n=2028-2025=3\) : on lit l'ordonnée du point d'abscisse \(3\).

On lit environ \(350\) adhérents (valeur approchée, avec la précision permise par le graphique).

Vérification avec le modèle de la question suivante : \(H_3=200\times 1{,}2^3=200\times 1{,}728=345{,}6\), cohérent avec la lecture.

Question 5

\(H_{n+1}=1{,}2\times H_n\) : pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre \(1{,}2\).

La suite \((H_n)\) est donc géométrique de raison \(q=1{,}2\).

Son premier terme est \(H_0=200\) (nombre d'adhérents en 2025).

Question 6

On compare les deux clubs année par année, en calculant \(B_n\) avec la formule et en lisant \(H_n\) sur le graphique.

Pour \(n=7\) (2032) : \(B_7=900-70=830\), et on lit \(H_7\approx 720\) : \(H_7

Pour \(n=8\) (2033) : \(B_8=900-80=820\), et on lit \(H_8\approx 860\) : \(H_8>B_8\).

Le modèle confirme ces lectures : \(H_7=200\times 1{,}2^7\approx 716{,}6<830\) et \(H_8=200\times 1{,}2^8\approx 859{,}9>820\).

Comme \((H_n)\) est croissante et \((B_n)\) décroissante, l'écart ne se renverse plus ensuite.

C'est donc à partir de \(2025+8=2033\) que le club de handball aura plus d'adhérents que le club de basketball.