Annales · Épreuve anticipée de maths › tronc commun
2026Épreuve anticipée · tronc commun · Amérique du Nord
Voie générale, sans spécialité mathématiques (tronc commun) · 1er juin 2026
Mis à jour le 22 octobre 2026
Automatismes QCM · 6 points · 12 questions
Aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. Calculatrice interdite.
Question 1
On veut comparer deux nombres réels notés \(A\) et \(B\).
On sait que la différence \(A - B\) est strictement positive. Alors :
\(A<B\)
\(A>B\)
\(A=B\)
On ne peut pas savoir
Voir la correction de la question 1
Bonne réponse : B
Dire que \(A-B>0\) signifie que \(A\) est strictement plus grand que \(B\), donc \(A>B\).
Exemple : \(A=5\) et \(B=3\) donnent \(A-B=2>0\) et bien \(5>3\).
Question 2
On considère le nombre \(C=\dfrac{1}{2}+3\times\dfrac{5}{6}\). On a :
\(C = 2\)
\(C = \dfrac{35}{12}\)
\(C = \dfrac{35}{2}\)
\(C = 3\)
Voir la correction de la question 2
Bonne réponse : D
On respecte les priorités : la multiplication avant l'addition.
\(3\times\dfrac56=\dfrac{15}{6}=\dfrac52\), puis \(C=\dfrac12+\dfrac52=\dfrac62=3\).
Piège : additionner d'abord \(\dfrac12\) et \(3\) ne respecte pas les priorités opératoires.
Question 3
On considère le nombre \(D=3 \times 2^5 \times 2^3\). On a :
\(D = 3\times 2^{8}\)
\(C = 6^{8}\)
\(C = 3\times 2^{15}\)
\(C = 7^{8}\)
Voir la correction de la question 3
Bonne réponse : A
On utilise la règle \(a^m\times a^n=a^{m+n}\).
\(2^5\times 2^3=2^{5+3}=2^8\), donc \(D=3\times 2^8\).
Piège : on n'additionne pas les exposants avec le facteur \(3\), qui n'a pas la même base. Les réponses B et D sont fausses car on ne peut pas regrouper \(3\) et \(2\) en une seule base. Pour C, on multiplie les exposants au lieu de les additionner.
Question 4
On considère le nombre \(E = 999 \times 1001\). Un ordre de grandeur de \(E\) est :
\(1000\)
\(10\,000\)
\(100\,000\)
\(1\,000\,000\)
Voir la correction de la question 4
Bonne réponse : D
On remplace chaque facteur par un nombre voisin plus simple : \(999\approx 1000\) et \(1001\approx 1000\).
\(E\approx 1000\times 1000=1\,000\,000\).
Vérification : \(999\times 1001=(1000-1)(1000+1)=1000^2-1=999\,999\), bien proche de \(1\,000\,000\).
Question 5
Quand on développe \((x+2)^2\), on obtient :
\(x^2+4x+4\)
\(2x+4\)
\(x^2+4\)
\(x^2-4\)
Voir la correction de la question 5
Bonne réponse : A
On utilise l'identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) avec \(a=x\) et \(b=2\).
\((x+2)^2=x^2+2\times x\times 2+2^2=x^2+4x+4\).
Piège : \((x+2)^2\) n'est pas égal à \(x^2+4\) (réponse C), il faut penser au double produit \(4x\).
Question 6
L'équation \(3x - 5 = x + 3\) a pour solution :
\(x = -4\)
\(x = 8\)
\(x = 6\)
\(x = 4\)
Voir la correction de la question 6
Bonne réponse : D
On regroupe les termes en \(x\) d'un côté et les nombres de l'autre.
\(3x-5=x+3\iff 3x-x=3+5\iff 2x=8\iff x=4\).
Vérification : \(3\times 4-5=7\) et \(4+3=7\).
Question 7
Dans une boîte de 60 chocolats 40 % sont des chocolats au lait. Combien y a-t-il de chocolats au lait dans la boite ?
20
24
25
40
Voir la correction de la question 7
Bonne réponse : B
\(40\) % de \(60\) : \(\dfrac{40}{100}\times 60=0{,}4\times 60=24\).
Autre méthode : \(10\) % de \(60\) font \(6\), donc \(40\) % font \(4\times 6=24\).
Piège : \(40\) est le pourcentage, pas le nombre de chocolats.
Question 8
Le taux d'évolution équivalent à une baisse de 10 % suivie d'une baisse de 20 % est :
\(-38~\%\)
\(-30~\%\)
\(-28~\%\)
\(-18~\%\)
Voir la correction de la question 8
Bonne réponse : C
Une baisse de \(10\) % correspond au coefficient multiplicateur \(0{,}9\), une baisse de \(20\) % au coefficient \(0{,}8\).
Le coefficient global est le produit : \(0{,}9\times 0{,}8=0{,}72=1-0{,}28\).
Le taux d'évolution équivalent est donc \(-28\) %.
Piège : les pourcentages ne s'additionnent pas (\(-10-20=-30\) %, réponse B), car la seconde baisse porte sur un prix déjà diminué.
Question 9
Une droite est représentée ci-contre. L'équation réduite de cette droite est :
\(y = -2x +3\)
\(y = 3x + 1{,}5\)
\(y = -0{,}5x + 3\)
\(y = -2x + 1{,}5\)
Voir la correction de la question 9
Bonne réponse : A
La droite coupe l'axe des ordonnées au point \((0\,;3)\) : l'ordonnée à l'origine est \(3\).
Elle coupe l'axe des abscisses au point \((1{,}5\,;0)\) : le coefficient directeur vaut \(\dfrac{0-3}{1{,}5-0}=-2\).
L'équation réduite est donc \(y=-2x+3\).
Vérification : la droite descend de gauche à droite, le coefficient directeur est négatif, ce qui élimine B. Pour \(x=0\), \(y=3\), ce qui élimine D.
Question 10
En physique, l'énergie cinétique d'un véhicule est donnée par la formule :
\[E=\dfrac{1}{2}m v^{2}\]où \(m\) représente la masse du véhicule et \(v\) sa vitesse.
On souhaite exprimer \(v\) en fonction de \(E\) et \(m\). Une expression de \(v\) est :
\(v=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}\)
\(v=\dfrac{2E}{m}\)
\(v=\sqrt{E-\dfrac{1}{2}m}\)
\(v=\sqrt{2mE}\)
Voir la correction de la question 10
Bonne réponse : A
On isole \(v^2\) : \(E=\dfrac12 mv^2\iff 2E=mv^2\iff v^2=\dfrac{2E}{m}\).
Comme une vitesse est positive, \(v=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}\).
Vérification : en remplaçant, \(\dfrac12 m\times\dfrac{2E}{m}=E\).
Question 11
Une fonction \(h\) définie sur \([-3~;~4]\) est représentée ci-contre.
L'équation \(h(x)=2\) a pour ensemble solution :
\(\mathcal{S}=\{2\}\)
\(\mathcal{S}=\{-2~;~2~;~3\}\)
\(\mathcal{S}=[-2~;~3]\)
\(\mathcal{S}=\{-0{,}5~;~0{,}5\}\)
Voir la correction de la question 11
Bonne réponse : B
Résoudre \(h(x)=2\), c'est chercher les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée vaut \(2\) : on trace la droite horizontale \(y=2\) et on lit ses points d'intersection avec la courbe.
On lit trois abscisses : \(-2\), \(2\) et \(3\). Donc \(\mathcal{S}=\{-2\,;2\,;3\}\).
Piège : ne pas confondre avec l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe est au-dessus de \(2\), qui s'écrirait avec un intervalle.
Question 12
Un élève a obtenu une série de trois notes 9 ; 11 ; 13 en mathématiques. Il a déterminé la moyenne et la médiane de cette série.
Il a obtenu deux nouvelles notes : 10 et 17 et obtient ainsi une nouvelle série de notes : 9 ; 10 ; 11 ; 13 ; 17.
Laquelle des quatre propositions est vraie ?
Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont égales.
Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont différentes.
Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont égales.
Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont différentes.
Voir la correction de la question 12
Bonne réponse : C
Série initiale \(9\) ; \(11\) ; \(13\) : moyenne \(\dfrac{9+11+13}{3}=\dfrac{33}{3}=11\) et médiane \(11\) (valeur centrale).
Nouvelle série \(9\) ; \(10\) ; \(11\) ; \(13\) ; \(17\) : moyenne \(\dfrac{9+10+11+13+17}{5}=\dfrac{60}{5}=12\) et médiane \(11\) (3e valeur sur 5).
Les moyennes sont différentes (\(11\) et \(12\)) et les médianes sont égales (\(11\)).
Exercice 1 (5 pts)
En juin 2019, une population de 200 marmottes a été introduite dans un massif montagneux où cette espèce était absente. Un zoologue en charge de ce projet souhaite modéliser l'évolution de cette population en fonction du temps.
Il constate qu'entre juin 2019 et juin 2020, la population a augmenté de 20 individus.
Partie A : Premier modèle
Le zoologue propose un premier modèle où la population augmente de 20 individus tous les ans.
On note alors \(u_{n}\) la population de marmottes que l'on peut estimer à l'aide de ce modèle en juin \(2019+n\). On a donc \(u_{0}=200\).
Quelle est la nature de la suite \(\left(u_{n}\right)\) ? Préciser sa raison.
À combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?
En juin 2025, un nouveau décompte a permis de savoir que la population était de 355 individus. Ce premier modèle semble-t-il être adapté à la situation ?
Partie B : Second modèle
On rappelle que la population de marmottes était de 200 individus en juin 2019 et de 220 individus en juin 2020.
De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté entre ces deux dates ?
Le zoologue propose un second modèle où la population augmente de ce même pourcentage tous les ans. Dans ce modèle, on représente la population de marmottes en juin \(2019+n\) par \(v_{n}\) tel que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=1{,}1\times v_{n}\).
Quelle est la nature de la suite \(\left(v_{n}\right)\) ? Préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite \(\left(v_{n}\right)\).
Selon ce nouveau modèle, à combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?
En utilisant la donnée fournie dans la question 3 de la partie A, ce nouveau modèle semble-t-il pertinent ?
Au mois de juin de quelle année la population de marmottes de ce massif montagneux aura-t-elle dépassé 400 individus, selon ce modèle ?
Voir le corrigé détaillé de l'exercice 1
Partie A · question 1
Chaque année, la population augmente du même nombre d'individus, \(20\) : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours \(20\).
\(u_{n+1}=u_n+20\) : la suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(20\), de premier terme \(u_0=200\).
Partie A · question 2
Juin \(2025\) correspond à \(n=2025-2019=6\).
Pour une suite arithmétique, \(u_n=u_0+n\times r\), donc \(u_6=200+6\times 20=200+120=320\).
On peut estimer à \(320\) le nombre de marmottes en juin \(2025\).
Partie A · question 3
Le décompte donne \(355\) individus, alors que le modèle en prévoit \(320\) : l'écart est de \(355-320=35\).
Cet écart représente environ \(\dfrac{35}{355}\approx 10\) % de la population observée, ce qui est important.
Le premier modèle ne semble donc pas adapté à la situation.
Partie B · question 1
Le taux d'évolution se calcule par \(\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\).
\(\dfrac{220-200}{200}=\dfrac{20}{200}=\dfrac{10}{100}=0{,}1\).
La population a augmenté de \(10\) % entre juin \(2019\) et juin \(2020\).
Partie B · question 2.a
Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par \(1{,}1\), qui est le coefficient multiplicateur associé à une hausse de \(10\) %.
La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(1{,}1\). Son premier terme \(v_0\) est la population en juin \(2019\) : \(v_0=200\).
Partie B · question 2.b
Pour une suite géométrique, \(v_n=v_0\times q^n\).
Pour tout entier naturel \(n\) : \(v_n=200\times 1{,}1^n\).
Partie B · question 3.a
Juin \(2025\) correspond à \(n=6\), donc on lit \(v_6\) dans le tableur.
La cellule H2 donne \(v_6\approx 354\) : on peut estimer à environ \(354\) le nombre de marmottes en juin \(2025\).
Vérification : \(200\times 1{,}1^6\approx 200\times 1{,}77=354\).
Partie B · question 3.b
Le décompte réel donne \(355\) individus, et le modèle \(354\). L'écart est de \(1\) individu seulement, soit moins de \(0{,}3\) % de \(355\).
Le second modèle est donc très proche de la réalité : il paraît pertinent.
Partie B · question 3.c
On cherche le premier terme de la suite qui dépasse \(400\). Dans le tableau, \(v_7\approx 390\) est encore inférieur à \(400\), puis \(v_8\approx 429\) (cellule H8) dépasse \(400\).
\(v_8\) correspond à \(n=8\), c'est-à-dire à l'année \(2019+8=2027\).
La population aura dépassé \(400\) individus en juin \(2027\).
Exercice 2 (5 pts)
Les 200 adhérents d'une salle de sport ne pratiquent qu'une seule activité parmi les deux activités suivantes : le step et le crossfit. La répartition des adhérents est donnée dans le tableau suivant.
| Step | Crossfit | Total | |
| Homme | 20 | 80 | 100 |
| Femme | 60 | 40 | 100 |
| Total | 80 | 120 | 200 |
On choisit un adhérent au hasard parmi les 200 adhérents.
On considère les évènements suivants :
\(F\) : « l'adhérent est une femme » ;
\(H\) : « l'adhérent est un homme » ;
\(S\) : « l'adhérent pratique le step » ;
\(C\) : « l'adhérent pratique le crossfit ».
Déterminer la probabilité \(\text{P}(F)\) de l'évènement \(F\).
Déterminer la probabilité que l'adhérent soit un homme qui pratique le step.
Déterminer la probabilité de l'évènement \(F\cap S\).
Les évènements \(F\) et \(S\) sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
On choisit au hasard une femme parmi les adhérents.
Quelle est la probabilité qu'elle pratique le crossfit ?
Déterminer la probabilité \(\text{P}_{C}(F)\).
Voir le corrigé détaillé de l'exercice 2
Question 1
Il y a \(100\) femmes parmi les \(200\) adhérents, tous les choix étant équiprobables.
\(P(F)=\dfrac{100}{200}=0{,}5\).
Question 2
On cherche \(P(H\cap S)\) : les hommes qui font du step sont au nombre de \(20\) (ligne Homme, colonne Step).
\(P(H\cap S)=\dfrac{20}{200}=0{,}1\).
Question 3
Les femmes qui font du step sont au nombre de \(60\) (ligne Femme, colonne Step).
\(P(F\cap S)=\dfrac{60}{200}=0{,}3\).
Question 4
Deux évènements \(F\) et \(S\) sont indépendants si \(P(F\cap S)=P(F)\times P(S)\).
\(P(F)\times P(S)=0{,}5\times\dfrac{80}{200}=0{,}5\times 0{,}4=0{,}2\), alors que \(P(F\cap S)=0{,}3\).
Les deux valeurs sont différentes : les évènements \(F\) et \(S\) ne sont pas indépendants.
Autre justification : \(P_S(F)=\dfrac{60}{80}=0{,}75\neq P(F)=0{,}5\).
Question 5
On se place parmi les \(100\) femmes : \(40\) d'entre elles font du crossfit.
\(P_F(C)=\dfrac{40}{100}=0{,}4\).
Question 6
On cherche la probabilité que l'adhérent soit une femme, sachant qu'il pratique le crossfit : on se place parmi les \(120\) pratiquants de crossfit.
\(P_C(F)=\dfrac{40}{120}=\dfrac13\).
Piège : ne pas confondre avec \(P_F(C)=0{,}4\) : ce n'est pas le même groupe de référence (les femmes d'un côté, les pratiquants de crossfit de l'autre).
Exercice 3 (4 pts)
On considère ci-dessous la représentation graphique d'une fonction \(f\) définie sur \([-2~;~4]\). On a également tracé sa tangente au point \(A\) d'abscisse \(-1\).
Par lecture graphique, donner la valeur de :
\(f(3)\)
\(f'(-1)\)
On admet que la fonction \(f\) est définie sur \([-2~;~4]\) par \(f(x)=-x^{2}+2x+8\).
Calculer \(f'(x)\) pour \(x\) appartenant à \([-2~;~4]\).
Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([-2~;~4]\).
Donner les variations de \(f\) sur \([-2~;~4]\).
Voir le corrigé détaillé de l'exercice 3
Question 1.a
On lit l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse \(3\) : \(f(3)\approx 5\).
Question 1.b
Le nombre dérivé \(f'(-1)\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(-1\).
La tangente passe par \(\mathrm{A}(-1\,;5)\) et par le point \((0\,;9)\) : quand on avance de \(1\) vers la droite, on monte de \(4\). Donc \(f'(-1)\approx 4\).
Contrôle avec la question suivante : \(f'(-1)=-2\times(-1)+2=4\).
Question 2.a
On dérive terme à terme : \((x^2)'=2x\), \((2x)'=2\) et la dérivée d'une constante est nulle.
\(f'(x)=-2x+2\).
Question 2.b
\(f'(x)=0\iff -2x+2=0\iff x=1\).
\(f'\) est une fonction affine de coefficient directeur \(-2<0\) : elle est décroissante, donc positive avant sa racine et négative après.
\(f'(x)>0\) sur \([-2\,;1[\), \(f'(1)=0\) et \(f'(x)<0\) sur \(]1\,;4]\).
Question 3
Si \(f'\) est positive, \(f\) est croissante ; si \(f'\) est négative, \(f\) est décroissante. On calcule les valeurs aux bornes et en \(1\) :
\(f(-2)=-(-2)^2+2\times(-2)+8=-4-4+8=0\)
\(f(1)=-(1)^2+2\times 1+8=-1+2+8=9\)
\(f(4)=-(4)^2+2\times 4+8=-16+8+8=0\)
La fonction \(f\) est croissante sur \([-2\,;1]\), de \(0\) à \(9\), puis décroissante sur \([1\,;4]\), de \(9\) à \(0\). Son maximum est \(9\), atteint en \(x=1\).
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