2026Épreuve anticipée · spé maths · Métropole (secours)

Partie A · question 1

On compare le comportement des deux courbes : la dérivée est positive là où la fonction est croissante, négative là où elle est décroissante, et nulle aux extremums.

Si \(\mathcal{C}\) représentait la dérivée, elle serait positive sur \([-2\,;3]\) et la fonction représentée par \(\mathcal{C}'\) serait croissante sur cet intervalle. Or \(\mathcal{C}'\) descend entre \(x=-0{,}5\) environ et \(x=2{,}4\) : c'est faux.

Au contraire, avec \(\mathcal{C}'\) dérivée de la fonction représentée par \(\mathcal{C}\) : \(\mathcal{C}'\) s'annule en \(1\), où \(\mathcal{C}\) a son maximum local, et en \(3\), où \(\mathcal{C}\) touche l'axe des abscisses (minimum). \(\mathcal{C}'\) est positive là où \(\mathcal{C}\) monte et négative là où \(\mathcal{C}\) descend.

Partie A · question 2

L'équation de la tangente à \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(a\) est \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Ici \(a=0\).

On lit sur \(\mathcal{C}\) : \(f(0)=9\). On lit sur \(\mathcal{C}'\) (courbe de la dérivée) : \(f'(0)=3\).

\(y=3(x-0)+9\), soit \(y=3x+9\).

Partie A · question 3

On reconnaît une identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) avec \(a=t\) et \(b=3\) :

\((t-3)^2=t^2-2\times 3\times t+3^2=t^2-6t+9\).

Donc \(f(t)=\mathrm{e}^t\left(t^2-6t+9\right)=\mathrm{e}^t(t-3)^2\).

Signe de \(f\) : pour tout réel \(t\), \(\mathrm{e}^t>0\) et \((t-3)^2\geqslant 0\) (un carré est positif ou nul). Le produit est donc positif ou nul : \(f(t)\geqslant 0\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(f(t)=0\) uniquement pour \(t=3\).

Partie A · question 4

\(f(0)=\mathrm{e}^0(0-3)^2=1\times 9=9\).

Interprétation : à l'instant initial, quand on introduit l'antibiotique, la densité de bactéries est de \(9\) milliers de bactéries par millilitre, soit \(9\,000\) bactéries par mL.

Partie A · question 5

\(f\) est le produit \(uv\) avec \(u(t)=\mathrm{e}^t\) et \(v(t)=t^2-6t+9\), donc \(u'(t)=\mathrm{e}^t\) et \(v'(t)=2t-6\). La formule est \((uv)'=u'v+uv'\).

\(f'(t)=\mathrm{e}^t\left(t^2-6t+9\right)+\mathrm{e}^t(2t-6)\)

On factorise par \(\mathrm{e}^t\) :

\(f'(t)=\mathrm{e}^t\left(t^2-6t+9+2t-6\right)=\mathrm{e}^t\left(t^2-4t+3\right)\).

Partie A · question 6.a

Comme \(\mathrm{e}^t>0\), le signe de \(f'(t)\) est celui du trinôme \(t^2-4t+3\).

Ses racines sont \(1\) et \(3\) : en effet \((t-1)(t-3)=t^2-3t-t+3=t^2-4t+3\). (Avec le discriminant : \(\Delta=16-12=4\), donc \(t=\dfrac{4\pm 2}{2}\).)

Le coefficient de \(t^2\) est \(1>0\) : le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

Donc \(f'(t)\geqslant 0\) sur \(]-\infty\,;1]\) et sur \([3\,;+\infty[\), et \(f'(t)<0\) sur \(]1\,;3[\).

On retrouve ce qu'on lit sur \(\mathcal{C}'\) : la courbe est sous l'axe des abscisses entre \(1\) et \(3\).

Partie A · question 6.b

Sur \([0\,;+\infty[\) :

• \(f\) est croissante sur \([0\,;1]\), de \(f(0)=9\) à \(f(1)=\mathrm{e}\times(1-3)^2=4\mathrm{e}\approx 10{,}8\) ;
• \(f\) est décroissante sur \([1\,;3]\), de \(4\mathrm{e}\) à \(f(3)=\mathrm{e}^3\times 0=0\) ;
• \(f\) est croissante sur \([3\,;+\infty[\), à partir de \(0\).

Vérification : \(f(3)=0\) est bien le minimum de \(f\) puisque \(f\geqslant 0\).

Question 1

À l'étage 1 (le plus bas), il y a un triangle « pointe en haut » par colonne de cartes : on en compte \(N\).

Par exemple pour \(N=3\), il y a \(3\) triangles « pointe en haut » à l'étage 1.

Question 2

Les étages successifs comptent \(N\), \(N-1\), \(\dots\), \(2\), \(1\) triangles. Le total est \(S=1+2+\dots+N\).

Astuce de la somme de Gauss : on écrit la somme dans les deux sens et on additionne terme à terme.

\(S=1+2+\dots+N\) et \(S=N+(N-1)+\dots+1\), donc \(2S=\underbrace{(N+1)+(N+1)+\dots+(N+1)}_{N\text{ termes}}=N(N+1)\).

Donc \(S=\dfrac{N(N+1)}{2}\).

Vérification pour \(N=3\) : \(1+2+3=6=\dfrac{3\times4}{2}\).

Question 3

Un triangle « pointe en haut » se fait avec \(2\) cartes. Les triangles utilisent donc \(2\times\dfrac{N(N+1)}{2}=N(N+1)\) cartes.

Il faut aussi des cartes horizontales : chaque étage, sauf le plus bas, repose sur autant de cartes horizontales qu'il a de triangles. Les étages de \(1\), \(2\), \(\dots\), \(N-1\) triangles donnent \(1+2+\dots+(N-1)=\dfrac{(N-1)N}{2}\) cartes (même formule de somme, avec \(N-1\) à la place de \(N\)).

Au total :

\(N(N+1)+\dfrac{N(N-1)}{2}=\dfrac{2N(N+1)+N(N-1)}{2}=\dfrac{N\left(2N+2+N-1\right)}{2}=\dfrac{N(3N+1)}{2}=\dfrac{3N^2+N}{2}\).

Vérification pour \(N=1\) : \(\dfrac{3+1}{2}=2\) cartes (un seul triangle), et pour \(N=3\) : \(\dfrac{27+3}{2}=15\) cartes.

Question 4

On cherche le plus grand entier \(N\) tel que \(\dfrac{3N^2+N}{2}\leqslant 54\), c'est-à-dire \(3N^2+N\leqslant 108\).

On teste les valeurs entières, sans calculatrice :

• \(N=5\) : \(\dfrac{3\times 25+5}{2}=\dfrac{80}{2}=40\leqslant 54\) : possible ;
• \(N=6\) : \(\dfrac{3\times 36+6}{2}=\dfrac{114}{2}=57>54\) : impossible.

Le nombre de cartes nécessaires augmente avec \(N\), donc on ne peut pas dépasser \(5\) étages.

Avec \(54\) cartes, on peut construire au maximum \(5\) étages (il restera \(54-40=14\) cartes).

Autre méthode : l'inéquation \(3N^2+N-108\leqslant 0\) a pour racine positive \(\dfrac{-1+\sqrt{1297}}{6}\approx 5{,}8\), d'où \(N\leqslant 5\) pour un entier.

Question 1

On lit les coordonnées sur la figure : A\((0\,;10)\), B\((5\,;10)\), C\((5\,;0)\), D\((0\,;3)\), E\((5\,;6)\), F\((4\,;0)\).

Question 2

On calcule l'aire éclairée en retirant à l'aire du rectangle OABC les deux coins non éclairés, les triangles rectangles ODF et FCE.

Aire du rectangle : \(5\times 10=50\).

Triangle ODF, rectangle en O : \(\dfrac{3\times 4}{2}=6\).

Triangle FCE, rectangle en C : \(FC=5-4=1\) et \(CE=6\), donc l'aire vaut \(\dfrac{1\times 6}{2}=3\).

Aire éclairée : \(50-6-3=41\).

Proportion : \(\dfrac{41}{50}=\dfrac{82}{100}=82\,\%>80\,\%\).

L'affirmation du visiteur est exacte.

Question 3

\(\overrightarrow{\mathrm{FD}}\begin{pmatrix}0-4\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{FE}}\begin{pmatrix}5-4\\6-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}\).

Le repère est orthonormé, donc \(\overrightarrow{\mathrm{FD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FE}}=xx'+yy'=-4\times 1+3\times 6=-4+18=14\).

Question 4

On écrit le produit scalaire avec les normes et le cosinus : \(\overrightarrow{\mathrm{FD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FE}}=\mathrm{FD}\times\mathrm{FE}\times\cos\widehat{\mathrm{DFE}}\).

Dans un repère orthonormé : \(\mathrm{FD}^2=(-4)^2+3^2=25\), donc \(\mathrm{FD}=5\). Et \(\mathrm{FE}^2=1^2+6^2=37\), donc \(\mathrm{FE}=\sqrt{37}\).

\(14=5\times\sqrt{37}\times\cos\widehat{\mathrm{DFE}}\), d'où \(\cos\widehat{\mathrm{DFE}}=\dfrac{14}{5\sqrt{37}}\).

On peut rationaliser le dénominateur : \(\dfrac{14}{5\sqrt{37}}=\dfrac{14\sqrt{37}}{185}\).

Vérification : \(\sqrt{37}\approx 6{,}1\), donc le cosinus vaut environ \(\dfrac{14}{30{,}5}\approx 0{,}46\), bien compris entre \(-1\) et \(1\).

Question 5

Le produit scalaire ne change pas si on remplace un des vecteurs par son projeté orthogonal sur la droite de l'autre. Soit M le projeté orthogonal de E sur la droite (FD) : alors \(\overrightarrow{\mathrm{FD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FM}}=\overrightarrow{\mathrm{FD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FE}}=14\).

Construction à l'équerre : on place un côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite (DF), puis on la fait glisser jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par E. On trace alors la perpendiculaire à (DF) passant par E : elle coupe (DF) en M.

Contrôle : M est bien sur le segment [DF] car FM \(=\dfrac{14}{5}=2{,}8\) est comprise entre \(0\) et \(\mathrm{FD}=5\).