2026Épreuve anticipée · techno · Polynésie

Question 1

Le client est choisi au hasard parmi \(200\) : on est en situation d'équiprobabilité.

\(28\) clients ont choisi un sorbet (total de la colonne « Sorbet »).

\(P(S)=\dfrac{28}{200}\) (soit \(\dfrac{7}{50}\) en simplifiant).

Question 2

On cherche « sorbet et pot », c'est-à-dire la case située à l'intersection de la colonne « Sorbet » et de la ligne « Pot » : \(12\) clients.

\(P(S\cap\overline{C})=\dfrac{12}{200}\) (soit \(\dfrac{3}{50}\)).

Piège : ne pas confondre avec la question 1 ; ici on exige les deux choix à la fois.

Question 3

Le client a choisi un cornet : l'univers est réduit aux \(160\) clients de la ligne « Cornet ». Parmi eux, \(64\) ont pris une glace au lait.

\(P_C(L)=\dfrac{64}{160}\) (soit \(\dfrac25\)).

Piège : on divise par \(160\) (total des cornets) et non par \(200\).

Question 4

Le client a choisi une crème glacée : l'univers est réduit aux \(104\) clients de la colonne « Crème glacée ». Parmi eux, \(24\) ont pris un pot.

\(P_G(\overline{C})=\dfrac{24}{104}\) (soit \(\dfrac{3}{13}\)).

Piège : on divise par \(104\) (total des crèmes glacées) et non par \(40\) (total des pots).

Partie A · question 1

Les versements suivants augmentent de \(400\) € chaque année par rapport au précédent :

\(u_1=u_0+400=1025+400=1425\).

Le deuxième versement est de \(1425\) €.

Partie A · question 2

Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre \(400\).

La suite \((u_n)\) est donc arithmétique, de raison \(r=400\).

Partie A · question 3

On ajoute \(400\) à chaque étape :

• \(u_2=1425+400=1825\) ;
• \(u_3=1825+400=2225\) ;
• \(u_4=2225+400=2625\) ;
• \(u_5=2625+400=3025\).

Le dernier versement est de \(3025\) €.

Vérification avec la formule \(u_n=u_0+n\times r\) : \(u_5=1025+5\times 400=1025+2000=3025\).

Partie B · question 1

Augmenter de \(10\) %, c'est multiplier par le coefficient multiplicateur \(1+\dfrac{10}{100}=1{,}1\).

\(v_1=1{,}1\times v_0=1{,}1\times 1550=1550+155=1705\).

Calcul sans calculatrice : \(10\) % de \(1550\) font \(155\).

Partie B · question 2

Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre \(1{,}1\).

La suite \((v_n)\) est donc géométrique, de raison \(q=1{,}1\).

Partie C

Pour savoir quelle formule est la plus avantageuse pour l'emprunteur, on compare ce qu'il paie en plus des \(10\,000\) € empruntés, c'est-à-dire les intérêts, d'après la dernière ligne du tableau (ligne 7, \(n=5\)).

Formule 1 : \(12\,150-10\,000=2\,150\) €.

Formule 2 : \(11\,959{,}20-10\,000=1\,959{,}20\) €.

Comme \(1\,959{,}20<2\,150\), l'emprunteur paie moins d'intérêts avec la formule 2 : la formule 2 est la plus avantageuse.

Remarque : la formule 1 commence par des versements plus faibles, mais ils augmentent ensuite de façon plus lourde sur la durée. Ce qui compte pour comparer, c'est le total remboursé.

Question 1

On développe l'expression factorisée :

\((0{,}5x+1{,}5)(-x+5)=0{,}5x\times(-x)+0{,}5x\times 5+1{,}5\times(-x)+1{,}5\times 5\)

\(=-0{,}5x^2+2{,}5x-1{,}5x+7{,}5\)

\(=-0{,}5x^2+x+7{,}5\).

On retrouve l'expression de \(f(x)\) : pour tout \(x\) de \([-4\,;6]\), \(f(x)=(0{,}5x+1{,}5)(-x+5)\).

Question 2

Le nombre dérivé en \(3\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(3\).

Par lecture graphique, la tangente passe par \((3\,;6)\) et \((4\,;4)\) :

\(f'(3)=\dfrac{4-6}{4-3}=\dfrac{-2}{1}=-2\).

Vérification par le calcul : \(f'(x)=-0{,}5\times 2x+1=-x+1\), donc \(f'(3)=-3+1=-2\).

Question 3.a

On étudie le signe de \(f(x)=(0{,}5x+1{,}5)(-x+5)\) à l'aide de ses deux facteurs :

• \(0{,}5x+1{,}5=0\iff x=-3\), et \(0{,}5x+1{,}5>0\iff x>-3\) ;
• \(-x+5=0\iff x=5\), et \(-x+5>0\iff x<5\).

Sur \([-3\,;5]\), les deux facteurs sont positifs ou nuls, donc leur produit \(f(x)\) est positif ou nul : sur cet intervalle, on a \(f(x)\geqslant 0\).

Pour \(f(x)\leqslant 0\), il faut des facteurs de signes contraires, ce qui donne \(x\in[-4\,;-3]\cup[5\,;6]\). C'est ce que confirme le graphique (courbe sous l'axe des abscisses aux deux extrémités).

Contre-exemple : \(f(0)=7{,}5>0\) et pourtant \(0\in[-3\,;5]\).

Question 3.b

On a vu que \(f'(x)=-x+1\) et que \(f'(3)=-2<0\).

Or \(3\in[1\,;4]\) : \(f'(x)\) n'est donc pas positif sur tout l'intervalle \([1\,;4]\).

En fait, \(-x+1<0\) dès que \(x>1\) : \(f'\) est négative sur \(]1\,;4]\) et la fonction \(f\) est décroissante sur \([1\,;4]\), ce que le graphique montre aussi.