Annales CRPE · Mathématiques › 2022
Sujet CRPE 2022 Mathématiques · Groupement 2 : corrigé
Exercice 1 – Probabilités, équiprobabilité, tableau à double entréeVoir le corrigé ↓
Un enseignant de grande section propose à ses élèves un jeu pour travailler la décomposition et la recomposition de nombres. Le jeu se compose de deux dés cubiques équilibrés et de corps de fourmis à compléter avec des pattes.
Sur les six faces du premier dé sont inscrits les nombres suivants : \(1\) ; \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\) et \(5\). Sur les six faces du deuxième dé sont inscrits les nombres suivants : \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\) ; \(5\) et \(5\).
On donne à chaque élève un corps de fourmi et 6 pattes à fixer sur le corps. Au début de la partie, chaque élève choisit un nombre compris entre 2 et 10. Ce nombre reste le même durant toute la partie. À tour de rôle, chaque élève joue. Il lance les deux dés : si la somme des nombres inscrits sur les faces supérieures des deux dés est égale au nombre choisi par cet élève, alors celui-ci fixe une patte à sa fourmi et relance les dés ; sinon, c'est au joueur suivant de lancer les dés. La partie se termine lorsqu'un élève a gagné, en fixant les six pattes de sa fourmi.
Commence par identifier la plus petite somme possible et la plus grande somme possible avec ces deux dés. Vérifie ensuite que toutes les sommes entières intermédiaires peuvent être obtenues à l’aide des faces disponibles.
Pour obtenir 8, identifie les paires de faces possibles entre les deux dés. N’oublie pas que le second dé possède deux faces marquées 5.
Pour obtenir 6, liste les couples possibles (face du premier dé, face du second dé). Attention à bien compter chaque face identique présente sur un dé.
Pour gagner deux pattes en deux lancers, que doit-il se passer au premier lancer ? Et au second ? Ces deux lancers sont-ils dépendants l’un de l’autre ?
Pour comparer les chances d’Eden et d’Axelle, détermine d’abord la probabilité d’obtenir chacune des sommes possibles de 2 à 10 en comptant tous les couples de faces.
Que signifie « être sûr de gagner » ? Est-ce que cela correspond à un événement certain, donc de probabilité \(1\) ? Cherche s’il existe une issue possible où Axelle gagnerait.
Voir le corrigé de l'exercice 1
1.a
Corrigé
Construisons le tableau des sommes en distinguant les deux faces « 1 » du premier dé et les deux faces « 5 » du second dé.
| Somme | Dé 2 : 1 | Dé 2 : 2 | Dé 2 : 3 | Dé 2 : 4 | Dé 2 : 5 | Dé 2 : 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Dé 1 : 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 |
| Dé 1 : 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 |
| Dé 1 : 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 7 |
| Dé 1 : 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 8 |
| Dé 1 : 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 9 |
| Dé 1 : 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 10 |
Les différentes sommes possibles sont donc : \(2\) ; \(3\) ; \(4\) ; \(5\) ; \(6\) ; \(7\) ; \(8\) ; \(9\) ; \(10\).
Pour comprendre en détail
Pour cette question, on pouvait aussi raisonner directement : la plus petite somme est \(1+1=2\), la plus grande est \(5+5=10\), et comme chaque dé possède les nombres de 1 à 5, toutes les sommes entières intermédiaires sont atteintes.
1.b
Corrigé
Il y a \(6 \times 6 = 36\) issues possibles, toutes équiprobables.
Les issues qui donnent une somme égale à \(8\) sont :
- \((3\,;5)\) avec la première face 5 du second dé,
- \((3\,;5)\) avec la seconde face 5 du second dé,
- \((4\,;4)\),
- \((5\,;3)\).
Il y a donc \(4\) issues favorables. La probabilité d’obtenir \(8\) est égale à \(\dfrac{4}{36}\), soit \(\dfrac{1}{9}\).
Pour comprendre en détail
La probabilité se calcule par dénombrement car les \(36\) couples de faces sont équiprobables.
On peut aussi visualiser la situation dans un tableau à double entrée en listant les six faces de chaque dé : les cases de somme \(8\) y apparaissent clairement au nombre de quatre.
2.a
Corrigé
Les dés sont équilibrés : les 36 issues (une face du premier dé, une face du second dé) sont équiprobables.
Les couples donnant une somme égale à 6 sont :
- \((1\,;5)\) : le dé 1 a deux faces « 1 » et le dé 2 a deux faces « 5 », donc \(2 \times 2 = 4\) issues ;
- \((2\,;4)\) : 1 issue ;
- \((3\,;3)\) : 1 issue ;
- \((4\,;2)\) : 1 issue ;
- \((5\,;1)\) : 1 issue.
Il y a donc \(4+1+1+1+1=8\) issues favorables.
La probabilité d’obtenir une somme égale à 6 est :
\(P(\text{somme } 6) = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}\).
La probabilité qu’il gagne une patte dès son premier lancer est \(\dfrac{2}{9}\).
Pour comprendre en détail
On peut aussi construire un tableau à double entrée \(6 \times 6\) des sommes pour vérifier le total.
2.b
Corrigé
D’après la question 2.a, la probabilité qu’il gagne une patte lors d’un lancer est \(\dfrac{2}{9}\).
Les deux lancers sont indépendants : le résultat du premier lancer n’influence pas celui du second.
La probabilité de gagner deux pattes en deux lancers est donc :
\[P=\left(\dfrac{2}{9}\right)^2=\dfrac{4}{81}\]
La probabilité qu’il gagne deux pattes en deux lancers est \(\dfrac{4}{81}\).
Pour comprendre en détail
Pour gagner deux pattes en deux lancers, il doit réussir son premier lancer (probabilité \(\dfrac{2}{9}\)) puis relancer et réussir son second lancer (encore \(\dfrac{2}{9}\)). On multiplie les probabilités car les lancers sont identiques et indépendants.
3.a
Corrigé
Les deux dés étant équilibrés, les \(36\) issues \((d_1\,;d_2)\) sont équiprobables.
En tenant compte des répétitions de faces, le nombre d’issues favorables à chaque somme est :
| Somme | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d’issues | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 5 | 4 | 3 | 2 |
Les probabilités sont donc \(\dfrac2{36}\), \(\dfrac3{36}\), \(\dfrac4{36}\), \(\dfrac5{36}\), \(\dfrac8{36}\), \(\dfrac5{36}\), \(\dfrac4{36}\), \(\dfrac3{36}\) et \(\dfrac2{36}\).
La somme \(6\) a la probabilité la plus grande, \(\dfrac8{36}\). Eden ayant choisi \(6\) et Axelle un autre nombre, Eden a le plus de chances de gagner la partie.
Pour comprendre en détail
Ici, la comparaison des probabilités d’obtenir une patte lors d’un lancer suffit pour conclure : comme les deux joueurs jouent dans les mêmes conditions, celui dont la somme est la plus probable atteindra plus vite les six pattes.
3.b
Corrigé
Non. « Eden est sûr de gagner » signifierait que sa victoire est un événement certain, c’est-à-dire de probabilité \(1\). Or Axelle peut gagner : par exemple, elle peut obtenir sa somme lors de ses six premiers lancers, avant qu’Eden n’obtienne la somme \(6\). Cet événement est possible, même s’il est peu probable. La probabilité qu’Eden gagne est donc strictement inférieure à \(1\) ; Eden n’est pas sûr de gagner.
Pour comprendre en détail
📘 Revoir la méthode : fiches Probabilités dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 2 – Périmètre, conversion, vitesse moyenneVoir le corrigé ↓
Dans le cadre d'une liaison écoles-collège, une professeure d'EPS et une professeure des écoles organisent une course à vélo dont le parcours est composé de quatre tronçons en ligne droite. La figure ci-dessous représente le parcours et n'est pas à l'échelle. Les élèves partent du point A et tournent dans le sens des aiguilles d'une montre. Les dimensions sont les suivantes : \(\text{AB}=960\) m, \(\text{BC}=1\text{,}05\) km, \(\text{CD}=780\) m et \(\text{AD}=660\) m.
Pour trouver la longueur totale du parcours, additionne les longueurs des quatre tronçons parcourus. Pense à convertir toutes les longueurs dans la même unité avant d'additionner.
Pense à utiliser la longueur d’un tour calculée à la question 1 et à décomposer le trajet de Léo : deux tours complets plus un tiers de tour.
Pour une vitesse en km/h, il faut une distance en km et une durée en h. Repars de la distance trouvée en 2.a, convertis-la en km, puis convertis 48 minutes en heures avant d’appliquer la formule \(v = \frac{d}{t}\).
Utilise la formule \(t=\frac{d}{v}\) avec \(d=15\) km et la vitesse moyenne trouvée en 2.b, puis compare le temps obtenu à \(1\text{,}5\) h.
Pour calculer une vitesse moyenne, commence par déterminer le temps mis par chaque élève sur sa portion, puis utilise la distance totale du parcours.
Convertis les distances réelles en distances sur le plan grâce à l'échelle (1 cm pour 200 m). Utilise ensuite le compas : D est l'intersection de deux arcs de cercle tracés depuis A et B, puis C doit être placé de l'autre côté de la diagonale [BD].
Calcule la distance parcourue par Amina en convertissant 25 minutes en heure, puis compare cette distance à la longueur d’un tour pour situer le point sur le parcours. Utilise ensuite l’échelle pour le placer sur le plan.
Voir le corrigé de l'exercice 2
1
Corrigé
Le parcours est composé des quatre tronçons AB, BC, CD et DA.
On convertit la longueur BC en mètres : \(1\text{,}05\ \text{km} = 1\text{ }050\ \text{m}\).
La longueur totale du parcours est donc :
\(\text{AB} + \text{BC} + \text{CD} + \text{DA} = 960 + 1\text{ }050 + 780 + 660 = 3\text{ }450\).
Le parcours a pour longueur \(3\text{ }450\ \text{m}\).
Pour comprendre en détail
2.a
Corrigé
Le parcours mesure \(3\text{ }450\) m. Léo a parcouru 2 tours complets et \(\dfrac{1}{3}\) de tour.
Distance parcourue : \(2 \times 3\text{ }450 + \dfrac{3\text{ }450}{3} = 6\text{ }900 + 1\text{ }150 = 8\text{ }050\ \text{m}\).
Léo a parcouru \(8\text{ }050\) m.
Pour comprendre en détail
On peut aussi additionner les fractions de tour : \(2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\), puis multiplier directement la longueur d’un tour par \(\dfrac{7}{3}\).
2.b
Corrigé
Léo a parcouru \(2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\) tours.
La distance parcourue est donc \(D = 3\text{ }450 \times \frac{7}{3} = 8\text{ }050\) m \(= 8\text{,}05\) km.
La durée est \(t = 48\) min \(= \frac{48}{60} = 0\text{,}8\) h.
On applique la formule \(v = \frac{d}{t}\) : \(v = \frac{8\text{,}05}{0\text{,}8} = 10\text{,}0625\).
La vitesse moyenne de Léo est donc \(10\text{,}0625\) km/h.
Pour comprendre en détail
On peut aussi calculer la vitesse en m/min puis convertir en km/h en multipliant par \(0\text{,}06\).
2.c
Corrigé
D’après la question 2.b, Léo a une vitesse moyenne de \(10\text{,}0625\) km/h.
Temps nécessaire pour parcourir 15 km : \(t=\dfrac{15}{10\text{,}0625}\approx 1\text{,}4907\) h.
Comme \(1\text{,}4907 \lt 1\text{,}5\), Léo aura bien parcouru 15 km en moins d’une heure et demie.
Vérification : en \(1\text{,}5\) h, il parcourt \(10\text{,}0625 \times 1\text{,}5 = 15\text{,}09375\) km, soit plus de 15 km.
Pour comprendre en détail
On peut comparer soit le temps nécessaire pour parcourir 15 km, soit la distance parcourue en \(1\text{,}5\) h ; les deux méthodes sont correctes.
3
Corrigé
Distance parcourue par Tara : \(AB+BC=960\text{ m}+1\text{,}05\text{ km}=0\text{,}96\text{ km}+1\text{,}05\text{ km}=2\text{,}01\text{ km}\).
Temps mis par Tara : \(t_T=\dfrac{2\text{,}01}{10}=0\text{,}201\text{ h}\).
Distance parcourue par Kevin : \(CD+DA=780\text{ m}+660\text{ m}=1\text{ }440\text{ m}=1\text{,}44\text{ km}\).
Temps mis par Kevin : \(t_K=\dfrac{1\text{,}44}{6}=0\text{,}24\text{ h}\).
Durée totale : \(t=0\text{,}201+0\text{,}24=0\text{,}441\text{ h}\).
Distance totale : \(3\text{,}45\text{ km}\).
Vitesse moyenne : \(v=\dfrac{3\text{,}45}{0\text{,}441}\approx 7\text{,}82\text{ km/h}\).
La vitesse moyenne du binôme sur l’ensemble du parcours est donc d’environ \(7\text{,}82\text{ km/h}\).
Pour comprendre en détail
Autre méthode : convertir les temps en minutes (\(12\text{,}06\) min et \(14\text{,}4\) min, soit \(26\text{,}46\) min au total), puis utiliser \(v=\dfrac{3\text{,}45}{26\text{,}46/60}\approx 7\text{,}82\text{ km/h}\).
4.a
Corrigé
L'échelle \(\dfrac{1}{20\text{ }000}\) signifie que 1 cm sur le plan représente 20 000 cm, soit 200 m.
On convertit donc les dimensions du parcours :
AB = 960 m → 4,8 cm ;
BC = BD = 1 050 m → 5,25 cm ;
CD = 780 m → 3,9 cm ;
AD = 660 m → 3,3 cm.
Tracé : on place A et B distants de 4,8 cm. On trace un arc de cercle de centre A et de rayon 3,3 cm et un arc de cercle de centre B et de rayon 5,25 cm : leur intersection est le point D. On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 5,25 cm et un arc de cercle de centre D et de rayon 3,9 cm, du côté opposé à A par rapport à (BD) : leur intersection est le point C. On relie A, B, C et D pour obtenir le parcours.
Pour comprendre en détail
La donnée de la diagonale [BD] est indispensable : sans elle, plusieurs quadrilatères différents ayant les mêmes quatre côtés pourraient être construits. On construit d'abord le triangle ABD à l'aide de ses trois côtés, puis le triangle BCD de l'autre côté de [BD].
4.b
Corrigé
\(25\) min = \(\dfrac{25}{60}\) h \(=\) \(\dfrac{5}{12}\) h.
Distance parcourue par Amina : \(11\text{,}5 \times \dfrac{25}{60} \approx 4\text{,}7917\) km, soit \(4\text{ }791\text{,}7\) m.
Un tour mesure \(3\text{ }450\) m. Après un tour complet, il reste \(4\text{ }791\text{,}7 - 3\text{ }450 = 1\text{ }341\text{,}7\) m.
Le tronçon AB mesurant \(960\) m, il reste ensuite \(1\text{ }341\text{,}7 - 960 = 381\text{,}7\) m à parcourir sur le tronçon [BC]. Or BC = \(1\text{,}05\) km = \(1\text{ }050\) m, donc le point S est bien sur [BC].
À l’échelle \(\dfrac{1}{20\text{ }000}\), 1 cm représente 200 m. Donc \(381\text{,}7\) m sont représentés par \(\dfrac{381\text{,}7}{200} \approx 1\text{,}9\) cm.
On place donc le point S sur le segment [BC], à environ \(1\text{,}9\) cm du point B en direction de C.
Pour comprendre en détail
On peut vérifier la cohérence du placement : la distance restante sur [BC] après le tronçon AB est inférieure à la longueur totale de BC, donc le point S est bien avant le point C.
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Statistiques dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 3 – Pavé droit, pyramide, PythagoreVoir le corrigé ↓
On considère un pavé droit ABCDA'B'C'D' avec \(\text{DD'}=5\) cm ; \(\text{DC}=6\) cm et \(\text{DA}=7\) cm. On note L le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD]. On souhaite creuser ce pavé, en retirant une pyramide OABCD de hauteur [OL].
![Pavé droit ABCDA'B'C'D' en perspective (face avant DCC'D', base supérieure ABCD). Les diagonales [AC] et [BD] de la face supérieure se coupent en L. Le point O est sous L, à l'intérieur du pavé, relié à A, B, C, D par des pointillés : pyramide OABCD.](/crpe-annales/2022-g2/fig/ex3_pave.png)
Partie A
Dans cette partie, on suppose que \(\text{OL}=4\) cm.
Dans la face supérieure \(ABCD\), le triangle \(ADC\) est rectangle en \(D\). Calcule d’abord la longueur de la diagonale \([AC]\), puis utilise le fait que \(L\) est le milieu de cette diagonale.
Dans le pavé, \( [OL] \) est une hauteur de la pyramide : quelle est sa position par rapport à la face \( ABCD \) ? Déduisez-en la nature du triangle \( ALO \) avant de le tracer.
La pyramide a pour base le rectangle \(ABCD\) et pour hauteur \([OL]\). Commencez par calculer l’aire de ce rectangle.
Le volume du pavé creusé est la différence entre le volume du pavé droit initial et le volume de la pyramide retirée. Utilise le volume de la pyramide trouvé à la question précédente.
Partie B
Dans cette partie, on pose \(\text{OL}=x\), où \(x\) est un nombre compris entre 0 et 5. Le pavé creusé que l'on obtient est le socle en bois d'un trophée. Sur ce socle, on pose une pyramide en verre OEFGH qui est un agrandissement de la pyramide OABCD de rapport 2.
La pyramide garde la même base rectangulaire ABCD ; seule sa hauteur devient \(x\). Utilise la formule du volume d’une pyramide en remplaçant la hauteur par \(x\).
Le socle en bois est le pavé droit auquel on a retiré la pyramide OABCD. Commence par calculer le volume du pavé, puis l’aire de la base ABCD de la pyramide.
Pense à l’effet d’un agrandissement de rapport 2 sur les volumes, puis utilise le volume de la pyramide OABCD trouvé à la question B.1.
Traduis la condition « le volume de la pyramide en verre est égal au double du volume du socle en bois » par une équation utilisant les expressions trouvées en B.2 et B.3, puis résous cette équation.
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies pour tout \(x\) compris entre 0 et 5 par : \(f(x)=210-14x\) et \(g(x)=112x\). On a représenté dans un repère orthogonal ces deux fonctions.
Déterminer quelle fonction (\(f\) ou \(g\)) est représentée par chacune des droites \(D_1\) et \(D_2\). Justifier.
Une des deux fonctions est une fonction linéaire : sa représentation graphique passe par l’origine. Repère aussi l’ordonnée à l’origine de l’autre fonction et son sens de variation.
Compare les positions des deux droites : pour quelles abscisses la droite qui représente le volume du socle est-elle située en dessous de celle qui représente le volume de la pyramide ? Repère l’abscisse de leur point d’intersection.
Traduis la condition « volume du socle en bois inférieur ou égal au volume de la pyramide en verre » par une inéquation portant sur \(f(x)\) et \(g(x)\). Isole ensuite \(x\) en ajoutant \(14x\) aux deux membres puis en divisant par le coefficient positif.
Voir le corrigé de l'exercice 3
A.1
Corrigé
Dans le triangle \(ADC\) rectangle en \(D\), d’après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AD^2 + DC^2 = 7^2 + 6^2 = 49 + 36 = 85\), donc \(AC = \sqrt{85}\) cm.
Or \(ABCD\) est un rectangle, donc ses diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en leur milieu. Ainsi, \(L\) est le milieu de \([AC]\).
On a donc :
\(AL = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{85}}{2} \approx 4\text{,}61\) cm, soit environ \(4\text{,}6\) cm.
Pour comprendre en détail
A.2
Corrigé
La droite \( (OL) \) est perpendiculaire au plan de la face \( ABCD \). En particulier, \( (OL) \) est perpendiculaire à \( (AL) \), donc le triangle \( ALO \) est rectangle en \( L \).
- Tracer un segment \( [AL] \) de longueur \( 4\text{,}6 \) cm.
- En \( L \), tracer la droite perpendiculaire à \( (AL) \).
- Sur cette perpendiculaire, placer le point \( O \) à \( 4 \) cm de \( L \).
- Tracer le segment \( [AO] \).
Vérification : \( AO = \sqrt{AL^2 + OL^2} \approx \sqrt{4\text{,}6^2 + 4^2} \approx 6\text{,}1 \) cm.
Pour comprendre en détail
La construction utilise la valeur approchée \( AL \approx 4\text{,}6 \) cm obtenue à la question A.1 ; la précision de la figure dépend de cette mesure. Placer \( [AL] \) horizontalement est pratique mais non obligatoire ; l’essentiel est de respecter l’angle droit en \( L \).
A.3.a
Corrigé
La base de la pyramide \(OABCD\) est le rectangle \(ABCD\), donc :
\[A_{ABCD}=DA \times DC=7 \times 6=42 \text{ cm}^2.\]
La hauteur de la pyramide est \(OL=4\) cm.
D’après la formule du volume d’une pyramide :
\[V=\dfrac{1}{3} \times A_{ABCD} \times OL=\dfrac{1}{3} \times 42 \times 4=56.\]
Le volume de la pyramide \(OABCD\) est donc \(56 \text{ cm}^3\).
Pour comprendre en détail
A.3.b
Corrigé
Volume du pavé droit ABCDA'B'C'D' :
\(V_{\text{pavé}} = DD' \times DC \times DA = 5 \times 6 \times 7 = 210 \ \text{cm}^3\).
Le volume de la pyramide OABCD a été calculé en A.3.a : \(V_{\text{pyramide}} = 56 \ \text{cm}^3\).
Volume du pavé creusé :
\(V_{\text{creusé}} = V_{\text{pavé}} - V_{\text{pyramide}} = 210 - 56 = 154 \ \text{cm}^3\).
Le volume du pavé creusé est donc \(154 \ \text{cm}^3\).
Pour comprendre en détail
Le pavé creusé est un solide obtenu par soustraction du volume de la pyramide à celui du pavé initial. Une erreur fréquente consiste à additionner les volumes ou à recalculer celui de la pyramide alors qu’il a déjà été déterminé.
On peut vérifier que le volume restant ajouté à celui de la pyramide redonne bien le volume total du pavé.
B.1
Corrigé
La base ABCD est un rectangle de dimensions \(DA=7\) cm et \(DC=6\) cm, donc :
\(A_{\text{ABCD}} = 7 \times 6 = 42\) \(\text{cm}^2\).
La hauteur de la pyramide OABCD est \([OL]\) avec \(OL=x\), donc :
\(V_{\text{OABCD}} = \dfrac{1}{3} \times A_{\text{ABCD}} \times OL = \dfrac{1}{3} \times 42 \times x = 14x\).
Ainsi, le volume de la pyramide OABCD est \(14x\) \(\text{cm}^3\).
Pour comprendre en détail
La base étant fixe, le volume est proportionnel à la hauteur \(x\). Tu peux vérifier la cohérence avec la partie A en prenant \(x=4\).
B.2
Corrigé
Le volume du pavé droit est :
\[V_{\text{pavé}} = 7 \times 6 \times 5 = 210 \text{ cm}^3.\]
La base ABCD de la pyramide est un rectangle de dimensions \(7\) cm et \(6\) cm, donc :
\[\mathcal{A}_{ABCD} = 7 \times 6 = 42 \text{ cm}^2.\]
La hauteur de la pyramide OABCD est \(OL = x\), donc :
\[V_{\text{pyramide}} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{ABCD} \times OL = \dfrac{1}{3} \times 42 \times x = 14x \text{ cm}^3.\]
Le socle en bois est le pavé creusé de la pyramide, donc :
\[V_{\text{socle}} = V_{\text{pavé}} - V_{\text{pyramide}} = 210 - 14x.\]
Ainsi, le volume du socle en bois est bien \(210 - 14x\) cm\(^3\).
Pour comprendre en détail
On peut vérifier la cohérence avec la partie A : pour \(x = 4\) cm, on obtient \(210 - 14 \times 4 = 154\) cm\(^3\), ce qui correspond au volume du pavé creusé calculé en A.3.b.
B.3
Corrigé
La pyramide OEFGH est un agrandissement de la pyramide OABCD de rapport 2.
Lors d’un agrandissement de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\). Ici \(k=2\), donc les volumes sont multipliés par \(2^3=8\).
D’après la question B.1, le volume de la pyramide OABCD est \(V_{\text{OABCD}}=14x\) cm\(^3\).
Donc le volume de la pyramide OEFGH est :
\(V_{\text{OEFGH}}=8 \times 14x = 112x\) cm\(^3\).
Le volume de la pyramide en verre OEFGH est donc bien \(112x\) cm\(^3\).
Pour comprendre en détail
Le résultat est en cm\(^3\) car \(x\) est exprimé en centimètres et \(14x\) correspond déjà à un volume en cm\(^3\).
B.4
Corrigé
On cherche \(x\) tel que le volume de la pyramide en verre soit le double de celui du socle en bois.
D'après les questions B.2 et B.3 : \(112x = 2(210 - 14x)\).
\(112x = 420 - 28x\)
\(112x + 28x = 420\)
\(140x = 420\)
\(x = \dfrac{420}{140} = 3\).
Vérification : \(112 \times 3 = 336\) et \(2 \times (210 - 14 \times 3) = 2 \times 168 = 336\).
Il faut donc choisir \(x = 3\) cm.
Pour comprendre en détail
B.5.a
Corrigé
\(g(x)=112x\) est une fonction linéaire : sa représentation graphique est donc une droite passant par l’origine. C’est le cas de \(D_2\), qui passe par \((0\,;0)\) et qui est croissante car \(112>0\). Donc \(D_2\) représente \(g\).
\(f(x)=210-14x\) est une fonction affine de coefficient directeur \(-14\), donc sa représentation est une droite décroissante. De plus \(f(0)=210\), donc elle coupe l’axe des ordonnées en \(210\), ce qui correspond à \(D_1\). Donc \(D_1\) représente \(f\).
Conclusion : \(D_1\) est la représentation de \(f\) et \(D_2\) est la représentation de \(g\).
Pour comprendre en détail
On peut confirmer en calculant les images de \(5\) : \(f(5)=210-14\times 5=140\) et \(g(5)=112\times 5=560\), ce qui correspond aux points \((5\,;140)\) de \(D_1\) et \((5\,;560)\) de \(D_2\).
B.5.b
Corrigé
Le volume du socle en bois est \(f(x)\) et celui de la pyramide en verre est \(g(x)\). On cherche les abscisses \(x\) pour lesquelles la droite représentant \(f\) est située en dessous ou au même niveau que la droite représentant \(g\).
Sur le graphique, \(D_1\) (socle) et \(D_2\) (pyramide) se coupent en un point d’abscisse environ \(1\text{,}65\). À droite de ce point, \(D_1\) est en dessous de \(D_2\).
On a donc \(f(x) \le g(x)\) pour \(x \ge 1\text{,}65\). Comme \(x\) est compris entre 0 et 5, les valeurs cherchées sont \(x \in [1\text{,}65\ ;\ 5]\).
Pour comprendre en détail
Comparer \(f(x)\) et \(g(x)\) revient graphiquement à comparer les hauteurs des deux droites pour une même abscisse. L’inégalité demandée étant \(f(x) \le g(x)\), on sélectionne la zone où \(D_1\) est sous \(D_2\).
Pour contrôler la lecture graphique, on peut résoudre algébriquement \(210-14x \le 112x\), ce qui conduit à \(x \ge \frac{210}{126} \approx 1\text{,}67\), cohérent avec l’abscisse lue.
B.5.c
Corrigé
Le volume du socle en bois est \(f(x)=210-14x\) et celui de la pyramide en verre est \(g(x)=112x\). On cherche les valeurs de \(x\) pour lesquelles le volume du socle est inférieur ou égal au volume de la pyramide, donc :
\(f(x) \le g(x)\)
\(210-14x \le 112x\)
On ajoute \(14x\) aux deux membres :
\(210 \le 126x\)
On divise par \(126\), qui est positif, donc l'ordre est conservé :
\(x \ge \dfrac{210}{126}\)
Or \(\dfrac{210}{126}=\dfrac{5}{3}\approx 1\text{,}67\). De plus \(x\) est compris entre 0 et 5, donc :
\(x \in \left[\dfrac{5}{3} ; 5\right]\).
Le volume du socle en bois est inférieur ou égal au volume de la pyramide en verre pour \(x\) compris entre \(\dfrac{5}{3}\) cm et 5 cm.
Pour comprendre en détail
Graphiquement, la droite \(D_2\) (représentant \(g\)) coupe \(D_1\) (représentant \(f\)) en \(x=\frac{5}{3}\) puis passe au-dessus de \(D_1\), ce qui correspond bien à \(f(x)\le g(x)\) à droite de ce point. On peut vérifier par exemple : pour \(x=2\), \(f(2)=182\) et \(g(2)=224\).
📘 Revoir la méthode : fiches Calcul littéral et équations · Géométrie dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 4 – Scratch, programme de calcul, variablesVoir le corrigé ↓
Adam a réalisé le programme ci-dessous à l'aide du logiciel Scratch.
- quand ⚑ est cliqué
- demander « Choisis un nombre » et attendre
- mettre nombre départ à réponse
- mettre valeur 1 à 2 * nombre départ
- mettre valeur 2 à valeur 1 + 3
- mettre valeur 3 à nombre départ − 2
- mettre résultat à valeur 2 * valeur 3
- dire regrouper « Le résultat du programme est » et résultat
Partie 1 – Le programme d'Adam
Suis le programme bloc par bloc : calcule d’abord la valeur 1 à partir du nombre de départ, puis la valeur 2, puis la valeur 3, et termine par le produit qui donne le résultat.
Suis les étapes du programme dans l’ordre : pars de \(2\text{,}4\), calcule d’abord la valeur 1, puis la valeur 2, la valeur 3 et enfin le produit final.
Exprime chaque variable du programme en fonction de \(x\), puis remplace dans la dernière étape pour obtenir un produit à développer.
Partie 2 – Le programme de Pauline
Pauline propose le programme de calcul suivant : choisis un nombre ; élève-le au carré ; soustrais 3 ; multiplie par 2 ; soustrais le nombre de départ.
Suis les étapes du programme de Pauline dans l’ordre : élève le nombre de départ au carré, puis soustrais \(3\), multiplie le résultat par \(2\), et enfin soustrais le nombre de départ.
Pour appliquer le programme de Pauline, calcule d’abord le carré de \(\dfrac{7}{3}\), puis mets toutes les fractions au même dénominateur avant de soustraire.
Traduis le programme de Pauline par une expression en fonction de \(x\), puis compare-la à l’expression obtenue pour le programme d’Adam à la question 1.c.
Utilise l’expression \(2x^2-x-6\) obtenue à la question 1.c. Factorise-la, puis applique la règle du produit nul.
Adam souhaite automatiser les calculs de son programme pour les entiers naturels. Il utilise un tableur dont la copie d'écran est donnée ci-dessous.
Quelle formule doit-il saisir dans la case B2 pour qu'il puisse l'étirer vers le bas sur l'ensemble de la colonne ?
Pense à utiliser l’expression obtenue à la question 1.c en remplaçant \(x\) par la cellule A2. Observe ce que devient cette référence quand on recopie la formule vers le bas.
Voir le corrigé de l'exercice 4
1.a
Corrigé
En prenant \(3\) comme nombre de départ :
- valeur 1 = \(2 \times 3 = 6\)
- valeur 2 = \(6 + 3 = 9\)
- valeur 3 = \(3 - 2 = 1\)
- résultat = \(9 \times 1 = 9\)
Le programme annonce donc bien « Le résultat du programme est 9 ».
Pour comprendre en détail
Le résultat final est bien le produit de la valeur 2 et de la valeur 3 : c’est ce que fait le bloc « mettre résultat à valeur 2 * valeur 3 ».
1.b
Corrigé
Pour un nombre de départ égal à \(2\text{,}4\) :
- valeur 1 = \(2 \times 2\text{,}4 = 4\text{,}8\) ;
- valeur 2 = \(4\text{,}8 + 3 = 7\text{,}8\) ;
- valeur 3 = \(2\text{,}4 - 2 = 0\text{,}4\) ;
- résultat = valeur 2 \(\times\) valeur 3 = \(7\text{,}8 \times 0\text{,}4 = 3\text{,}12\).
Le résultat donné par le programme est donc \(3\text{,}12\).
Pour comprendre en détail
Le programme revient à calculer l’expression \((2x+3)(x-2)\). Pour \(x = 2\text{,}4\), on obtient bien \((7\text{,}8) \times (0\text{,}4)\).
1.c
Corrigé
Soit \(x\) le nombre de départ.
- valeur 1 = \(2x\) ;
- valeur 2 = \(2x+3\) ;
- valeur 3 = \(x-2\).
Le résultat est donc le produit de valeur 2 par valeur 3 :
\((2x+3)(x-2) = 2x \times x + 2x \times (-2) + 3 \times x + 3 \times (-2)\)
\(= 2x^2 - 4x + 3x - 6 = 2x^2 - x - 6\).
Le programme d'Adam retourne donc bien \(2x^2 - x - 6\).
Pour comprendre en détail
On peut vérifier la cohérence avec les résultats des questions précédentes : pour \(x=3\), l'expression donne \(2 \times 9 - 3 - 6 = 9\) ; pour \(x=2\text{,}4\), elle donne \(3\text{,}12\).
2.a
Corrigé
Pour un nombre de départ égal à \(3\) :
- On élève \(3\) au carré : \(3^2 = 9\).
- On soustrait \(3\) : \(9 - 3 = 6\).
- On multiplie par \(2\) : \(6 \times 2 = 12\).
- On soustrait le nombre de départ, c’est-à-dire \(3\) : \(12 - 3 = 9\).
Le résultat obtenu est donc bien \(9\).
Pour comprendre en détail
Une vérification possible consiste à écrire l’expression littérale du programme de Pauline : \(2(x^2-3)-x\). Pour \(x=3\), elle donne bien \(9\).
2.b
Corrigé
On applique le programme de Pauline au nombre \(\dfrac{7}{3}\) :
\[ \left(\dfrac{7}{3}\right)^2=\dfrac{49}{9} \] \[ \dfrac{49}{9}-3=\dfrac{49}{9}-\dfrac{27}{9}=\dfrac{22}{9} \] \[ \dfrac{22}{9}\times 2=\dfrac{44}{9} \] \[ \dfrac{44}{9}-\dfrac{7}{3}=\dfrac{44}{9}-\dfrac{21}{9}=\dfrac{23}{9} \]Le résultat donné par le programme est \(\dfrac{23}{9}\).
Pour comprendre en détail
Pour effectuer les soustractions, il faut mettre les fractions au même dénominateur : \(3=\dfrac{27}{9}\) et \(\dfrac{7}{3}=\dfrac{21}{9}\).
Le programme de Pauline correspond à l’expression \(2x^2-x-6\) ; on peut l’utiliser comme vérification en remplaçant \(x\) par \(\dfrac{7}{3}\).
3
Corrigé
Pour un nombre de départ \(x\), le programme de Pauline donne successivement :
- \(x^2\)
- \(x^2-3\)
- \(2(x^2-3)\)
- \(2(x^2-3)-x\)
En développant : \(2(x^2-3)-x=2x^2-6-x=2x^2-x-6\).
Or, d’après la question 1.c, le programme d’Adam retourne également \(2x^2-x-6\). Les deux programmes donnent donc le même résultat pour un même nombre de départ.
Pour comprendre en détail
4
Corrigé
D’après la question 1.c, pour un nombre de départ \(x\), le résultat du programme est \(2x^2-x-6\).
On factorise : \(2x^2-x-6=(2x+3)(x-2)\).
On résout donc \((2x+3)(x-2)=0\).
D’après la règle du produit nul, un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
- \(2x+3=0\), donc \(x=-\dfrac{3}{2}\) ;
- \(x-2=0\), donc \(x=2\).
Les nombres de départ possibles pour que le résultat soit nul sont \(-\dfrac{3}{2}\) et \(2\).
Pour comprendre en détail
On factorise car l’équation \(2x^2-x-6=0\) n’est pas du premier degré : on ne peut pas isoler \(x\) directement.
5
Corrigé
En B2, on saisit =2*A2^2-A2-6 (ou =(2*A2+3)*(A2-2)). Le nombre de départ est dans la cellule A2 ; lorsqu’on étire la formule vers le bas, la référence relative A2 devient A3, A4, etc.
Vérification pour 1 : \(2\times 1^2-1-6=-5\), ce qui correspond bien à la valeur affichée en B2.
Pour comprendre en détail
Une formule de tableur commence par = et utilise des références de cellules. On réutilise l’expression \(2x^2-x-6\) de la question 1.c en remplaçant \(x\) par la référence de la cellule A2.
* ; 2A2 ne convient pas. La puissance s’écrit avec ^. Saisir une valeur fixe comme =2*1^2-1-6 ne permettrait pas d’étirer correctement la formule.A2 est relative : lors de l’étirement d’une ligne vers le bas, elle devient A3, puis A4, etc.📘 Revoir la méthode : fiches Calcul littéral et équations · Algorithmique et Scratch dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 5 – Numération, système positionnel, base vingtVoir le corrigé ↓
En Amérique centrale, les Mayas utilisaient un système de numération comprenant trois signes : le point « • », le trait « ▬ » et la coquille (« 0 »). Le signe « coquille » indique l'absence de quantité.
Quelques correspondances entre écriture maya et écriture décimale sont données dans le tableau ci-dessous :
Observe l’écriture maya de \(7\) dans le tableau : elle est formée d’un trait et de deux points. Pense à écrire \(7\) comme une somme simple, par exemple \(5+1+1\), puis associe chaque signe à sa valeur.
Pour écrire 21 en base 20, cherche combien de paquets de 20 il contient et ce qui reste en unités. Représente ensuite chaque valeur 1 par un point.
Décompose \(37\) en une somme d’une vingtaine et d’un nombre inférieur à \(20\), puis exprime ce reste avec des traits qui valent \(5\) et des points qui valent \(1\). Pense à la valeur d’un point placé à l’étage supérieur.
Donner l'écriture des deux nombres suivants dans notre système de numération.
a) 
Décomposez chaque étage en unités : un point vaut \(1\) et un trait vaut \(5\). N'oubliez pas que l'étage supérieur compte des vingtaines.
b) 
Pense à décomposer le nombre maya en étages : en bas les unités, au-dessus les vingtaines, encore au-dessus les quatre-cents. Convertis séparément chaque étage en écriture décimale.
Pour écrire 25 dans un système vigésimal, décompose-le en un nombre de vingtaines et un reste inférieur à 20, puis traduis chaque partie avec les signes mayas (point = 1, trait = 5).
Décompose \(101\) en un nombre de vingtaines et un reste : l’étage du bas compte les unités, celui du haut compte les vingtaines.
Dans un nombre maya à plusieurs étages, regarde la valeur d’un même point selon l’étage où il est placé. Compare ce phénomène avec la valeur du chiffre 1 dans 1, 10 ou 100.
Voir le corrigé de l'exercice 5
1
Corrigé
Dans l’écriture maya de \(7\), on lit un trait surmonté de deux points, donc \(7\) correspond à un trait plus deux points.
Or \(7 = 5 + 1 + 1\).
Ainsi, le point vaut \(1\) et le trait vaut \(5\).
Pour comprendre en détail
La numération maya présentée ici est additive : la valeur d’un nombre est la somme des valeurs des signes qui le composent. On peut le vérifier avec d’autres écritures du tableau : trois points valent \(3\), donc un point vaut \(1\) ; trois traits valent \(15\), donc un trait vaut \(5\).2
Corrigé
Le système maya est vigésimal : dans une écriture verticale, l’étage du bas compte les unités et l’étage du dessus compte les vingtaines.
On décompose 21 en base 20 : \(21 = 1 \times 20 + 1 \times 1\).
Il y a donc 1 vingtaine et 1 unité.
Le signe « point » vaut 1. On place donc un point à l’étage des vingtaines au-dessus d’un point à l’étage des unités.
L’écriture maya de 21 est : [un point au-dessus d’un point].
Pour comprendre en détail
Autre méthode : le tableau montre que 20 s’écrit un point au-dessus d’une coquille. Pour obtenir 21, il suffit de remplacer la coquille du bas par un point.
3
Corrigé
Dans le système maya, un nombre s’écrit en étages : l’étage inférieur représente les unités et l’étage supérieur représente les vingtaines.
On décompose \(37\) en une vingtaine et des unités :
\(37 = 1 \times 20 + 17\).
Le point de l’étage supérieur vaut donc \(1 \times 20 = 20\).
Il reste \(17\) à écrire dans l’étage inférieur. Or un trait vaut \(5\) et un point vaut \(1\), donc :
\(17 = 3 \times 5 + 2 \times 1\).
Ainsi, l’étage inférieur contient \(3\) traits et \(2\) points, ce qui vaut \(3 \times 5 + 2 = 17\).
Au total : \(20 + 17 = 37\).
L’écriture maya de \(37\) est donc bien un point à l’étage supérieur, au-dessus de trois traits et deux points à l’étage inférieur.
Pour comprendre en détail
4.a
Corrigé
Étage du haut : trois points = \(3 \times 1 = 3\), donc \(3 \times 20 = 60\).
Étage du bas : deux traits et quatre points = \(2 \times 5 + 4 \times 1 = 10 + 4 = 14\).
Nombre total : \(3 \times 20 + 2 \times 5 + 4 \times 1 = 60 + 14 = 74\).
Ce nombre maya vaut donc \(74\) dans notre système de numération.
Pour comprendre en détail
Dans le système maya, les étages sont positionnels en base \(20\) : l'étage inférieur représente les unités (\(20^0\)) et l'étage supérieur les vingtaines (\(20^1\)). On convertit donc chaque étage en unités, puis on multiplie par la puissance de 20 correspondante.
Autre méthode : repérer dans le tableau que trois points correspondent à \(3\) et que deux traits surmontés de quatre points correspondent à \(14\), puis calculer \(3 \times 20 + 14 = 74\).
4.b
Corrigé
Le nombre maya comporte trois étages, donc on utilise les puissances de 20 : en bas \(20^0=1\), au milieu \(20^1=20\), en haut \(20^2=400\).
- Étage haut : 1 point vaut \(1\), donc \(1 \times 400 = 400\).
- Étage milieu : 2 points et 3 traits donnent \(2 \times 1 + 3 \times 5 = 2 + 15 = 17\), donc \(17 \times 20 = 340\).
- Étage bas : 1 trait vaut \(5\), donc \(5 \times 1 = 5\).
Total : \(400 + 340 + 5 = 745\).
Le nombre représenté est donc \(745\).
Pour comprendre en détail
Le système maya est vigésimal : chaque étage correspond à une puissance de 20. Pour lire un nombre de bas en haut, on multiplie la valeur de chaque étage par \(20^{n-1}\) (étage du bas : \(20^0\), au-dessus : \(20^1\), etc.).
Le corrigé officiel comporte une coquille de rédaction : « \(1 \times 400 + 3 \times 100 + 2 \times 20 + 1 \times 5\) » ne correspond pas au nombre maya, mais le résultat \(745\) est bien correct.
5.a
Corrigé
Le système maya est vigésimal : le premier étage (en bas) compte les unités de 0 à 19, l'étage au-dessus compte les vingtaines.
On a \(25 = 1 \times 20 + 5\).
La vingtaine s'écrit avec 1 point au deuxième étage, et les 5 unités s'écrivent avec 1 trait au premier étage (car le trait vaut 5).
L'écriture maya de 25 est donc : un point au-dessus d'un trait.
Pour comprendre en détail
Vérification : \(1 \times 20 + 5 = 25\).
5.b
Corrigé
On a \(101 = 5 \times 20 + 1\).
Le nombre \(5\) s’écrit avec un trait ; il se place à l’étage supérieur (les vingtaines).
Le nombre \(1\) s’écrit avec un point ; il se place à l’étage inférieur (les unités).
L’écriture maya de \(101\) est donc : un trait en haut et un point en bas.
Pour comprendre en détail
5.c
Corrigé
Dans le système maya, la valeur d’un signe dépend de l’étage où il est placé : un point vaut 1 au premier étage (en bas), 20 au deuxième étage, 400 au troisième étage. De la même façon, dans notre système décimal, le chiffre 1 vaut 1 dans les unités, 10 dans les dizaines et 100 dans les centaines.
La coquille sert de zéro de position : elle indique qu’un étage est vide, comme le chiffre 0 dans notre système. Le système maya est donc positionnel.
Pour comprendre en détail
Dans le système maya, chaque étage supérieur vaut 20 fois l’étage inférieur : les positions correspondent aux puissances de 20 (\(20^0=1\), \(20^1=20\), \(20^2=400\)). Dans notre système décimal, elles correspondent aux puissances de 10 (\(10^0=1\), \(10^1=10\), \(10^2=100\)).
📘 Revoir la méthode : fiches Nombres et arithmétique dans Les fiches magiques CRPE →