2025Bac spé maths · Métropole (septembre) · Jour 2

Partie A

1. La variable aléatoire \(X\) compte le nombre de succès d'une répétition de 10 épreuves de Bernoulli. Les épreuves sont indépendantes deux à deux. La probabilité du succès est \(p=0.4\). Donc \(X\) suit une loi binomiale de paramètres 10 ; 0.4 : \(X \sim \mathcal{B}(10~;~0.4)\).

2. 1. \(P(X = 2) = \binom{10}{2}\times p^2\times(1-p)^{10-2}= \binom{10}{2}\times0.4^{2}\times 0.6^{8} \approx 0.1209\)

   2. Comme les évènements \(\lbrace X = i\rbrace\) et \(\lbrace X = j\rbrace\) sont disjoints pour \(i \neq j\) :

      \(\begin{array}{cl} P(X \leqslant 2) &= P(\lbrace X = 0 \rbrace \cup \lbrace X = 1 \rbrace \cup \lbrace X = 2 \rbrace ) \\ &= \displaystyle\sum_{i=0}^{2} P(X=i)\\ &= \displaystyle\sum_{i=0}^{2}\binom{10}{i}p^{i}(1-p)^{10-i} \\ &\approx 0.1673 \end{array}\)

      La probabilité que le phénomène El Niño soit dominant au plus deux années sur une période de 10 ans est d'environ 0.1673.

3. Comme \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(10~;~0.4)\) : \(E(X) = n\times p = 10 \times 0.4 = 4\). En moyenne le phénomène El Nino est dominant quatre années sur une période de 10 ans.

Partie B

1. 

2. \(p_0 = 0\)
   \(1-p_0 = 1\)

   \(p_1 = P\left(E_1\right) = P\left(E_0\right)\times P_{E_{0}}\left(E_1\right) + P\left(\overline{E_0}\right)\times P_{\overline{E_{0}}}\left(E_1\right) = 0 \times 0.5 + 1 \times 0.3 = 0.3\)

3. \(p_{n+1} = P\left(E_{n+1}\right) = P\left(E_n\right)\times P_{E_{n}}\left(E_{n+1}\right) + P\left(\overline{E_n}\right)\times P_{\overline{E_{n}}}\left(E_{n+1}\right)\\ = p_n \times 0.5 + (1-p_n) \times 0.3 = 0.2\times p_n + 0.3\)

4. 1. En utilisant la calculatrice la suite \(\left(p_n\right)\) semble être croissante et avoir pour limite \(0.375\).

      \(n\)	\(p_n\)
      0	0
      1	0.3
      2	0.36
      3	0.372
      ⋮	⋮
      13	0.3749999996928
      14	0.37499999993856

   2. On formule l'hypothèse de récurrence \(\mathcal{H}(n)~:~p_n\leqslant 0.375\).

      On vérifie que \(\mathcal{H}(0)\) est vraie (initialisation).

      Comme \(p_0 = 0 \leqslant 0.375\), \(\mathcal{H}(0)\) est vraie.

      Montrons que \(\mathcal{H}(n)\Rightarrow \mathcal{H}(n+1)\) (hérédité).

      On suppose que \(\mathcal{H}(n)\) est vraie, avec \(n \in \mathbb{N}\).

      \(p_{n+1} = 0.2\times p_n + 0.3\)

      D'après \(\mathcal{H}(n)\), \(p_n \leqslant 0.375\), en multipliant par \(0.2\) on obtient :

      \(0.2\times p_n \leqslant 0.075\), en ajoutant \(0.3\) on obtient :

      \(0.2\times p_n + 0.3 \leqslant 0.375\), ainsi on obtient :

      \(p_{n+1} \leqslant 0.375\) (\(\mathcal{H}(n+1)\) est vérifiée)

      D'après le principe de récurrence,

      \(\forall n\in \mathbb{N}, n \geqslant 0, p_n\leqslant 0.375\)

   3. Pour tout \(n\in \mathbb{N}\), \(p_n\) désignant une probabilité est un nombre positif.

      Soit \({n\in\mathbb{N}}\)

      \(p_{n+1}-p_{n} = -0.8\times p_n + 0.3\)

      \(p_{n+1}-p_{n} \geqslant -0.8\times 0.375 + 0.3\)

      \(p_{n+1}-p_{n} \geqslant 0\)

      Ceci étant valable quelque soit le choix de \(n\), \(\forall n \in \mathbb{N},~p_{n+1}-p_{n} \geqslant 0\), donc \(\left(p_n\right)\) est croissante.

      Attention, piège :

      Attention à l’étape \(p_n \leqslant 0{,}375 \Rightarrow -0{,}8p_n \geqslant -0{,}8 \times 0{,}375\) : la multiplication par un nombre négatif change le sens de l’inégalité. Beaucoup d’élèves écrivent \(\leqslant\) à tort ; c’est pourtant cette inversion qui permet de conclure \(p_{n+1}-p_n \geqslant 0\).

   4. \(\left(p_n\right)\) est croissante et majorée donc \(\left(p_n\right)\) est convergente vers \(l\). De plus \({l\leqslant 0.375}\).

5. 1. \(\begin{array}{rcl} u_{n+1} &=& p_{n+1} - \dfrac{3}{8}\\ &=& 0.2\times p_n + 0.3 - \dfrac{3}{8}\\ &=& 0.2\times p_n +0.2\times \dfrac{3}{2} - 0.2\times\dfrac{15}{8}\\ &=& 0.2\times p_n +0.2\times\left( \dfrac{3}{2} - \dfrac{15}{8}\right)\\ &=& 0.2\times p_n +0.2\times\left( - \dfrac{3}{8}\right)\\ &=& 0.2\times \left(p_n - \dfrac{3}{8}\right)\\ \end{array}\)

      Finalement quel que soit \(n\) naturel, \(u_{n+1} = 0.2\times u_{n}\) : ceci prouve que \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(0.2\).

      \(u_0 = p_{0} - \dfrac{3}{8} = 0 - \dfrac{3}{8} = -\dfrac{3}{8}\)

      Le premier terme est donné par : \({u_0 = - \dfrac{3}{8}}\)

   2. Comme \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(0.2\) de premier terme \({u_0 = - \dfrac{3}{8}}\) :

      \(\forall n \in \mathbb{N}~:~u_n = - \dfrac{3}{8} \times 0.2^{n}\)

      Comme \(\forall n \in \mathbb{N}~:~u_n = p_{n} - \dfrac{3}{8}\),

      \(\forall n \in \mathbb{N}~:~p_n = -u_{n} + \dfrac{3}{8} = \left(-0.2^{n} +1 \right)\times \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8}\left(1-0.2^{n} \right)\)

   3. Comme \(0.2<1\), \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}0.2^{n} = 0\) et donc \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}p_{n} = \dfrac{3}{8}\)

   4. La probabilité d'observer un phénomène El Niño dominant tend vers \(\dfrac{3}{8}\) quand le nombre d'années d'observation augmente.

1. \(\binom{14}{2}\times \binom{10}{2} = 4095 \neq 272\).

   L'énoncé indique «  est-il possible  » et ne fait pas intervenir le nombre maximum de groupes composés de deux filles et deux garçons. Comme \(272 < 4095\), l'affirmation est vraie.

2. \(f\) est dérivable comme composée de fonctions dérivables.

   \(\forall x \in \mathbb{R},~ f'(x) = 6\times \cos(2x+\pi)\)

   \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 6\times \cos\left(2\times\dfrac{\pi}{2} +\pi\right) = 6\)

   \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 3\times \sin\left(2\times\dfrac{\pi}{2} +\pi\right) = 0\)

   L'équation de la tangente au point d'abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\) est donnée par :

   \(y = \left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\times f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)

   \(y = 6x- 6\times\dfrac{\pi}{2}\)

   \(y= 6x- 3\pi\)

   L'affirmation est vraie.

3. \(\forall x\in ]0~;~+\infty[, F'(x) = \dfrac{2 x \ln x+2 x+1}{x}\), en particulier \(F'(1) = \dfrac{3}{2}\) et \(f(1) = 2\). \(f\) n'est pas la dérivée de \(F\). Ainsi on montre que \(F\) n'est pas une primitive de \(f\).

   L'affirmation est fausse.

4. \(g(0) = 45 \times \mathrm{e}^{0} +20 = 65\)

   \(\forall t \in \mathbb{R}\quad g'(t) +0.06\times g(t) = 45\times 0.06\times \mathrm{e}^{ 0.06t} + 0.06\times\left(45\times\mathrm{e}^{ 0.06t}+20\right) = 5.4\times\mathrm{e}^{ 0.06t}+1.2\) \(g\) n'est pas solution de \((E)\).

   L'affirmation est fausse.

5. Soit \(y\) une solution positive de \(\left(E_2\right)\) on peut écrire \(\forall x \in \mathbb{R}\quad y'(x) = y(x) + 3\mathrm{e}^{0.4x}\), comme \(\forall x \in \mathbb{R}\quad y(x)\geqslant 0\text{ et } 3\mathrm{e}^{0.4x}\geqslant 0\), alors \(\forall x \in \mathbb{R}\quad y'(x)\geqslant 0\).

   On dérive l'équation différentielle :

   \(\forall x \in \mathbb{R}\quad y''(x) = y'(x) + 1.2\mathrm{e}^{0.4x}\). Comme \(\forall x \in \mathbb{R}\quad y'(x)\geqslant 0\text{ et } 1.2\mathrm{e}^{0.4x}\geqslant 0\), alors \(\forall x \in \mathbb{R}\quad y''(x)\geqslant 0\).

   \(\forall x \in \mathbb{R}\quad y''(x)\geqslant 0\) donc \(y\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

   L'affirmation est vraie : les solutions positives de \(\left(E_2\right)\) sont des fonctions convexes sur \(\mathbb{R}\).

Partie A

1. \(-x^2 + 7x + 8 =0\) admet \(-1\) comme solution évidente. L'autre solution de l'équation du second degré est donc \(8\).

   Le trinôme est négatif (du signe du coefficient de \(x^2\)), sauf entre les racines, d'où le tableau de signes de \(x\longmapsto -x^2 + 7x + 8\) :

   

   L'ensemble des solutions de l'inéquation \(-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0\) sur \(\mathbb{R}\) est l'intervalle \(\left[-1~;~8\right]\)

2. Pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]0~;~8\right]\), \(-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0\). D'où en ajoutant 1 à chaque membre \(-x^2 + 7x + 9 \geqslant 1\).

   Comme la fonction logarithme népérien est une fonction croissante on a pour tout \(x\) appartenant à \(\left]0~;~8\right]\), \(\ln\left(- x^2 + 7x + 9\right) \geqslant \ln(1)\). C'est à dire \(\ln\left(- x^2 + 7x + 9\right) \geqslant 0\).

   Pour tout \(x\) appartenant à \(\left]0~;~8\right]\), \(x>0\) et \(10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right) \geqslant 0\), donc \(f(x) = \dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x} \geqslant 0\).

3. Sur l'intervalle \([0~;~8]\) la courbe représentative est au dessus de l'axe des abscisses.

Partie B

1. Pour \(x\in \left]0~;~8\right]\), M\(\left(x,\dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x}\right)\) et donc N\(\left(x,0\right)\) et P\(\left(0,\dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x}\right)\).

2. Comme pour \(x\in \left]0~;~8\right]\), l'abscisse de N est positive et l'ordonnée de P est positive. On peut écrire ON\(=x\) et OP\(=\dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x}\).

   L'aire de ONMP vaut \(\text{ON}\times\text{OP}\) donc :

   \(\forall x \in \left]0~;~8\right]\quad \mathcal{A}(x) = x\times \dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x} = 10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)\)

3. Sur \(\left]0~;~8\right[\), \(-x^2 + 7x + 9 > 0\) donc \(\mathcal{A}\) est une fonction dérivable de la variable \(x\) sur \(\left]0~;~8\right[\) comme composée de fonction définies et dérivables.

   \(\forall x\in \left]0~;~8\right[\), \(\mathcal{A}'(x) = 10\times \dfrac{-2x + 7}{-x^2 + 7x +9}\).

   S'il existe \(x\in \left]0~;~8\right[\) telle que \(\mathcal{A}(x)\) soit maximale, il faut que \(\mathcal{A}'(x) = 0\)

   Pour \(x\in \left]0~;~8\right[\), \(-x^2 + 7x +9 > 0\), \(\mathcal{A}'(x)\) est donc du signe de \(-2x + 7\).

   \(\begin{array}{ccc} \mathcal{A}'(x) \geqslant 0 &\iff& -2x + 7 \geqslant 0 \\ \mathcal{A}'(x) \geqslant 0 &\iff& x \leqslant \dfrac{7}{2} \\ \end{array}\)

   \(\mathcal{A}\) est croissante sur \(\left]0~;~\dfrac{7}{2}\right[\) et décroissante sur \(\left]\dfrac{7}{2}~;~8\right[\).

   La dérivée s'annule en \(\dfrac{7}{2}\), en étant positive avant puis négative après, donc la fonction \(\mathcal{A}\) a un maximum sur \(]0~;~8[\), :

   \(\mathcal{A}\left(\dfrac{7}{2}\right) = 10\ln(17)+ 10\ln(5)-20\ln(2) \approx 30.56\)

Partie C

1. [language=python,frame=single, escapechar=|, numbers=left]
   from math import *	
   
   def A(x):
   	return 10*log(-1 * x**2 + 7*x + 9)
   	
   def pluspetitevaleur(k):
   	x = 3.5
   	while A(x) > k:
   		x = x + 0.1
   	return x	

2. [language=python]
   >>>pluspetitevaleur(30)
   4.599999999999998

   Attention, piège : Python affiche souvent 4.599999999999998 au lieu de \(4{,}6\) à cause de l’arithmétique binaire des nombres à virgule flottante. La valeur demandée dans l’énoncé est une valeur approchée au dixième : on attend donc \(4{,}6\), pas l’affichage brut de la machine.

3. Lorsque \(k=35\), la condition A(x) > 35 n'est pas vérifiée donc le contenu de la boucle n'est pas exécuté. L'appel pluspetitevaleur(35) renvoie 3.5.

1. 1. On calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et de \(\overrightarrow{\text{AC}}\).

      \(\overrightarrow{\text{AB}}\left( \begin{array}{c} -5\\ 2\\ -5 \end{array} \right)\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\left( \begin{array}{c} -4\\ 5\\ 2 \end{array} \right)\)

      On constate que \(\dfrac{-5}{2}\neq \dfrac{-4}{5}\). Comme les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles, \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires et A, B et C ne sont pas alignés.

   2. D appartient au plan (ABC) si et seulement si les coordonnées de D vérifient l'équation cartésienne du plan (ABC).

      \(29\times (-3) + 30 \times (-4) - 17 \times 6 = -309 \neq 35\). Les coordonnées de D ne vérifient pas l'équation cartésienne du plan (ABC), donc les points A, B, C, D ne sont pas coplanaires.

2. 1. Les coordonnées du milieu de [AB] sont : \(\dfrac{4+(-1)}{2}~;~\dfrac{-1+1}{2}~;~\dfrac{3+(-2)}{2}\) soit \(\dfrac32~;~0~;~\dfrac12\).

   2. Un vecteur normal au plan \(P_1\) médiateur du segment [AB] est le vecteur \(\overrightarrow{\text{BA}}\left( \begin{array}{c} 5\\ -2\\ 5 \end{array} \right)\) donc une équation de \(P_1\) est \(5x - 2y + 5z = k\) avec \(k\) tel que les coordonnées du milieu de [AB] vérifient l'équation c'est-à dire si

      \(5\times\dfrac{3}{2} - 2\times 0 + 5\times\dfrac{1}{2} = k =10\)

      Ainsi \(5x - 2y + 5z = 10\) est une équation cartésienne de \(P_1\).

3. 1. \(\begin{array}{ccl}\text{MC}^2 &=& (x - 0)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2\\ &=& x^2 + y^2 + z^2 -8y -10z + 16 + 25 \\ &=& x^2 + y^2 + z^2 -8y -10z + 41\end{array}\)

      \(\begin{array}{ccl}\text{MD}^2 &=& (x - (-3))^2 + (y - (-4))^2 + (z - 6)^2\\ &=& x^2 + y^2 + z^2 + 6x + 8y -12z + 9 + 16 + 36 \\&=& x^2 + y^2 + z^2 + 6x + 8y - 12z + 61\end{array}\)

      M appartient à \(P_2\) est équivalent à \(\text{MC}^2 = \text{MD}^2\).

      \(\begin{array}{ccl} \text{MC}^2 = \text{MD}^2 & \iff & \text{MC}^2 - \text{MD}^2 = 0\\ & \iff & x^2 + y^2 + z^2 -8y -10z + 41 \\&&- x^2 - y^2 - z^2 - 6x - 8y + 12z - 61 = 0\\ & \iff & - 6x - 16y + 2z - 20 = 0\\ & \iff & - 6x - 16y + 2z = 20\\ & \iff & - 3x - 8y + z = 10\\ \end{array}\)

      On obtient l'équation cartésienne de \(P_2\) : \(- 3x - 8y + z = 10\).

   2. Un vecteur normal à \(P_1\) est le vecteur de coordonnées \(\left( \begin{array}{c} 5\\ -2\\ 5 \end{array} \right)\).

      Un vecteur normal à \(P_2\) est le vecteur de coordonnées \(\left( \begin{array}{c} -3\\ -2\\ 5 \end{array} \right)\)

      On remarque que \(\dfrac{5}{-2} \neq \dfrac{-3}{-2}\)

      Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car leur coordonnées ne sont pas proportionnelles.

      Comme les vecteurs normaux à \(P_1\) et \(P_2\) ne sont pas colinéaires, alors les plans \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants.

4. \(\forall t \in \mathbb{R}\quad 5\times(-2-1.9t) - 2\times t + 5 \times (4+2.3t) = -10 -9.5t- 2t + 20 + 11.5t = 10\)

   Tout point de \(\Delta\) appartient à \(P_1\).

   \(\forall t \in \mathbb{R}\quad -3\times(-2-1.9t) - 8\times t + (4+2.3t) = 6 +5.7t- 8t + 4 + 2.3t = 10\)

   Tout point de \(\Delta\) appartient à \(P_2\).

   \(\Delta\) est donc la droite d'intersection de \(P_1\) et \(P_2\).

5. D'après la représentation paramétrique de \(\Delta\), un vecteur directeur de \(\Delta\) est le vecteur \(\overrightarrow{\delta}\) de coordonnées \(\left( \begin{array}{c} 19\\ -10\\ 23 \end{array} \right)\).

   Le plan \(P_3\) admet un vecteur normal \(\overrightarrow{n_3}\) de coordonnées \(\left( \begin{array}{c} 8\\ -10\\ -4 \end{array} \right)\).

   La droite \(\Delta\) et le plan \(P_3\) ne sont pas sécants si et seulement si un vecteur directeur de \(\Delta\) est orthogonal à un vecteur normal au plan \(P_3\).

   On calcule le produit scalaire des deux vecteurs précités : 1.31

   \(\overrightarrow{\delta} \cdot \overrightarrow{n_3} = 19 \times 8 + (-10) \times (-10) + 23 \times (-4) = 160 \neq 0\)

   Le produit scalaire n'est pas nul, les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux, \(\Delta\) et \(P_3\) sont donc sécants.

6. On considère le point H équidistant des points A, B, C, D. Comme AH = BH, H appartient à \(P_1\). Comme DH = CH, H appartient à \(P_2\). Ainsi H appartient à l'intersection des deux plans, la droite \(\Delta\). Comme AH = CH, H appartient au plan \(P_3\). Ainsi H est l'intersection de \(\Delta\) et de \(P_3\).

   Le point équidistant des sommets d'un tétraèdre est l'intersection des plans médiateurs de ses arêtes.

   On peut déterminer les coordonnées de H.

   Il suffit de résoudre l'équation :

   \(8(-2-1.9t) -10t -4(4+2.3t) = -15\)