Annales du brevet de maths › 2021
2021Brevet de maths Amérique du Sud
Épreuve de mathématiques, série générale, novembre 2021
Mis à jour le 11 novembre 2026
Exercice 1 (24 pts)
Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.
| Affirmation 1: 72 est un multiple commun des nombres 12 et 18. |
| Affirmation 2 : pour tout nombre \(n\), on a l'égalité suivante: \((n- 5)^2 = n^2 - 5^2\). |
| On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 2x +5\). |
| Affirmation 3: l'antécédent de 6 par la fonction \(f\) est égal à \(\dfrac{1}{2}\). |
| Voici les températures relevées en degré Celsius (noté ° C) pendant six jours dans une même ville: 5 ° C, 7 ° C, 11 ° C, 8 ° C, 5 ° C et 6 ° C. |
| Affirmation 4 : la moyenne de ces six températures est égale à 6,5 ° C. |
Les points B, D et A sont alignés.
Les points B, E et C sont alignés.
Le triangle ABC est rectangle en B.
BA \(= 12\) cm ; BC \(= 9\) cm ;
BD \(= 8\) cm et BE \(= 6\) cm.
La figure ci-contre n'est pas à l'échelle.
 |
| Affirmation 5: la longueur AC est égale à \(15\) cm. |
| Affirmation 6: les droites (AC) et (DE) sont parallèles. |
Voir le corrigé de l'exercice 1
\(72=12\times 6 = 18 \times 4\) : 72 est à la fois un multiple de 12 et de 18. donc 72 est un multiple commun à 12 et à 18.
Affirmation 1 vraie
Pour \(n=10\), on a: \((n-5)^2=(10-5)^2=25\) et \(n^2-5^2=10^2-5^2=75\); donc \((n-5)^2 \neq n^2-5^2\).
Affirmation 2 fausse
Attention, piège : \((n-5)^2 = n^2 - 10n + 25\) (identité remarquable) : le carré d'une différence n'est pas la différence des carrés.Pour déterminer les antécédents de 6 par \(f\), on résout l'équation \(f(x)=6\):
\(f(x)=6\) équivaut à \(2x+5=6\) équivaut à \(2x=1\) équivaut à \(x=\dfrac{1}{2}\).
Donc \(\dfrac{1}{2}\) est l'antécédent de 6 par \(f\).
Affirmation 3 vraie
\(\dfrac{5+7+11+8+5+6}{6}=\dfrac{42}{6}=7 \neq 6{,}5\)
Affirmation 4 fausse
Le triangle ABC est rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore:
\(\text{AC}^2 = \text{BA}^2 + \text{BC}^2 = 12^2+9^2=144+81=225\) donc \(\text{AC}=\sqrt{225}=15\)
Affirmation 5 vraie
\(\dfrac{\text{BD}}{\text{BA}}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{\text{BE}}{\text{BC}}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\) donc \(\dfrac{\text{BD}}{\text{BA}}=\dfrac{\text{BE}}{\text{BC}}\)
Les points B, D, A et B, E, C sont alignés dans le même ordre ; d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (DE) sont parallèles.
Affirmation 6 vraie
Exercice 2 (19 pts)
Une mère et sa fille rentrent chez elles à pied en empruntant le même trajet de 10 kilomètres. La mère décide de s'y rendre en marchant et sa fille en courant.
Le graphique ci-dessous modélise les parcours de la mère et de la fille depuis leur départ.
Indiquer le temps mis par la mère pour rentrer chez elle, avec la précision que permet la lecture du graphique.
Déterminer la vitesse moyenne en km/h de la mère sur l'ensemble de son parcours.
La distance parcourue par la mère est-elle proportionnelle au temps ?
La fille est partie à \(16\) h et est arrivée chez elle à \(17\) h \(50\). Elle a fait une pause durant sa course.
Indiquer la durée de la pause de la fille, avec la précision que permet la lecture graphique.
Quand a-t-elle couru le plus vite: avant ou après sa pause ?
Combien de fois la mère et la fille se sont retrouvées au même endroit et au même moment, au cours de leur trajet ?
Dans cette question, on note \(f\) la fonction qui, au temps de parcours \(x\) (exprimé en heure) de la mère depuis le départ, associe la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par la mère depuis le départ.
Parmi les propositions suivantes, recopier sans justification l'expression de \(f(x)\) :
\[f(x) = \dfrac{1}{5}x \quad;\quad f(x) = 5x \quad;\quad f(x) = x +5.\]
Voir le corrigé de l'exercice 2
La droite représentant le trajet de la mère passe par le point de coordonnées \((2~;~10)\) donc le temps mis par la mère pour faire les 10 km pour rentrer chez elle est de 2 heures.
La mère fait 10 km en 2 h donc sa vitesse moyenne est de \(\dfrac{10}{2}\) soit 5 km/h.
Le trajet de la mère est une droite passant par l'origine, donc la distance parcourue par la mère est proportionnelle au temps.
Sur le graphique, la courbe de la fille est horizontale (distance constante, 3 km) pendant environ 0,5 h : la pause a duré environ 30 minutes.
Les 15 premières minutes, elle parcourt 3 km, ce qui fait une vitesse de 12 km/h.
Les 30 minutes suivantes, elle fait une pause.
Elle parcourt 7 km dans la 3e partie. Son trajet total se déroule de 16 h à 17 h 50, donc dure 1 h 50. La 3e partie dure donc 1 h 05.
En parcourant 7 km en 1 h 05 min, soit plus d'une heure, elle va à moins de 7 km/h (environ \(7\div\dfrac{65}{60}\approx6{,}5\) km/h), donc moins vite que 12 km/h.
La fille a donc couru plus vite avant sa pause qu'après.
Les graphiques représentant les deux trajets de la mère et de la fille se coupent en deux points, donc la mère et la fille se sont retrouvées deux fois au même endroit et au même moment, au cours de leur trajet.
\(f(x) = 5x\) : la mère avance à 5 km/h et la distance est proportionnelle au temps (fonction linéaire de coefficient 5).
Exercice 3 (23 pts)
Un club de handball souhaite commander des maillots avec le nom du club inscrit dessus. À l'issue de sa commande, le club veut recevoir exactement \(350\) maillots.
Après quelques recherches, deux sites internet ont été sélectionnés:
sur le site A : les maillots sont vendus à 12 € l'unité;
sur le site B : les maillots sont vendus à 13 € l'unité, avec la promotion :
« 10 maillots offerts pour 100 achetés ».
Déterminer le montant, exprimé en euro, de la commande du club envisagée sur le site A.
Un tableur ci-dessous présente des exemples de dépenses en fonction du nombre de maillots payés sur le site B. Voici une copie d'écran de ce tableur.
A B C D E F G H I 1 Nombre de maillots payés 50 100 150 200 250 300 350 400 2 Nombre de maillots offerts 0 10 10 20 20 30 30 40 3 Nombre total de maillots reçus 50 110 160 220 270 330 380 440 4 Coût total (en €) 650 1300 1950 2600 3250 3900 4550 5200 À la lecture de ce tableur, le trésorier du club affirme que le montant de la commande sera compris entre 3900 € et 4550 €. Son affirmation est-elle vraie ?
Sachant que les lignes 1 et 2 du tableur ont été complétées auparavant, quelle formule a-t-on pu saisir ensuite dans la cellule B3 avant de l'étirer jusqu'à la cellule I3, pour remplir la ligne 3 du tableur ?
Le coût total exprimé en euro est-il proportionnel au nombre de maillots reçus ?
Sur quel site le club doit-il passer sa commande pour recevoir exactement \(350\) maillots, tout en payant le moins cher ?
Le club souhaite que ces \(350\) maillots soient répartis entre des maillots noirs et des maillots rouges dans le ratio 5 : 2.
Combien faut-il commander de maillots noirs et de maillots rouges ?
Le club a aussi commandé des gourdes. Les cartons reçus sont indiscernables tant par leurs dimensions que par leur forme.
Il y a 4 cartons de gourdes blanches et 3 cartons de gourdes bleues.
On ouvre un carton au hasard. Quelle est la probabilité qu'il contienne des gourdes bleues ?
Voir le corrigé de l'exercice 3
\(12\times 350=4200\) donc le montant, exprimé en euro, de la commande du club envisagée sur le site A est de 4 200 €.
La livraison de 330 maillots coûte 3900 € et la livraison de 380 maillots coûte 4550 €; donc le montant de la commande de 350 maillots sera compris entre 3900 € et 4550 €. L'affirmation est vraie.
On saisit en B3 :
=B1+B2(maillots payés + maillots offerts).Pour 650 €, on a 50 maillots. Pour le triple, c'est-à-dire 1950 €, on a 160 maillots, soit plus du triple. Donc le coût total exprimé en euro n'est pas proportionnel au nombre de maillots reçus.
Sur le site A, la commande de 350 maillots coûte 4200 €.
Sur le site B, en payant 320 maillots (entre 300 et 400), on en reçoit 30 offerts, soit 320 + 30 = 350 maillots. Cela coûte \(320\times 13\) soit 4160 €.
Comme 4 160 € < 4 200 €, le club doit commander sur le site B.
\(5+2=7\) et \(\dfrac{350}{7}=50\) : le ratio 5 : 2 partage les 350 maillots en 7 parts égales de 50.; \(50\times 5=250\) et \(50\times 2=100\)
Il faut donc commander 250 maillots noirs et 100 maillots rouges.
Il y a 3 cartons de gourdes bleues sur un total de 7 donc la probabilité que le carton ouvert au hasard contienne des gourdes bleues est de \(\dfrac{3}{7}\).
Exercice 4 (14 pts)
Dans tout cet exercice, aucune justification n'est demandée
On donne le programme suivant :
| Script principal | le bloc Carré |
 |  |
On rappelle que l'instruction
signifie que l'on s'oriente vers la droite.
On lance le programme.
Construire la figure obtenue en prenant 1 cm pour 25 unités de longueur.
On modifie le Script principal et on obtient deux scripts ci-dessous:
Script principal A Script principal B 
Parmi les trois figures ci-dessous, associer sur votre copie chacun des deux scripts principaux A et B à la figure qu'il permet de réaliser:
Figure 1 Figure 2 Figure 3 
On souhaite réaliser la figure suivante :
Le point de départ se situe au centre de la figure.
Compléter le nouveau script principal ci-dessous en recopiant sur la copie uniquement les lignes 5 et 7. Pour mémoire, l'énoncé rappelle ci-dessous à droite le descriptif du bloc Carré.
Voir le corrigé de l'exercice 4
Le bloc Carré trace un carré de 50 unités (2 cm). Le script principal le répète 4 fois en avançant de 50 entre deux carrés : on obtient 4 carrés de 2 cm accolés en ligne.
Script A → figure 2 : 3 carrés de 50 décalés de 25 à chaque fois, qui se chevauchent à moitié. Script B → figure 1 : le lutin reste au même point et tourne de 90° entre deux carrés, d'où 4 carrés autour du point de départ.
Ligne 5 : répéter 8 fois (il y a 8 carrés) ; ligne 7 : tourner ↺ de 45 degrés (360 ÷ 8 = 45 : on passe d'un carré au suivant par une rotation de 45° autour du centre de la figure).
Exercice 5 (20 pts)
Une usine de fabrication de bougies reçoit des cubes de cire d'abeille d'arête 6 cm.
Ils sont disposés dans des cartons remplis (sans espace vide).
| |||
| Forme: pavé droit | |||
| Dimensions : | |||
| |||
| (On ne tient pas compte de l'épaisseur des cartons) | |||
| |||
| Masse volumique: 0,95 g/cm\(^3\) | |||
Montrer que chaque carton contient 360 cubes de cire d'abeille.
Quelle est la masse de cire d'abeille contenue dans un carton rempli de cubes? On donnera la réponse en kg, arrondie à l'unité près, en ne tenant pas compte de la masse du carton.
À l'usine, on découpe les cubes de cire d'abeille afin d'obtenir des cylindres de hauteur 6 cm et de diamètre 6 cm avec lesquels on fera des bougies en installant une mèche.
On ne tiendra pas compte de la masse, du volume et du prix de la mèche dans la suite de l'exercice.
Montrer que le volume d'une bougie est d'environ \(170\) cm\(^3\).
On rappelle que le volume d'un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) est donné par la formule :
\[V = \pi \times r^2 \times h.\]En découpant les cubes de cire d'abeille d'arête 6 cm pour former des bougies cylindriques, la cire perdue est réutilisée pour former à nouveau d'autres cubes de cire d'abeille d'arête 6 cm.
Combien de cubes au départ doit-on découper pour pouvoir reconstituer un cube de cire d'abeille d'arête 6 cm, avec la cire perdue ?
Un commerçant vend les bougies de cette usine au prix de \(9{,}60\) € l'unité. Il les vend 20 % plus chères qu'il ne les achète à l'usine.
Combien paie-t-il à l'usine pour l'achat d'une bougie ?
Voir le corrigé de l'exercice 5
La largeur du carton est de 60 cm, et chaque cube de cire a une arête de 6 cm; on met donc \(\dfrac{60}{6}=10\) cubes dans la largeur.
La profondeur du carton est de 36 cm, et chaque cube de cire a une arête de 6 cm; on met donc \(\dfrac{36}{6}=6\) cubes dans la profondeur.
La hauteur du carton est de 36 cm, et chaque cube de cire a une arête de 6 cm; on met donc \(\dfrac{36}{6}=6\) cubes dans la hauteur.
On met donc \(10\times 6 \times 6=360\) cubes de cire dans un carton.
Attention, piège : il faut que chaque dimension du carton soit un multiple de 6 : sinon on ne pourrait pas remplir sans vide. Diviser le volume du carton par celui d'un cube donne ici le même résultat (77 760 ÷ 216 = 360).Le volume de cire contenu dans un carton est en cm\(^3\): \(60\times 36\times 36 =77\,760\).
La masse volumique de la cire est de \(0{,}95\) g/cm\(^3\) donc la masse de \(77\,760\) cm\(^3\) est en gramme de \(77\,760\times 0{,}95 = 73\,872\), c'est-à-dire environ 74 kg (1 kg = 1 000 g).
Le rayon vaut 6 ÷ 2 = 3 cm, donc le volume de la bougie est en cm\(^3\): \(V=\pi \times 3^2\times 6 = 54\pi \approx 169{,}65\), soit environ 170 cm\(^3\).
Le cube de cire a pour volume, en cm\(^3\), \(6\times 6\times 6=216\), et la bougie a pour volume 170 cm\(^3\); à chaque découpe de cube, on récupère \(216-170=46\) cm\(^3\) de cire.
\(\dfrac{216}{46}\approx 4{,}7\) : 4 cubes ne suffisent pas (\(4\times46=184<216\)), il faut découper 5 cubes pour pouvoir reconstituer un cube de cire d'abeille d'arête 6 cm, avec la cire perdue.
Ajouter 20 %, c'est multiplier par \(1+\dfrac{20}{100}=1{,}20\).
On cherche le prix auquel il faut rajouter 20 % pour obtenir \(9{,}60\): c'est \(\dfrac{9{,}60}{1{,}20}=8\).
Le commerçant paie à l'usine 8 € pour l'achat d'une bougie.
Attention, piège : on ne retire pas 20 % de 9,60 € (on trouverait 7,68 €) : les 20 % portent sur le prix d'achat, inconnu. On divise donc par 1,2.
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Au programme du sujet 2021 Amérique du Sud
Épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet, série générale, session novembre 2021, durée 2 heures, 100 points. Chaque exercice est corrigé en détail, avec la méthode et la rédaction attendue.
- Exercice 1 : arithmétique, calcul littéral et équations, fonctions, statistiques
- Exercice 2 : fonctions, proportionnalité et pourcentages
- Exercice 3 : proportionnalité et pourcentages, probabilités
- Exercice 4 : scratch et algorithmique, transformations
- Exercice 5 : aires, volumes et grandeurs, proportionnalité et pourcentages