2022Brevet de maths Amérique du Sud

Affirmation 1 : on a plus de chance de tirer au hasard une boule bleue dans l'urne B que dans l'urne A.

La probabilité de tirer une boule bleue de l'urne A est égale à : \(\dfrac{8}{20} = \dfrac{4}{10} = 0{,}40\) ;

La probabilité de tirer une boule bleue de l'urne B est égale à : \(\dfrac{11}{11 + 14} = \dfrac{11}{25} = \dfrac{44}{100} = 0{,}44\) : l'affirmation 1 est vraie. (0,44 > 0,40)

Affirmation 2 : la médiane de cette série statistique est 11.

En rangeant les 9 valeurs : 3 ; 7 ; 7 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 14. La médiane est la 5^e valeur, soit 12 : l'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3 : sa vitesse moyenne est de \(11{,}25\) km/h.

3 h 20 min \(= 3 + \dfrac{20}{60} = 3 + \dfrac13 = \dfrac{9}{3} + \dfrac13 = \dfrac{10}{3}\).

La vitesse est donc égale à : \(\dfrac{36}{ \frac{10}{3}} = 36 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{108}{10} = 10{,}8\) (km/h) : l'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4 : l'image de \(-1\) par la fonction \(f\) est inférieure à l'image de \(-1\) par la fonction \(g\).

On a \(f(-1 ) = -4 \times (- 1) - 5 = 4 - 5 = - 1\) et on lit \(g(- 1)= - 1\), donc \(f(- 1) = g(- 1)\) : l'affirmation 4 est fausse.

Affirmation 5 : pour tout nombre \(x\), on a : \((x + 5)^2 - 4 = (x + 1)(x + 9)\).

\((x + 5)^2 - 4 = (x + 5)^2 - 2^2 = [(x + 5) + 2][(x + 5) - 2]= (x + 5 + 2)(x + 5 - 2) = (x + 7)(x + 3) \ne (x + 1)(x + 9)\) : l'affirmation 5 est fausse. (par exemple pour \(x=0\) : \(5^2-4=21\) alors que \(1\times9=9\)).

Affirmation 6 : les diagonales de ce carré mesurent \(\sqrt{72}\) mètres.

Le « demi-carré » est un triangle rectangle isocèle de côtés de longueur 6. D'après le théorème de Pythagore l'hypoténuse (diagonale du carré) mesure \(d\) telle que :

\(d^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72\), d'où \(d = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt 2 = 6\sqrt 2\) : l'affirmation 6 est vraie.

Par lecture graphique, la production du pays E est d'environ 10 TWh (un peu moins).

1. D'après les étiquettes du graphique, A a produit 47,5 TWh et B 23,7 TWh, soit à eux deux \(47{,}5 + 23{,}7 = 71{,}2\) TWh. En pourcentage : \(\dfrac{71{,}2}{131{,}8} \times 100 \approx 54{,}0\) donc à peu près 54 % de la production européenne.

2. Le pourcentage d'augmentation de la production photovoltaïque totale entre 2018 et 2019 est égal à :

   \(\dfrac{131{,}8 - 122{,}3}{122{,}3} \times 100 = \dfrac{9{,}5}{122{,}3} \times 100 \approx 7{,}76\), soit environ 7,8 %.

   Rappel de méthode : pourcentage d'évolution = (valeur finale − valeur initiale) ÷ valeur initiale × 100.

1. Pour l'éolien : \(24{,}1 < 27{,}8 < 34{,}1\) ;

   Pour le solaire : \(9{,}2 < 10{,}2 < 11{,}6\)

   Pour les bioénergies : \(9{,}5 < 9{,}7 < 9{,}9\). Ce sont donc l'éolien, le solaire et les bioénergies.

2. On tape en B9 : =SOMME(B3:B8).

DB = CB montre que le triangle DBC est isocèle en B donc ses angles à la base ont même mesure, soit \(\widehat{\text{BDC}} = \widehat{\text{BCD}} = 30(^\circ)\).

Comme la somme des mesures des trois angles du triangle DBC est égale à 180°, on a donc :

\(\widehat{\text{DBC}} = 180 - 30 - 30 = 120(^\circ)\).

Dans le triangle rectangle en D, ADC, on a \(\sin \widehat{\text{ACD}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AC}}\), soit \(\sin 30^\circ = \dfrac12 = \dfrac{\text{AD}}{10}\), d'où AD \(= 10 \times \dfrac12 = 5\) (cm)

\(\bullet~~\)Avec le cosinus :

\(\cos \widehat{\text{ACD}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{AC}}\) soit \(\dfrac{\sqrt 3}{2} = \dfrac{\text{CD}}{10}\), d'où CD \(= 10\times \dfrac{\sqrt 3}{2} = 5\sqrt 3 \approx 8{,}66\), soit environ 8,7 cm.

\(\bullet~~\)Avec le théorème de Pythagore

Dans le triangle rectangle en D, ADC :

\(\text{AC}^2 = \text{AD}^2 + \text{DC}^2\), soit \(10^2 = 5^2 + \text{DC}^2\), d'où \(\text{DC}^2 = 100 - 25 = 75\) et par conséquent DC \(= \sqrt{75}\).

Or DC \(= \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5 \sqrt 3 \approx 8{,}66\) (cm) soit environ 8,7 cm.

On a par supplément à 180° :

\(\widehat{\text{DBA}} = 180 - 120 = 60^\circ\), mais on a aussi par complément de l'angle droit \(\widehat{\text{ADC}}\) :

\(\widehat{\text{ADB}} = 90 - \widehat{\text{BDC}} = 90 - 30 = 60^\circ\).

Conclusion : le triangle ABD a deux et par conséquent trois angles de mesure \(60^\circ\) : c'est donc un triangle équilatéral.

La transformation est une rotation (de centre le point de départ et d'angle 72°).

Proposition 2 : elle trace d'abord la hampe (« avancer de 50 » avant la boucle, ce que ne fait pas la proposition 1), puis le losange en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, donc sous la hampe comme sur la figure (la proposition 3 tourne dans l'autre sens).

Script complété :

Le logo compte 5 motifs régulièrement répartis : on tourne de \(\dfrac{360}{5} = 72\) degrés entre deux motifs. « aller à x : 0 y : 0 » ramène le lutin au centre avant de tourner.

On peut placer cette instruction après l'instruction 5, 6 ou 7 (à l'intérieur de la boucle, pour qu'elle soit exécutée à chaque motif).

1. Chaque côté a une hauteur de 30 cm, soit 2 planches de 15 cm de large et de 1,20 m de long : il faut 4 × 2 = 8 morceaux de 1,20 m. Dans une planche de 2,50 m, on coupe 2 morceaux car \(2 \times 1{,}20 = 2{,}40 < 2{,}50\). Il faut donc acheter \(8 \div 2 = 4\) planches.

2. Une équerre par angle, soit 4 équerres : \(4 \times 2{,}90 = 11{,}60\) ;

   Pour les planches : \(4 \times 5{,}60 = 22{,}40\) ;

   Pour les vis : 8 vis par équerre, soit \(8 \times 4 = 32 < 100\), donc un seul lot à 5,70 €.

   Budget total (hors terre) : \(11{,}60 + 22{,}40 + 5{,}70 = 39{,}70\) €.

La hauteur de terre est : \(\dfrac23 \times 30 = 20\) (cm).

On calcule le volume en dm\(^3\) avec des dimensions en dm.

Soit \(11{,}8 \times 11{,}8 \times 2 = 278{,}48\) (dm\(^3\)) ou 278,48 L.

Or 7 sacs de 40 L contiennent \(7 \times 40 = 280 > 278{,}48\) L.

Conclusion : 7 sacs suffiront (de justesse).