Annales du brevet de maths › 2022
2022Brevet de maths Polynésie (septembre)
Épreuve de mathématiques, série générale, septembre 2022
Mis à jour le 11 novembre 2026
Exercice 1 (22 pts)
Cet exercice est constitué de six questions indépendantes.
Calculer \(\dfrac56 + \dfrac78\) et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
On détaillera les calculs.
Donner, sans justifier, la décomposition en facteurs premiers de \(198\) et de \(84\).
En déduire la forme irréductible de la fraction \(\dfrac{198}{84}\).
On donne l'expression littérale suivante : \(E = 5(3x - 4) - (2x - 7)\).
Développer et réduire \(E\).
On désigne par \(b\) un nombre positif.
Déterminer la valeur de \(b\) telle que le périmètre du rectangle ci-contre soit égal à 25.
Calculer le volume de la pyramide à base rectangulaire de hauteur SH \(= 6\) ci-contre.
Le nombre d'habitants d'une ville a augmenté de 12 % entre 2019 et 2020.
Cette ville compte 20 692 habitants en 2020.
Quel était le nombre d'habitants de cette ville en 2019 ?
Voir le corrigé de l'exercice 1
\(\dfrac56 + \dfrac78 = \dfrac{5 \times 4}{6 \times 4} + \dfrac{7 \times 3}{8\times 3} = \dfrac{20 + 21}{24} = \dfrac{41}{24}\) (fraction irréductible car 41 est premier et ne divise pas 24).
\(\bullet~~\)\(198 = 9 \times 22 = 3 \times 3 \times 2 \times 11 = 2 \times 3^2 \times 11\) ;
\(\bullet~~\)\(84 = 4 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7\).
\(\dfrac{198}{84} = \dfrac{2 \times 3^2 \times 11}{2^2 \times 3 \times 7} = \dfrac{3 \times 11}{2 \times 7} = \dfrac{33}{14}\).
\(E = 5(3x - 4) - (2x - 7) = 15x - 20 - 2x + 7 = 13x - 13\).
D'après le codage, le rectangle a une largeur de 4,5 et une longueur de \(3b + 2{,}9\).
Son périmètre est égal à : \(2(4{,}5 + 3b + 2{,}9) =\)
\(2(7{,}4 + 3b) = 14{,}8 + 6b\).
Il faut que \(14{,}8 + 6b = 25\), soit \(6b = 25 - 14{,}8\) ou
\(6b = 10{,}2\), soit \(b = \dfrac{10{,}2}{6} = 1{,}7\).
On sait que \(V = \dfrac13 \times B \times h\), avec \(B = 3 \times 4 = 12\) et \(h = 6\), d'où :
\(V = \dfrac13 \times 12 \times 6 = 24\). Le volume de la pyramide est 24 (unités de volume).
Augmenter de 12 %, c'est multiplier par \(1 + \dfrac{12}{100} = 1 + 0{,}12 = 1{,}12\).
Si \(x\) est le nombre d'habitants en 2019, alors :
\(x \times 1{,}12 = 20\,692\), d'où en multipliant chaque membre par \(\dfrac{1}{1{,}12}\), \(x = \dfrac{20\,692}{1{,}12} = 18\,475\).
Il y avait 18 475 habitants en 2019.
Attention, piège : on ne retire pas 12 % de 20 692 : les 12 % portent sur la population de 2019, inconnue. On divise donc par 1,12 (vérification : \(18\,475\times1{,}12=20\,692\)).
Exercice 2 (22 pts)
Un poteau électrique vertical [BC] de \(5{,}2\) m de haut est retenu par un câble métallique [AC] comme montré sur le schéma 1 qui n'est pas en vraie grandeur.
Montrer que la longueur du câble [AC] est égale à \(6{,}5\) m.
Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{\text{ACB}}\) au degré près.
Deux araignées se trouvant au sommet du poteau (point C) décident de rejoindre le bas du câble (point A) par deux chemins différents.
La première araignée se déplace le long du câble [AC] à une vitesse de \(0{,}2\) m/s.
Vérifier qu'il lui faut 32,5 secondes pour atteindre le bas du câble.
La deuxième araignée décide de parcourir le chemin CFHA indiqué en pointillés sur le schéma 2 (qui n'est pas en vraie grandeur) : elle suit le morceau de câble [CF] en marchant, puis descend verticalement le long de [FH] grâce à son fil et enfin marche sur le sol le long de [HA].
Calculer les longueurs FH et HA.
La deuxième araignée marche à une vitesse de 0,2 m/s le long des segments [CF] et [HA] et descend le long du segment [FH] à une vitesse de 0,8 m/s.
Laquelle des deux araignées met le moins de temps à arriver en A ?
Voir le corrigé de l'exercice 2
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle en B, s'écrit :
\(\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2\), soit \(3{,}9^2 + 5{,}2^2 = \text{AC}^2\), ou encore \(15{,}21 + 27{,}04 = \text{AC}^2\), soit \(\text{AC}^2 = 42{,}25\).
On a donc AC \(= \sqrt{42{,}25} = 6{,}5\) (m).
On a par exemple \(\cos \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} = \dfrac{5{,}2}{6{,}5} = 0{,}8\).
La calculatrice donne \(\widehat{\text{ACB}} \approx 36{,}9\).
La mesure de l'angle \(\widehat{\text{ACB}}\) est \(37^\circ\) au degré près.
On a \(v = \dfrac dt\), avec \(v = 0{,}2\) et \(d = \text{CA} = 6{,}5\).
Donc \(0{,}2 = \dfrac{6{,}5}{t}\), d'où \(0{,}2t = 6{,}5\) et \(t = \dfrac{6{,}5}{0{,}2} = 6{,}5 \times 5 = 32{,}5\) (s).
Les droites (FH) et (CB) étant toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB) sont parallèles.
\(\bullet~~\)Les points A, F, C et A, H, B sont alignés ; d'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{\text{FH}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AC}}\), soit \(\dfrac{\text{FH}}{5{,}2} = \dfrac{4}{6{,}5}\), d'où en multipliant chaque membre par 6,5 : \(\text{FH} = \dfrac{4 \times 5{,}2}{6{,}5} = 3{,}2\) (m).
\(\bullet~~\)On a de même toujours d'après Thalès : \(\dfrac{\text{AH}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AC}}\), soit \(\dfrac{\text{AH}}{3{,}9} = \dfrac{4}{6{,}5}\), d'où en multipliant chaque membre par 3,9 : \(\text{AH} = \dfrac{3{,}9 \times 4}{6{,}5} = 2{,}4\) (m).
De \(v = \dfrac{d}{t}\), on tire \(d = v \times t\) et \(t = \dfrac{d}{v}\).
La deuxième araignée parcourt CF + HA \(= (6{,}5 - 4) + 2{,}4 = 4{,}9\) (m) à la vitesse de 0,2 (m/s).
Elle met donc \(t_1 = \dfrac{4{,}9}{0{,}2} = 4{,}9 \times 5 = 24{,}5\) (s) pour parcourir ces deux segments.
Pour parcourir le segment [FH], elle met \(t_2 = \dfrac{3{,}2}{0{,}8} = \dfrac{32}{8} = 4\) (s).
Elle met donc au total : \(24{,}5 + 4 = 28{,}5\) (s) : 28,5 s < 32,5 s : c'est la deuxième araignée qui met le moins de temps pour arriver en A.
Exercice 3 (17 pts)
On utilise un logiciel de programmation.
On rappelle que « s'orienter à \(0^\circ\) » signifie qu'on oriente le stylo vers le haut.
On considère les deux scripts suivants:
On exécute le script 1 ci-dessus.
Représenter le chemin parcouru par le stylo sur l'ANNEXE à rendre avec la copie.
Quel dessin parmi les trois ci-dessous correspond au script 2 ?
On expliquera pourquoi les deux autres dessins ne correspondent pas au script 2.
Chaque côté de carreau mesure 20 pixels.
On souhaite maintenant obtenir le motif représenté sur le dessin 4 :
Compléter sans justifier les trois cases du script 3 donné en ANNEXE à rendre avec la copie, permettant d'obtenir le dessin 4.
À partir du motif représenté sur le dessin 4, on peut obtenir le pavage ci-dessous :
Répondre aux questions suivantes sur votre copie en indiquant le numéro du motif qui convient (on ne demande pas de justifier la réponse) :
Quelle est l'image du motif 1 par la translation qui transforme le point B en E ?
Quelle est l'image du motif 1 par la symétrie de centre B ?
Quelle est l'image du motif 16 par la symétrie de centre G ?
Quelle est l'image du motif 2 par la symétrie d'axe (CG) ?
Voir le corrigé de l'exercice 3
Le stylo part vers le haut. Deux fois de suite, il monte d'un carreau (20 pixels), tourne vers la droite, avance de deux carreaux (40 pixels), puis tourne vers la gauche pour repartir vers le haut. On obtient un escalier de deux marches (tracé en rouge) :
Le dessin 1 ne convient pas : après deux déplacements de 20 pixels (1 carreau), le script fait avancer de 40 pixels (2 carreaux), ce qui n'apparaît pas sur ce dessin.
Le dessin 3 ne convient pas : le premier segment n'est pas tracé vers le haut, alors que le lutin est orienté à 0° (vers le haut) au départ.
Le dessin 2 est donc celui du script 2.
Les trois cases se complètent par 40, 20 et 120 (en rouge) :
Quelle est l'image du motif 1 par la translation qui transforme le point B en E ? Le motif 5.
Quelle est l'image du motif 1 par la symétrie de centre B ? Le motif 9.
Quelle est l'image du motif 16 par la symétrie de centre G ? Le motif 12.
Quelle est l'image du motif 2 par la symétrie d'axe (CG) ? Le motif 5.
Exercice 4 (20 pts)
Voici un tableau de valeurs d'une fonction \(f\) :
\(x\) \(-2\) \(-1\) 0 1 3 4 5 \(f(x)\) 5 3 1 \(-1\) \(-5\) \(-7\) \(-9\) Quelle est l'image de \(3\) par la fonction \(f\) ?
Donner un nombre qui a pour image \(5\) par la fonction \(f\).
Donner un antécédent de \(1\) par la fonction \(f\).
On considère le programme de calcul suivant:
Choisir un nombre Ajouter 1 Calculer le carré du résultat Quel résultat obtient-on en choisissant \(1\) comme nombre de départ? Et en choisissant \(- 2\) comme nombre de départ?
On note \(x\) le nombre choisi au départ et on appelle \(g\) la fonction qui à \(x\) fait correspondre le résultat obtenu avec le programme de calcul.
Exprimer \(g(x)\) en fonction de \(x\).
La fonction \(h\) est définie par \(h(x) = 2x^2 - 3\).
Quelle est l'image de \(3\) par la fonction \(h\) ?
Quelle est l'image de \(-4\) par la fonction \(h\) ?
Donner un antécédent de \(5\) par la fonction \(h\). En existe-t-il un autre ?
On donne les trois représentations graphiques suivantes qui correspondent chacune à une des fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) citées dans les questions précédentes.
Associer à chaque courbe la fonction qui lui correspond, en expliquant la réponse.
Voir le corrigé de l'exercice 4
Voici un tableau de valeurs d'une fonction \(f\) :
\(x\) \(-2\) \(-1\) 0 1 3 4 5 \(f(x)\) 5 3 1 \(-1\) \(-5\) \(-7\) \(-9\) Quelle est l'image de \(3\) par la fonction \(f\) ?
L'image de \(3\) par la fonction \(f\) est \(f(3) = - 5\).
Donner un nombre qui a pour image \(5\) par la fonction \(f\).
On a \(f(- 2) = 5\), donc \(- 2\) a pour image 5 par la fonction \(f\).
Donner un antécédent de \(1\) par la fonction \(f\).
On a \(f(0) = 1\), donc 0 est un antécédent de 1 par \(f\).
Quel résultat obtient-on en choisissant \(1\) comme nombre de départ?
On a \(1 \to 1 + 1 = 2 \to 2^2 = 4\) : 1 donne 4 comme résultat.
Et en choisissant \(- 2\) comme nombre de départ ?
On a \(- 2 \to - 2 + 1 = -1 \to (- 1)^2 = 1\) : \(- 2\) donne 1 comme résultat.
On note \(x\) le nombre choisi au départ et on appelle \(g\) la fonction qui à \(x\) fait correspondre le résultat obtenu avec le programme de calcul.
Exprimer \(g(x)\) en fonction de \(x\).
On a \(x \to x + 1 \to (x + 1)^2\). Donc \(g(x) = (x + 1)^2\).
La fonction \(h\) est définie par \(h(x) = 2x^2 - 3\).
Quelle est l'image de \(3\) par la fonction \(h\) ?
On a \(h(3) = 2 \times 3^2 - 3 = 2 \times 9 - 3 = 18 - 3 = 15\).
Quelle est l'image de \(-4\) par la fonction \(h\) ?
On a \(h(- 4) = 2 \times (- 4)^2 - 3 = 2 \times 16 - 3 = 32 - 3 = 29\).
Donner un antécédent de \(5\) par la fonction \(h\). En existe-t-il un autre ?
Il faut trouver \(x\) tel que \(2x^2 - 3 = 5\), soit \(2x^2 = 8\) ou \(x^2 = 4\) ou \(x^2 - 4 = 0\), c'est-à-dire \((x - 2)(x + 2) = 0\) donc \(x - 2 = 0\) ou \(x + 2 = 0\). Le nombre 2 est un antécédent de 5 par \(h\), et il en existe un autre : \(-2\).
La représentation n° 1 est celle de \(f\) : c'est une droite (f est affine : ses valeurs diminuent de 2 quand x augmente de 1) et on lit bien \(f(1)=-1\).
La représentation n° 2 est celle de \(h\) : on a bien \(h(0) = - 3\).
La représentation n° 3 est celle de \(g\) : on a bien \(g(0) = 1\).
Rappel de méthode : pour associer une courbe à une fonction, on calcule quelques images faciles (par exemple en 0) et on les compare aux points lus sur les courbes.
Exercice 5 (19 pts)
Une urne contient 20 boules rouges, 10 boules vertes, 5 boules bleues et 1 boule noire.
Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans l'urne.
Lorsqu'un joueur tire une boule noire, il gagne 10 points.
Lorsqu'il tire une boule bleue, il gagne 5 points.
Lorsqu'il tire une boule verte, il gagne 2 points.
Lorsqu'il tire une boule rouge, il gagne 1 point.
Un joueur tire au hasard une boule dans l'urne.
Quelle est la probabilité qu'il gagne \(10\) points?
Quelle est la probabilité qu'il gagne plus de \(3\) points?
A-t-il plus de chance de gagner \(2\) points ou de gagner \(5\) points ?
Le tableau ci-contre récapitule les scores obtenus par 15 joueurs:
Quelle est la moyenne des scores obtenus par ces joueurs ?
Quelle est la médiane des scores ?
Déterminer la fréquence du score « 10 points ».
JOUEUR SCORE JOUEUR A 2 points JOUEUR B 1 point JOUEUR C 1 point JOUEUR D 5 points JOUEUR E 10 points JOUEUR F 2 points JOUEUR G 2 points JOUEUR H 5 points JOUEUR I 1 point JOUEUR J 2 points JOUEUR K 5 points JOUEUR L 10 points JOUEUR M 1 point JOUEUR N 1 point JOUEUR O 2 points Mille joueurs ont participé au jeu. Peut-on estimer le nombre de joueurs ayant obtenu le score de \(10\) points ?
La réponse, affirmative ou négative, devra être argumentée.
Voir le corrigé de l'exercice 5
Un joueur tire au hasard une boule dans l'urne.
Il gagne 10 points s'il tire une boule noire ; il y a 1 boule noire sur un total de \(20 + 10 + 5 + 1 = 36\) : la probabilité est égale à \(\dfrac{1}{36}\).
Il gagnera plus de 3 points s'il tire une boule noire (1 seule) ou une boule bleue (5 boules bleues) : la probabilité est égale à \(\dfrac{6}{36} = \dfrac{6 \times 1}{6 \times 6} = \dfrac16\).
Il y a plus de boules vertes que de boules bleues : Il a plus de chance de gagner \(2\) points que de gagner \(5\) points.
La moyenne des scores est : \(\dfrac{2 + 1 + 1 + \ldots + 2}{15} = \dfrac{50}{15} = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\) (points).
Les scores sont dans l'ordre croissant :
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 5 ; 5 ; 5 ; 10 ; 10. Il y a 15 scores : la médiane est le 8e, soit 2 points.
La fréquence du score 10 est \(\dfrac{2}{15}\), soit environ 13 %.
On a vu à la question 1. a. que la probabilité du score 10 points est égale à \(\dfrac{1}{36}\).
Donc pour 1000 joueurs il y aura à peu près :
\(1000 \times \dfrac{1}{36} = \dfrac{1000}{36} = \dfrac{250}{9} \approx 27{,}8\)
Oui : sur un grand nombre de tirages, la fréquence est proche de la probabilité. On peut estimer qu'environ 28 joueurs sur 1 000 obtiendront 10 points (la fréquence \(\dfrac{2}{15}\) observée sur 15 joueurs seulement n'est pas fiable).
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Au programme du sujet 2022 Polynésie (septembre)
Épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet, série générale, session septembre 2022, durée 2 heures, 100 points. Chaque exercice est corrigé en détail, avec la méthode et la rédaction attendue.
- Exercice 1 : fractions, puissances, calcul numérique, arithmétique, calcul littéral et équations, aires, volumes et grandeurs
- Exercice 2 : pythagore et trigonométrie, thalès et triangles semblables, proportionnalité et pourcentages
- Exercice 3 : scratch et algorithmique, transformations
- Exercice 4 : fonctions, calcul littéral et équations
- Exercice 5 : probabilités, statistiques