Annales du brevet de maths › 2022
2022Brevet de maths Métropole (secours)
Épreuve de mathématiques, série générale, 30 juin 2022
Mis à jour le 11 novembre 2026
Exercice 1 (20 pts)
Voici cinq affirmations. Pour chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.
Lors d'une fête foraine, un stand propose de faire tourner une roue pour gagner un lot (porte-clés, ballon ou peluche). Les 8 secteurs angulaires sont de même mesure.
Affirmation 1 : La probabilité de l'évènement « gagner une peluche » est égale à \(\dfrac12\).
Affirmation 2 : Le triangle ABC ci-dessous est un triangle rectangle.
Pour son anniversaire, Chloé invite deux de ses amis, Hakim et Manon.
Quand arrive l'heure du gâteau, les trois enfants indiquent:
\(\bullet~~\)Hakim : « Je souhaite en manger les \(\dfrac37\) » ;
\(\bullet~~\)Manon: « Cela me fait plaisir d'en manger les \(\dfrac25\) » ;
\(\bullet~~\)Chloé: « \(\dfrac17\) du gâteau me convient parfaitement ».
Affirmation 3 : Les trois amis ont mangé la totalité du gâteau.
Affirmation 4 :
\[(2x + 3)(5x - 4) - 5(3x - 2) = 10x^2 - 8x - 2\]Les angles d'un triangle DEF sont tels que :
\(\bullet~~\)\(\widehat{\text{DFE}} = 30^\circ\)
\(\bullet~~\)La mesure de l'angle \(\widehat{\text{DEF}}\) est le quadruple de celle de l'angle \(\widehat{\text{FDE}}\).
Affirmation 5 : Le triangle DEF est un triangle isocèle.
Voir le corrigé de l'exercice 1
Il y a 8 secteurs identiques dont 4 correspondent à « gagner une peluche »; donc la probabilité de l'évènement « gagner une peluche » est égale à \(\dfrac{4}{8}\) soit \(\dfrac12\).
Affirmation 1 vraie
Le plus grand côté est [BC] : \(\text{BC}^2=7{,}5^2=56{,}25\) et \(\text{AB}^2+\text{AC}^2=4{,}5^2+6^2=20{,}25+36=56{,}25\). Donc \(\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2\) et, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Affirmation 2 vraie
\(\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{15}{35}+\dfrac{14}{35}+\dfrac{5}{35}=\dfrac{34}{35}\neq 1\) : il reste \(\dfrac{1}{35}\) du gâteau.
Affirmation 3 fausse
Attention, piège : pour additionner des fractions, on les met d'abord au même dénominateur (ici 35).\((2x + 3)(5x - 4) - 5(3x - 2) = (10x^2 - 8x + 15x -12) - (15x -10) = 10x^2 +7x -12 - 15x +10\\ \phantom{(2x + 3)(5x - 4) - 5(3x - 2)} = 10x^2 -8x -2\)
Affirmation 4 vraie
La somme des angles d'un triangle vaut 180°; donc \(\widehat{\text{DFE}} + \widehat{\text{DEF}} + \widehat{\text{FDE}} = 180\).
Or \(\widehat{\text{DFE}} = 30\) donc \(\widehat{\text{DEF}} + \widehat{\text{FDE}} = 150\).
La mesure de l'angle \(\widehat{\text{DEF}}\) est le quadruple de celle de l'angle \(\widehat{\text{FDE}}\) donc \(\widehat{\text{DEF}} = 4\widehat{\text{FDE}}\).
On déduit donc que \(4\widehat{\text{FDE}} + \widehat{\text{FDE}} = 150\) donc \(5\widehat{\text{FDE}} = 150\) et donc \(\widehat{\text{FDE}} = 30\).
On a donc \(\widehat{\text{FDE}} = 30^\circ\) et \(\widehat{\text{DEF}} = 4\times30 = 120^\circ\). Le triangle DEF a deux angles de 30° (en D et en F) : il est isocèle en E.
Affirmation 5 vraie
Exercice 2 (20 pts)
L'artiste français Jean Lurçat a produit dix tapisseries de surfaces différentes, exposées dans la ville d'Angers.
La surface approximative de chacune de ces tapisseries a été saisie dans la feuille de calcul ci-dessous. (source: https://musees.angers.fr)
| 1 | Nom de la tapisserie | Surface (en m\(^2\)) |
| 2 | La Grande Menace | 39,2 |
| 3 | L'homme d'Hiroshima | 12,8 |
| 4 | Le Grand charnier | 32,4 |
| 5 | La Fin de tout | 10,2 |
| 6 | L'Homme en gloire dans la paix | 57,5 |
| 7 | L'eau et le feu | 27,2 |
| 8 | Champagne | 30,9 |
| 9 | La Conquête de l'espace | 45,9 |
| 10 | La Poésie | 45,4 |
| 11 | Ornamentos sagrados | 45,4 |
| 12 | Total |
Quelle tapisserie a la surface maximale ? On ne demande pas de justifier.
Vérifier que la surface médiane de ces tapisseries est égale à 35,8 m\(^2\).
Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B12 afin de calculer la surface totale de ces dix tapisseries ?
On ne demande pas de justifier.
Calculer la surface moyenne de ces tapisseries.
Sara affirme: « 40% de ces tapisseries ont une surface supérieure à 45 m\(^2\) ».
Sara a-t-elle raison ? Justifier.
Voir le corrigé de l'exercice 2
La tapisserie qui a la surface maximale est « L'Homme en gloire dans la paix » (\(57{,}5\) m\(^2\)).
On range les 10 surfaces en ordre croissant:
\(10{,}2\) \(12{,}8\) \(27{,}2\) \(30{,}9\) \(\color{blue} 32{,}4\) \(\color{blue} 39{,}2\) \(45{,}4\) \(45{,}4\) \(45{,}9\) \(57{,}5\) Il y a 10 valeurs donc la médiane est la moyenne arithmétique des 5e et 6e valeurs donc
\(\dfrac{32{,}4+39{,}2}{2}= \dfrac{71{,}6}{2}=35{,}8\).
Pour calculer la surface totale de ces dix tapisseries, la formule à saisir dans la cellule
B12est :=SOMME(B2:B11)\(\dfrac{10{,}2+12{,}8+27{,}2+30{,}9+32{,}4+39{,}2+45{,}4+45{,}4+45{,}9+57{,}5}{10} = \dfrac{346{,}9}{10} = 34{,}69\)
La surface moyenne de ces tapisseries est de \(34{,}69\) m\(^2\).
Il y a 4 tapisseries sur 10 (45,4 ; 45,4 ; 45,9 et 57,5 m²) qui ont une surface supérieure à 45 m\(^2\), soit 40 %, donc Sara a raison.
Exercice 3 (20 pts)
Un club de sport propose une nouvelle formule annuelle pour ses adhérents :
« Achat d'une carte d'adhésion à 32 € donnant droit à un tarif de 4,50 € par séance ».
Déterminer le coût à payer pour dix séances dans l'année avec cette formule.
Noé a un budget annuel de \(95\) € pour se rendre dans cette salle de sport.
Combien de séances pourrait-il effectuer ?
On note \(p\) la fonction qui, au nombre \(x\) de séances pratiquées, associe le prix à payer pour \(x\) séances pratiquées dans l'année.
Donner l'expression de \(p(x)\).
Vérifier que \(p(27) = 153{,}5\).
Interpréter par une phrase l'égalité précédente.
On s'intéresse au programme qui permet de donner le prix à payer en fonction du nombre de séances pratiquées dans cette salle de sport.
Compléter sur l'ANNEXE les lignes 4 et 5 pour que ce script corresponde au programme souhaité.
Voir le corrigé de l'exercice 3
\(4{,}50\times 10+32= 77\) donc le coût à payer pour dix séances dans l'année est de 77 €.
Le nombre \(n\) de séances que Noé peut effectuer vérifie \(4{,}50n+32=95\) soit \(n=\dfrac{95-32}{4{,}50}=\dfrac{63}{4{,}5}=14\).
Avec 95 €, Noé pourra effectuer 14 séances.
\(p(x) = 4{,}5x+32\)
\(p(27) = 4{,}5\times 27+32 = 121{,}5+32 = 153{,}5\)
Pour 27 séances dans l'année, on paie 153,50 € (adhésion comprise).
Ligne 4 : mettre résultat à nombre de séances × 4,50 ; ligne 5 : mettre résultat à 32 + résultat.
Exercice 4 (18 pts)
Le Tour de France 2021 est une compétition de cyclisme s'étant déroulée du 26 juin au 18 juillet 2021.
L'étape 5 était un contre-la-montre individuel de \(27{,}2\) km. Le graphique ci-dessous indique le temps effectué par Tadej Pogacar en fonction de la distance parcourue sur son trajet (source : https://www.letour.fr).
On répondra aux questions suivantes à l'aide de ce graphique reproduit en annexe.
On laissera les traits de construction éventuels sur le graphique de l'annexe.
Quelle distance approximative Tadej POGACAR a-t-il parcouru en 20 minutes ?
En combien de temps environ Tadej POGACAR a-t-il effectué les \(27{,}2\) km du parcours ?
Le cycliste Bryan Coquard a lui aussi effectué ce contre-la-montre.
Le temps, en minutes, mis par Bryan Coquard pour parcourir la distance \(x\), exprimée en km, peut être représenté par la fonction linéaire \(f\) d'expression algébrique:
\[f(x) = 1{,}4x.\]Représenter la fonction \(f\) sur le graphique en annexe.
Lequel de ces deux coureurs a été classé avant l'autre ?
Est-il vrai que la vitesse moyenne de Tadej Pogacar sur l'ensemble du parcours est supérieure à \(50\) km/h ? Justifier.
Voir le corrigé de l'exercice 4
Par lecture graphique, en 20 minutes, Tadej POGACAR a parcouru environ 17 km.
Tadej POGACAR a effectué les \(27{,}2\) km du parcours en environ 32 minutes.
Pour représenter la fonction \(f\), on détermine deux points.
\(x\) \(0\) \(20\) \(f(x)\) \(0\) \(28\) Point \((0\,;\,0)\) \((20\,;\,28)\) La représentation graphique de \(f\) est la droite \(\mathcal{D}_f\). C'est une fonction linéaire : sa droite passe par l'origine du repère.
Pour les 27,2 km, Coquard met \(f(27{,}2)=1{,}4\times27{,}2\approx38{,}1\) min, contre environ 32 min pour Pogacar. Pogacar a été plus rapide : il est classé avant Coquard.
Pogacar a parcouru 27,2 km en environ 32 min : en 60 min, il aurait parcouru \(27{,}2\times\dfrac{60}{32}=51\) km. Sa vitesse moyenne est d'environ 51 km/h : c'est vrai, elle est supérieure à 50 km/h.
Rappel de méthode : vitesse moyenne = distance ÷ durée ; pour l'avoir en km/h, la durée doit être en heures (32 min = \(\dfrac{32}{60}\) h).
Exercice 5 (22 pts)
La tour de la Vade est un monument de Carcassonne.
Représentation schématique de la tour de la Vade (sans le toit).
Afin de déterminer la hauteur de cette tour, Romane et Maël se sont positionnés comme indiqué sur la figure ci-dessous, et ont effectué plusieurs mesures.
L'oeil de Maël est au point M ; le segment [FG] représente Romane.
La figure n'est pas à l'échelle.
Les points M, F et A ainsi que les points M, G et B sont alignés.
Romane et Maël ont mesuré : MG \(= 3\) m
FG \(= 1{,}4\) m
GB \(= 51\) m
Montrer que les droites (FG) et (AB) sont parallèles.
Vérifier que la hauteur AB de la tour est de \(25{,}2\) m.
La tour de la Vade a une base circulaire de diamètre proche de \(14\) m.
Montrer que son volume est d'environ 3880 m\(^3\).
Romane a acheté une maquette de cette tour à l'échelle \(\dfrac{1}{20}\).
Quel est le volume de cette maquette, réduction de la tour de la Vade ?
La tour doit être entretenue ; il faut passer un traitement contre la moisissure sur toute sa surface. Le coût du traitement est de \(39\) € par m\(^2\).
Combien va coûter le traitement de la tour ?
On rappelle que :
Aire latérale d'un cylindre \(= 2 \times \pi \times \text{rayon} \times \text{hauteur}\) Volume d'un cylindre \(= \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\)
Voir le corrigé de l'exercice 5
Afin de déterminer la hauteur de cette tour, Romane et Maël se sont positionnés comme indiqué sur la figure ci-dessous, et ont effectué plusieurs mesures.
L'œ il de Maël est au point M ; le segment [FG] représente Romane.
La figure n'est pas à l'échelle.
Les points M, F et A ainsi que les points M, G et B sont alignés.
Romane et Maël ont mesuré : MG \(= 3\) m, FG \(= 1{,}4\) m et GB \(= 51\) m.
Les droites (FG) et (AB) sont toutes deux perpendiculaires à une même droite (MC), donc elles sont parallèles.
\(\text{MB} = \text{MG} + \text{GB} = 3+51=54\)
Les points M, G, B et M, F, A sont alignés et (FG) // (AB) : d'après le théorème de Thalès,
\(\dfrac{\text{MG}}{\text{MB}} = \dfrac{\text{FG}}{\text{AB}}\) donc \(\dfrac{3}{54} = \dfrac{1{,}4}{\text{AB}}\) et donc \(\text{AB} = \dfrac{54\times 1{,}4}{3}= 25{,}2\)
La hauteur AB de la tour est donc de \(25{,}2\) m.
La tour de la Vade a une base circulaire de diamètre proche de \(14\) m donc son rayon est d'environ \(R= 7\) m.
Volume d'un cylindre \(= \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\) donc \(V=\pi\times R^2\times \text{AB} = \pi\times 7^2\times 25{,}2 \approx 3879{,}24\)
Donc son volume est d'environ 3880 m\(^3\).
Romane a acheté une maquette de cette tour à l'échelle \(\dfrac{1}{20}\).
Chaque longueur est divisée par 20, donc le volume est divisé par \(20\times 20\times 20=8000\).
\(\dfrac{3880}{8000}=0{,}485\)
Le volume de cette maquette, réduction de la tour de la Vade, est donc de \(0{,}485\) m\(^3\)., soit 485 L.
Attention, piège : dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k³ : ici \(\left(\dfrac{1}{20}\right)^3=\dfrac{1}{8\,000}\), et non par \(\dfrac{1}{20}\).Aire latérale : \(2\times\pi\times7\times25{,}2\approx1\,108{,}4\) m². Coût : \(39\times1\,108{,}4\approx43\,226\) €.
Le traitement de la tour (sans le toit) va coûter environ 43 226 €.
Remarque : si l'on traite aussi le disque supérieur (\(\pi\times7^2\approx153{,}9\) m²), l'aire totale est d'environ 1 262,3 m², soit un coût d'environ \(39\times1\,262{,}3\approx49\,230\) €.
La surface latérale est un rectangle de longueur \(2\pi R = 2\times \pi \times 7 \approx 44\) et de largeur \(25{,}2\); son aire est de \(44\times 25{,}2\) soit environ 1109 m\(^2\).
\(39\times 1109= 43\,251\) donc le traitement de la tour va coûter 43 251 €.
Remarque du correcteur
Le sujet ne précise pas si la tour est fermée en haut; si c'est le cas, il faut prendre en compte le disque supérieur.
Aire du toit
Le toit est un disque de rayon \(R=7\) m donc son aire vaut \(\pi R^2\) soit environ 154 m\(^2\).
Surface latérale
La surface latérale est un rectangle de longueur \(2\pi R = 2\times \pi \times 7 \approx 44\) et de largeur \(25{,}2\); son aire est de \(44\times 25{,}2\) soit environ 1109 m\(^2\).
Aire totale
\(154+1109=1263\) donc l'aire totale à traiter est de 1263 m\(^2\).
\(39\times 1263= 49\,257\) donc le traitement de la tour va coûter 49 257 €.
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Au programme du sujet 2022 Métropole (secours)
Épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet, série générale, session 30 juin 2022, durée 2 heures, 100 points. Chaque exercice est corrigé en détail, avec la méthode et la rédaction attendue.
- Exercice 1 : probabilités, pythagore et trigonométrie, fractions, puissances, calcul numérique, calcul littéral et équations
- Exercice 2 : statistiques, proportionnalité et pourcentages
- Exercice 3 : fonctions, scratch et algorithmique
- Exercice 4 : fonctions, proportionnalité et pourcentages
- Exercice 5 : thalès et triangles semblables, aires, volumes et grandeurs