Annales du brevet de maths › 2024
2024Brevet de maths Métropole, Antilles-Guyane (septembre)
Épreuve de mathématiques, série générale, 19 septembre 2024
Mis à jour le 11 novembre 2026
Exercice 1 (20 pts)
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.
Toutes les réponses devront être justifiées.
Affirmation 1
La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre \(260\) est \(4 \times 5 \times 13\).
Affirmation 2
Une urne opaque contient des boules indiscernables au toucher: 3 boules blanches, 4 boules jaunes et 8 boules rouges.
On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note sa couleur.
Une autre urne opaque contient des boules indiscernables au toucher : 1 boule marquée de la lettre A, 1 boule marquée de la lettre B et 3 boules marquées de la lettre C.
On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note la lettre obtenue.
La probabilité d'obtenir une boule de couleur rouge est supérieure à la probabilité d'obtenir une boule marquée de la lettre C.
Affirmation 3
La solution de l'équation \(7x + 5 = 2x - 2\) est \(-1{,}4\).
Affirmation 4
On empile 10 pièces cylindriques de \(1{,}9\) cm de diamètre et de \(0{,}2\) cm de hauteur. Le volume du cylindre, arrondi à l'unité, formé par les \(10\) pièces est de \(6\) cm\(^3\).
Rappel : le volume d'un cylindre de rayon \(R\) et de hauteur \(h\) est égal à \(\pi \times R^2 \times h\).
Affirmation 5
Un éléphant qui court à une vitesse de 5 m/s est plus rapide qu'un cochon qui se déplace à une vitesse de 17 km/h.
Voir le corrigé de l'exercice 1
Affirmation 1
La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre \(260\) est \(4 \times 5 \times 13\).
Le nombre 4 n'est pas un nombre premier donc \(4 \times 5 \times 13\) n'est pas une décomposition en produit de facteurs premiers. Affirmation 1 fausse Affirmation 2
Une urne opaque contient des boules indiscernables au toucher: 3 boules blanches, 4 boules jaunes et 8 boules rouges. On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note sa couleur.
Une autre urne opaque contient des boules indiscernables au toucher : 1 boule marquée de la lettre A, 1 boule marquée de la lettre B et 3 boules marquées de la lettre C. On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note la lettre obtenue.
La probabilité d'obtenir une boule de couleur rouge est supérieure à la probabilité d'obtenir une boule marquée de la lettre C.
La première urne contient \(3+4+8=15\) boules dont 8 rouges.
La probabilité d'obtenir une boule de couleur rouge est donc \(\frac{8}{15}\).
La seconde urne contient \(1+1+3=5\) boules dont 3 marquées C.
La probabilité d'obtenir une boule marquée de la lettre C est donc \(\frac{3}{5}\).
Affirmation 3
La solution de l'équation \(7x + 5 = 2x - 2\) est \(-1{,}4\).
\(7x + 5 = 2x - 2\) équivaut à \(7x-2x = -2-5\) équivaut à \(5x=-7\) équivaut à \(x=-\frac{7}{5}\) équivaut à \(x=-1{,}4\) Affirmation 3 vraie Affirmation 4
On empile 10 pièces cylindriques de \(1{,}9\) cm de diamètre et de \(0{,}2\) cm de hauteur. Le volume du cylindre, arrondi à l'unité, formé par les \(10\) pièces est de \(6\) cm\(^3\).
Une pièce cylindrique a un diamètre de \(1{,}9\) cm, donc un rayon \(R=0{,}95\). Sa hauteur est de \(h=0{,}2\). Le volume d'une pièce est \(\pi \times R^2 \times h\) soit environ \(3{,}14 \times 0{,}95^2 \times 0{,}2\) et donc \(0{,}567\) Le volume des 10 pièces est environ \(0{,}567\times 10=5{,}67\) soit 6 cm\(^3\) en arrondissant à l'unité. Affirmation 4 vraie Affirmation 5
Un éléphant qui court à une vitesse de 5 m/s est plus rapide qu'un cochon qui se déplace à une vitesse de 17 km/h.
Dans une heure, il y a 3600 secondes, et dans un kilomètre, il y a \(1000\) mètres. Une vitesse de 5 m/s correspond donc en m/h à \(5\times 3600=18\,000\), soit en km/h: \(\frac{18\,000}{1000}=18\). Donc l'éléphant court à une vitesse de 18 km/h et le cochon se déplace à une vitesse de 17 km/h; donc l'éléphant est plus rapide que le cochon. Affirmation 5 vraie
Exercice 2 (20 pts)
Un agriculteur possède un champ de blé ayant la forme d'un triangle ABC rectangle en B représenté ci-contre.
On donne AB \(= 200\) m et BC \(= 150\) m.
Pour moissonner son champ, il utilise une moissonneuse batteuse qui, à chaque passage, coupe des bandes de 12 mètres de large parallèles à la droite (AB). On a donc BE \(=~12\) m.
Il commence à passer le long du côté [AB]. Le segment en pointillés [DE] représente la limite du premier passage de la moissonneuse batteuse.
Après avoir fait 5 passages, il a moissonné le quadrilatère ABGF.
Montrer que BG \(= 60\) m.
En déduire que CG \(= 90\) m.
Démontrer que la longueur GF est de \(120\) m.
Démontrer que l'aire du triangle rectangle CGF est de 5400 m\(^2\).
Le quadrilatère ABGF a une surface de 9600 m\(^2\) qui a été moissonnée en 80 minutes.
On admet que le temps de travail de la moissonneuse batteuse est proportionnel à la surface moissonnée.
Calculer le temps de travail qu'il faut pour moissonner la partie restante CGF de son champ.
L'année suivante, il décide de clôturer son champ ABC afin d'y mettre des animaux pour l'été. Quelle longueur de clôture doit-il acheter ?
Voir le corrigé de l'exercice 2
\(\text{BG}=5\text{BE}=5\times 12=60\) donc \(\text{BG}=60\) m.
\(\text{CG} = \text{BC} - \text{BG} = 150-60=90\) donc \(\text{CG}= 90\) m.
(AB) et (FG) sont parallèles;
B, G et C sont alignés dans cet ordre;
A, F et C sont alignés dans cet ordre.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès:
\(\dfrac{\text{GF}}{\text{BA}}=\dfrac{\text{CG}}{\text{CB}}\) soit \(\dfrac{\text{GF}}{200}=\dfrac{90}{150}\) donc \(\text{GF}=\dfrac{90}{150}\times 200=120\)
La longueur GF est donc de \(120\) m.
Rédaction attendue : citer les trois conditions (deux alignements dans le même ordre et les parallèles) avant d'écrire l'égalité des quotients de Thalès.
Le triangle CGF est rectangle en G donc son aire est: \(\dfrac{\text{GF}\times \text{CG}}{2} = \dfrac{120\times 90}{2}=5400\).
L'aire du triangle rectangle CGF est donc de 5400 m\(^2\).
Le quadrilatère ABGF a une surface de 9600 m\(^2\) qui a été moissonnée en 80 minutes, et on admet que le temps de travail de la moissonneuse batteuse est proportionnel à la surface moissonnée.
On établit un tableau de proportionnalité:
Surface (m\(^2\)) 9600 5400 Temps (min) 80 ? \(\dfrac{5400 \times 80}{9600}=45\) donc le temps de travail qu'il faut pour moissonner la partie restante CGF de son champ est de 45 minutes.
L'année suivante, il décide de clôturer son champ ABC.
La longueur de la clôture est \(\text{AB} + \text{BC} + \text{AC}=200+150 + \text{AC} = 350+\text{AC}\).
Le triangle ABC est rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore, on a:
\(\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 200^2 + 150^2=62\,500\); donc \(\text{AC}=\displaystyle\sqrt{62\,500}=250\)
\(350+250=600\) donc il faut acheter 600 mètres de clôture.
Exercice 3 (20 pts)
Une entreprise décide de faire poser sur le toit de son hangar des panneaux solaires.
Pendant une semaine d'utilisation, les productions d'électricité journalières en kilowattheures (kWh) de ces panneaux ont été relevées dans le tableau ci-dessous :
| Jour de la semaine | Lundi | Mardi | Mercredi | Jeudi | Vendredi | Samedi | Dimanche |
| Production d'électricité en kWh | 381 | 363 | 322 | 329 | 393 | 405 | 376 |
Quel jour la production d'électricité a-t-elle été la plus grande ?
Calculer l'étendue de ces productions d'électricité.
Quelle est la production moyenne d'électricité par jour sur cette période ?
L'entreprise revend 15 % de sa production d'électricité au tarif de 8 centimes le kWh.
Combien a-t-elle gagné en euros pendant ces 7 jours ?
Afin que les panneaux solaires aient une production maximale, le toit doit avoir une pente avec l'horizontale comprise entre \(30^\circ\) et \(35^\circ\).
Schéma en coupe du hangar.
La pente du toit avec l'horizontale correspond à l'angle \(\widehat{\text{OLV}}\).
Sur ce toit, les panneaux solaires ont-ils une production maximale?
Voir le corrigé de l'exercice 3
La production d'électricité a été la plus grande le samedi avec 405 kWh.
La production d'électricité a été la plus petite le mercredi avec 322 kWh.
\(405-322= 83\) donc l'étendue de ces productions d'électricité est 83 kWh.
\(\dfrac{381 + 363 + 322 + 329 + 393 + 405 + 376}{7} = \dfrac{2569}{7} = 367\) donc la production moyenne d'électricité par jour sur cette période est de \(367\) kWh.
L'entreprise revend 15 % de sa production d'électricité au tarif de 8 centimes le kWh.
La production sur la semaine a été de \(2569\) kWh.
Les 15 % de cette production correspondent à \(2569\times \dfrac{15}{100}= 385{,}35\).
8 centimes = 0,08 €, donc \(385{,}35\times 0{,}08 = 30{,}828\) : elle a gagné environ 30,83 € pendant ces 7 jours.
Attention, piège : 8 centimes ne font pas 8 € : on convertit en euros (0,08 €) avant de multiplier.Afin que les panneaux solaires aient une production maximale, le toit doit avoir une pente avec l'horizontale comprise entre \(30^\circ\) et \(35^\circ\).
La pente du toit avec l'horizontale correspond à l'angle \(\widehat{\text{OLV}}\).
Dans le triangle OLV rectangle en V, on a: \(\sin \left (\widehat{\text{OLV}}\right ) = \dfrac{\text{OV}}{\text{OL}} = \dfrac{7}{13,5}\).
On en déduit que \(\widehat{\text{OLV}} \approx 31{,}2^\circ\).
\(31{,}2\) est compris entre 30 et 35 donc, sur ce toit, les panneaux solaires ont une production maximale.
Exercice 4 (20 pts)
On considère la fonction \(f\) définie par
\[f(x) = x^2 + 10x + 16.\]Vérifier par le calcul que l'image de 6 par la fonction \(f\) est \(112\).
On utilise un tableur afin de calculer les images des entiers compris entre \(-4\) et 4 par la fonction \(f\).
A B C D E F G H I J 1 \(x\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) 0 1 2 3 4 2 \(f(x)\) \(-8\) \(-5\) 0 7 16 27 40 55 72 Parmi les 4 formules ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule B2, puis étirée vers la droite afin de calculer les images des nombres donnés par la fonction \(f\).
=B1*B1+10*B1+16 =A1*A1+10*A1+16 \(=(-4)*(-4)+10*(-4)+16\) \(=x*x+10*x+16\)
En utilisant le tableau, déterminer un antécédent de \(0\).
Démontrer que \(f(x)\) peut s'écrire \((x + 2)(x + 8)\).
En déduire un autre antécédent de 0 par la fonction \(f\).
Voir le corrigé de l'exercice 4
\(f(6)=6^2+10\times 6 +16=36+60+16=112\), donc l'image de 6 par la fonction \(f\) est \(112\).
On utilise un tableur afin de calculer les images des entiers compris entre \(-4\) et 4 par la fonction \(f\).
A B C \(\color{blue} \text{D}\) E F G H I J 1 \(x\) \(-4\) \(-3\) \(\color{blue} -2\) \(-1\) 0 1 2 3 4 2 \(f(x)\) \(-8\) \(-5\) \(\color{blue} 0\) 7 16 27 40 55 72 Parmi les 4 formules ci-dessous,
=B1*B1+10*B1+16 =A1*A1+10*A1+16 \(=(-4)*(-4)+10*(-4)+16\) \(=x*x+10*x+16\)
celle qui a été saisie dans la cellule B2, puis étirée vers la droite afin de calculer les images des nombres donnés par la fonction \(f\)est: =B1*B1+10*B1+16
D'après la colonne D du tableau, on peut dire que \(-2\) est un antécédent de \(0\) par la fonction \(f\).
\((x + 2)(x + 8) = x^2 + 2x + 8x + 16 = x^2+10x+16=f(x)\)
Pour déterminer les antécédents de 0 par la fonction \(f\), on résout l'équation \(f(x)=0\).
\(\begin{aligned} f(x)=0 & \text{ si et seulement si } (x+2)(x+8)=0 \\ & \text{ si et seulement si } x+2=0 \text{ ou } x+8=0 \\ & \text{ si et seulement si } x=-2 \text{ ou } x=-8 \end{aligned}\)
Le nombre \(-8\) est donc un autre antécédent de 0 par la fonction \(f\).
Exercice 5 (20 pts)
La quadrilatère ABCD ci-dessous est constitué de deux triangles équilatéraux de côté 5 cm.
Reproduire le quadrilatère ABCD en vraie grandeur.
Quelle est sa nature?
Démontrer que l'angle \(\widehat{\text{BCD}}\) mesure \(120^\circ\).
Le programme ci-dessous permet de créer le bloc Motif qui trace le quadrilatère ABCD.
Recopier et compléter les lignes 5 et 6 de ce programme.
On utilise l'échelle suivante : 10 pas dans le programme représentent 1 cm dans la réalité.
Recopier et compléter les trois phrases suivantes afin d'associer chaque figure au programme qui permet de la tracer.
Le programme A permet de tracer la figure ….
Le programme B permet de tracer la figure ….
Le programme C permet de tracer la figure ….
Voir le corrigé de l'exercice 5
On reproduit le quadrilatère ABCD en vraie grandeur.
Le triangle ABC est équilatéral donc AB = BC = CA.
Le triangle ACD est équilatéral donc AC = CD = DA.
On déduit que AB = BC = CD = DA et donc que le quadrilatère ABCD est un losange.
Le triangle ABC est équilatéral donc \(\widehat{\text{BCA}}=60\).
Le triangle ACD est équilatéral donc \(\widehat{\text{ACD}}=60\).
Or \(\widehat{\text{BCD}} = \widehat{\text{BCA}} + \widehat{\text{ACD}}\), donc on en déduit que l'angle \(\widehat{\text{BCD}}\) mesure \(120^\circ\).
On complète les lignes 5 et 6 du programme ci-dessous pour qu'il permette de créer le bloc Motif qui trace le quadrilatère ABCD.
On complète les trois phrases suivantes afin d'associer chaque figure au programme qui permet de la tracer.
Le programme A permet de tracer la figure 2.
Le programme B permet de tracer la figure 3.
Le programme C permet de tracer la figure 1.
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Épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet, série générale, session 19 septembre 2024, durée 2 heures, 100 points. Chaque exercice est corrigé en détail, avec la méthode et la rédaction attendue.
- Exercice 1 : arithmétique, probabilités, calcul littéral et équations
- Exercice 2 : thalès et triangles semblables, pythagore et trigonométrie, proportionnalité et pourcentages
- Exercice 3 : statistiques, proportionnalité et pourcentages, pythagore et trigonométrie
- Exercice 4 : fonctions, calcul littéral et équations
- Exercice 5 : aires, volumes et grandeurs, scratch et algorithmique