2024Brevet de maths Amérique du Nord

1. Voici les prix en euros rangés dans l'ordre croissant

   \[7~;~10~;~12~;~13~;~15\]

   Affirmation A : La moyenne des prix est \(11{,}40\) €. Vrai :

   \(\dfrac{7 + 10 + 12 + 13 + 15}{5} = \dfrac{57}{5} = \dfrac{114}{10} = 11{,}4\).

   Affirmation B : La médiane des prix est \(10\) €. Faux : la médiane est 12.

   Attention, piège : on range les prix dans l'ordre croissant avant de prendre la valeur du milieu : la 3^e valeur sur 5 est 12.

2. Lors d'un entraînement, une élève court 20 m en 6 secondes.

   Affirmation C :

   20 m en 6 secondes soit 200 m en 60 s ou 1 min donc \(60 \times 200 = 12\,000\) m en 60 min ou 1h donc finalement 12 km/h. Faux.

3. Une urne contient \(15\) boules indiscernables numérotées de 1 à 15.

   Affirmation D : La probabilité de tirer au hasard une boule sur laquelle apparaît un nombre premier est \(\dfrac{7}{15}\).

   Les nombres premiers sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 : il y en a donc 6 parmi les 15, soit une probabilité de \(\dfrac{6}{15} = \dfrac25\) : Faux.

4. Le triangle A\('\)B\('\)C\('\) est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport \((- 3)\).

   Affirmation E : L'aire du triangle A\('\) B\('\) C\('\) est égale à 3 fois l'aire du triangle ABC.

   L'aire fait intervenir le produit de deux longueurs : chacune d'elles étant 3 fois plus grande, l'aire est \(3 \times 3 = 9\) fois plus grande : Faux.

   Attention, piège : avec un rapport \(-3\), les longueurs sont multipliées par 3 (le signe indique seulement que l'image est de l'autre côté du centre) et les aires par \(3^2=9\).

Voici un programme de calcul :

1. On a à gauche \(2 \to 4 \to 16\) et à droite \(2 \to 10 \to 7\) et le produit final \(16 \times 7 = 112\).

2. À gauche \(- 3 \to - 1 \to - 4\) et à droite \(-3 \to - 15 \to - 18\) et le produit final : \(- 4 \times (- 18) = 72\).

3. On choisit \(x\) comme nombre de départ.

   À gauche \(x \to x + 2 \to 4(x + 2)\), à droite \(x \to 5x \to 5x - 3\), donc le produit final est :

   \(4(x + 2)\times (5x - 3) = (4x + 8)(5x - 3)\), soit l'expression \(C\) ou l'expression D.

4. Trouver les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée. Expliquer la démarche.

   Il faut résoudre l'équation :

   \((4x + 8)(5x - 3) = 0\), soit \(\left\{\begin{array}{l c l} 4x + 8&=&0\\ &\text{ou}&\\5x - 3&=&0 \end{array}\right.\) ou encore \(\left\{\begin{array}{l c l} 4x &=&- 8\\ &\text{ou}&\\ 5x &=&3 \end{array}\right.\) et enfin \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&- 2\\ &\text{ou}&\\ x &=&\dfrac35 \end{array}\right.\)

   On obtient 0 à l'arrivée en partant de \(- 2\) ou de \(\dfrac35 = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\).

5. On a \(B = (4 x+ 2)(5x - 3) = 20x^2 - 12x + 10x - 6 = 20x^2 - 2x - 6\).

1. On a \(3 \times 11 = 33\) €.

2. On a \(50 + 8 \times 5 = 50 + 40 = 90\) €.

3. \[f: x \longmapsto 50 + 5x \quad g: x \longmapsto 240 \quad h: x \longmapsto 11 x\]

   \(f\) correspond au tarif « Essentiel » ;

   \(g\) correspond au tarif « Liberté » ;

   \(h\) correspond au tarif « Classique ».

   

   La droite (\(d_{1}\)) représente la fonction correspondant au tarif « Classique ».

   La droite (\(d_{2}\)) représente la fonction correspondant au tarif « Essentiel ».

   La droite \((d_{3})\) représente la fonction correspondant au tarif « Liberté ».

4. C'est le tarif « Classique » qui propose un prix proportionnel au nombre d'entrées (la fonction \(h\) est linéaire).

5. Pour les questions suivantes, aucune justification n'est attendue.

   1. La droite horizontale d'équation \(y = 150\) coupe la droite \((d_2)\) au point d'abscisse 20. On peut acheter 20 places au maximum au tarif « Essentiel ».

   2. La droite horizontale d'équation \(y = 240\) coupe la droite \((d_2)\) au point d'abscisse 38. À partir de 39 places le tarif « Liberté » est le moins onéreux.

   3. La dernière droite coupée par la droite d'équation \(y = 200\) est la droite \((d_2)\).

      Pour 200 € c'est le tarif « Essentiel » qui donne le plus grand nombre de places.

1. EFGH est un rectangle, donc HG = EF = 6, puis FJ = EI - EF \(= 10 - 6 = 4\) (m).

2. \(\bullet~\)EFGH est un rectangle, donc GF = HE = 3 et FJ = 4.

   Le triangle GFJ est rectangle en F ; le théorème de Pythagore s'écrit :

   GJ\(^2 = \text{GF}^2 + \text{FJ}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\), d'où GJ = 5 (m).

   \(\bullet~\)On a donc EF + FJ + JG + GH + HE = 6 + 4 + 5 + 6 + 3 = 24 (m).

   Il faut acheter 24 m de planches.

3. M. et M^me Martin souhaitent réaliser \(4 \mathrm{~m}^{3}\) de béton.

   1. La base du prisme a une aire :

      \(\mathcal{A}(\text{EFJGH}) = \mathcal{A}(\text{EFGH}) + \mathcal{A}(\text{FJG}) = 3 \times 6 + \dfrac{3 \times 4}{2} = 18 + 6 = 24\) (m\(^2\)).

      Le volume de la terrasse est égal à : \(\mathcal{V} = 24 \times 0{,}15 = 3{,}6\) (m\(^3\)) soit moins de 4.

   2. Il faut 250 kg de ciment par m³ de béton. Pour faire 4 m\(^{3}\) de béton il faudra donc acheter \(4 \times 250 = 1000\) (kg) de ciment.

   3. Pour faire du béton, on ajoute de l'eau à un mélange de ciment, de gravier et de sable.

   Dans ce mélange, les masses de ciment - gravier - sable sont dans le ratio \(2~:~ 7~:~5\).

   Le ratio \(2:7:5\) signifie que pour 2 parts de ciment, il y a 7 parts de gravier et 5 parts de sable. Avec 1 000 kg de ciment, une part vaut \(1\,000\div 2=500\) kg, d'où pour faire \(4 \mathrm{~m}^{3}\) de béton:

   – quantité de gravier nécessaire \(1000 \times 3{,}5 = 3500\) (kg) ;

   – quantité de sable nécessaire \(1000 \times 2{,}5 = 2500\) (kg).

4. M. et M^me Martin souhaitent peindre la surface supérieure de leur terrasse.

   On a vu que l'aire de la terrasse est égale à 24 m\(^2\). Passer deux couches revient à peindre 48 m\(^2\).

   Il faut donc \(\dfrac{48}{5} = \dfrac{96}{10} = 9{,}6\) l de peinture.

   \(\bullet~\) on peut acheter deux pots A de 5 l pour un coût de \(79{,}90 + \dfrac{79,90}{2} = 79{,}90 + 39{,}95 = 119{,}85\) €. (le 2^e pot est à 50 % de réduction)

   \(\bullet~\) ou acheter un pot B de 10 l à 129,90 €.

   C'est la première solution qui a un coût minimal.

Le dessin n'est pas à l'échelle

1. D'après la figure :

   \(\bullet~\)Les angles \(\widehat{\text{A}}\) et \(\widehat{\text{B}}\) ont la même mesure soit \(60~^\circ\) ;

   \(\bullet~\) \(\widehat{\text{C}}\) a pour mesure le complément à 180 des mesures des deux autres angles soit

   \(180 - (60 + 60) = 180 - 120 = 60(^\circ)\)

   Rem : on peut aussi remarquer que le triangle CDE ayant ses trois côtés de même longueur est équilatéral donc que la mesure de l'angle \(\widehat{\text{DCE}}\) est égale à \(60^\circ\) et celui de l'angle opposé par le sommet \(\widehat{\text{ACB}}\) aussi.

   Le triangle ABC a ses trois angles de même mesure : il est équilatéral.

2. D'après l'énoncé (figure) : CD = DE = EC donc le triangle CDE est équilatéral donc en particulier \(\widehat{\text{CED}} = 60^\circ\).

   Les angles \(\widehat{\text{CAB}}\) et \(\widehat{\text{CED}}\) ont la même mesure et sont donc alternes-internes : les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

   Rem : On peut utiliser les longueurs données dans l'énoncé :

   CDE est équilatéral donc CD = DE = EC = 80 (mm) ;

   ABC équilatéral donc AB = BC = CA = 240 (mm).

   On a donc \(\dfrac{\text{CE}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB}} = \dfrac{80}{240} = \dfrac13\).

   D'après la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

Programme	Le bloc Triangle

1. Le point de départ a pour coordonnées (D8), soit \((-180~;~-150)\)

2. À l'instruction 7 on est revenu au point de départ et on avance de 240 pas pour aller dessiner le petit triangle, donc on écrit 240 à la ligne 4.

3. Après l'exécution de la ligne 7, le lutin se trouve au point de coordonnées (G3)

   

4. La variable « côté » vaut d'abord 240 pas pour le grand triangle ABC. Le petit triangle CDE a des côtés 3 fois plus courts : \(240\div 3=80\) pas, soit CE = 80 mm. L'instruction « côté / 3 » permet donc de tracer le petit triangle avec le même bloc.