Annales du brevet de maths › 2023
2023Brevet de maths Amérique du Nord
Épreuve de mathématiques, série générale, mai 2023
Mis à jour le 11 novembre 2026
Exercice 1 (20 pts)
Les cinq situations suivantes sont indépendantes.
Situation 1
Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre \(780\).
Aucune justification n'est attendue.
Situation 2
On rappelle qu'un jeu de 32 cartes est composé de quatre familles (trèfle, carreau, cœur, pique).
Chaque famille est composée de huit cartes: 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as.
L'expérience aléatoire consiste à tirer une carte au hasard dans ce jeu de 32 cartes.
a. Quelle est la probabilité d'obtenir le 8 de pique ?
Aucune justification n'est attendue.
b. Quelle est la probabilité d'obtenir un roi ou un cœur ?
Aucune justification n'est attendue.
Situation 3
Développer et réduire l'expression \(A = (2x + 5)(3x - 4)\).
Situation 4
a. Quel est le volume, en cm\(^3\), de ce prisme droit ?
b. Convertir ce résultat en litre.
Rappel: 1 L = 1 dm\(^3\).
Situation 5
Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1.
Le coefficient de cet agrandissement est 3.
L'aire du polygone 1 est égale à 11 cm\(^2\).
Quelle est l'aire du polygone 2 ?
Voir le corrigé de l'exercice 1
Situation 1
\(780 = 2 \times 390 = 2\times2\times195 = 2^{2}\times 5 \times 39= 2^{2}\times5\times3\times13=2^{2}\times3\times5\times13\).
Situation 2
On tire une carte au hasard, on est donc dans une situation d'équiprobabilité.
\(\displaystyle P(«8 ~~ \text{de pique}») = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{1}{32}\)
Il y a 4 rois et 8 cœurs dans ce jeu, donc au total 11 issues favorables car on ne compte pas deux fois le roi de cœur.
\(\displaystyle P(« \text{roi ou c\oeur}») = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{11}{32}\).
Situation 3
\(A = (2x + 5)(3x - 4)= 6x^{2}- 8x + 15x - 20 = 6x^{2} +7x - 20\).
Situation 4
Le solide est un prisme droit dont les bases sont des triangles rectangles.
On calcule l'aire de chacun de ces triangles :
\(\displaystyle A_{base}=\dfrac{60\times80}{2}=2~400 ~~\text{cm}^{2}\)
On en déduit le volume du prisme droit :
\(\displaystyle V_{prisme}=2~400\times120 = 288~000 ~~\text{cm}^{3}\).
\(288~000 ~~\text{cm}^{3}=288 ~~\text{dm}^{3}=288 ~~\text{L}\)
Le volume est donc de \(288 ~~\text{L}.\)
Rappel de méthode : 1 dm³ = 1 000 cm³ et 1 dm³ = 1 L : on divise les cm³ par 1 000 pour obtenir des litres.
Situation 5
Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1.
Le coefficient d'agrandissement est \(3\) donc l'aire du polygone 1 est multipliée par \(3^{2}\) donc par \(9\). On a ainsi :
\(A_{\text{polygone~~2}}=9\times A_{\text{polygone~~1}}= 9\times 11= 99\).
L'aire du polygone 2 est donc \(99 ~~\text{cm}^{2}\).
Exercice 2 (22 pts)
On considère la figure ci-contre. On donne les mesures suivantes:
AN = 13 cm
LN = 5 cm
AL = 12 cm
ON = 3 cm
O appartient au segment [LN]
H appartient au segment [NA]
Montrer que le triangle LNA est rectangle en L.
Montrer que la longueur OH est égale à \(7{,}2\) cm.
Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{\text{LNA}}\). Donner une valeur approchée à l'unité près.
Pourquoi les triangles LNA et ONH sont-ils semblables ?
Quelle est l'aire du quadrilatère LOHA ?
Quelle proportion de l'aire du triangle LNA représente l'aire du quadrilatère LOHA ?
Voir le corrigé de l'exercice 2
\(AN^{2} = 13^{2} = 169\) .
\(LN^{2} + AL^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169\)
donc \(AN^{2} = LN^{2} + AL^{2}\).
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(LNA\) est bien rectangle en \(L\).
D'après la question précédente, \((AL) \perp (LN)\).
D'après le codage de l'énoncé, \((HO) \perp (LN)\).
Donc les droites \((AL)\) et \((HO)\) perpendiculaires à une même droite, sont parallèles. D'autre part
Les points \(N,H,A\) et \(N, O, L\) sont alignés.
Les droites \((AL)\) et \((HO)\) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès
\(\displaystyle \dfrac{NO}{NL}=\dfrac{NH}{NA}=\dfrac{OH}{AL}\) soit \(\dfrac{3}{5}= \dfrac{NH}{13}=\dfrac{OH}{12}\), d'où \(OH = \dfrac{12 \times 3}{5} = \dfrac{36}{5} = 7{,}2\) cm.
Attention, piège : avant d'écrire l'égalité de Thalès, il faut prouver que (AL) et (HO) sont parallèles : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.Dans le triangle \(LNA\) rectangle en \(L\), \(\displaystyle \cos({\widehat{LNA}})=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{LN}{AN}= \dfrac{5}{13}\).
La calculatrice donne avec la fonction inverse de la fonction cosinus : \(\widehat{LNA} \approx 67 ^\circ\).
L'angle \(\widehat{LNA}\) est un angle commun aux deux triangles.
\(\widehat{HON}=\widehat{ALN}=90 ~ \text{degrés}\).
Donc les triangles \(LNA\) et \(OHN\) ont deux paires d'angles de même mesures, donc ils sont semblables.
Rappel de méthode : deux triangles sont semblables dès qu'ils ont deux angles deux à deux de même mesure (le troisième l'est alors forcément).On calcule les différentes aires :
\(\displaystyle A_{LNA}=\dfrac{5\times12}{2}=30~(\text{cm}^{2})\).
\(\displaystyle A_{OHN}=\dfrac{3\times7,2}{2}=10{,}8~~(\text{cm}^{2})\).
\(\displaystyle A_{LOHA}=A_{LNA} - A_{OHN}=19{,}2~~(\text{cm}^{2})\).
\(\displaystyle \dfrac{A_{LOHA}}{A_{LNA}}=\dfrac{19{,}2}{30}=0{,}64=\dfrac{64}{100}\).
L'aire du quadrilatère LOHA représente donc \(\dfrac{64}{100}\), soit 64 % de l'aire du triangle LNA.
Exercice 3 (20 pts)
Les deux parties sont indépendantes
Partie A : évolution du nombre de visiteurs sur un site touristique
Le diagramme ci-dessous représente le nombre de visiteurs par an de 2010 à 2021 sur ce site.
Quel a été le nombre de visiteurs en 2010 ? Aucune justification n'est attendue.
En quelle année le nombre de visiteurs a-t-il été le plus élevé ? Aucune justification n'est attendue.
Le tableau ci-dessous indique le nombre de visiteurs sur le site touristique de cette ville en 2020 et en 2021 :
Année 2020 2021 Nombre de visiteurs 187 216 219 042 Le maire de cette ville avait pour objectif que le nombre de visiteurs progresse d'au moins 15 % entre 2020 et 2021.
L'objectif a-t-il été atteint ?
Partie B : étude des prix des hôtels de cette ville
Sur une période donnée, on relève les prix facturés pour une nuit par les hôtels de cette ville.
| Prix facturés pour une nuit (en euro) | 60 | 80 | 85 | 90 | 110 | 120 | 350 | 500 |
| Effectif | 1200 | 1350 | 1000 | 1100 | 1200 | 1300 | 900 | 300 |
Déterminer l'étendue des prix facturés.
Quelle est la moyenne des prix facturés pour une nuit ? Arrondir à l'euro près.
L'association des hôteliers de cette ville cherche à attirer des touristes et annonce : « Dans les hôtels de notre ville, au moins la moitié des nuits est facturée à moins de \(100\) € ». Est-ce vrai ?
Voir le corrigé de l'exercice 3
PARTIE A
Le nombre de visiteurs en 2010 est \(300~000\).
Le nombre de visiteurs a été le plus élevé en \(2019\).
Une augmentation de \(15\%\) revient à un nombre de visiteurs égal à :
\(\displaystyle V_{\text{finale}}=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times V_{\text{initiale}}= 1{,}15 \times 187\,216 = 215\,298{,}4\).
Or cette valeur est inférieure à la valeur 219 042 atteinte en \(2021\).
Donc l'objectif du maire a bien été atteint.
Autre méthode : \(\dfrac{219\,042-187\,216}{187\,216}=\dfrac{31\,826}{187\,216}\approx 0{,}17\), soit une hausse d'environ 17 %, supérieure à 15 %.
Rappel de méthode : augmenter de t % revient à multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\) (ici par 1,15).
PARTIE B
L'étendue de cette série vaut : \(Max. - Min. = 500 - 60 = 440\). Soit \(440\) euros.
On calcule la moyenne de la série :
\(\displaystyle \dfrac{60\times 1200 + 80 \times 1350 + 85\times 1000 + 90\times 1100 + 110\times 1200 + 120\times 1300 + 350 \times 900 + 500 \times 300}{8350}\)
\(\approx 134\).La moyenne des prix facturés pour une nuit est donc de \(134\) euros.
Attention, piège : c'est une moyenne pondérée : on multiplie chaque prix par son effectif et on divise par l'effectif total 8 350, pas par 8.Il y a \(8350\) nuits au total.
Or, \(\displaystyle \dfrac{8350}{2}= 4175\). On calcule les effectifs cumulés, jusqu'à la valeur \(90\) euros incluse (dernière valeur inférieure à \(100\)) : \(1200 + 1350 + 1000 + 1100 = 4650\).
\(4~650 > 4~175\) donc l'affirmation de l'association est vraie.
OU
On cherche la médiane de la série. Il y a \(8~350\) nuits au total.
Or, \(\displaystyle \dfrac{8~350}{2}=4~175\). L'effectif est pair : la médiane est la moyenne de la 4 175e et de la 4 176e valeur. Les effectifs cumulés sont 3 550 jusqu'à 85 € et 4 650 jusqu'à 90 € : ces deux valeurs valent donc 90 € et la médiane est 90 €. Donc la moitié des valeurs de la série sont inférieures ou égales à \(90\), donc l'affirmation de l'association est vraie.
Exercice 4 (20 pts)
À l'aide d'un logiciel de programmation, on veut réaliser le motif « Fleur » suivant.
Le parallélogramme KLMN ci-dessous représente un des pétales du motif « Fleur ».
Construire ce parallélogramme sur la copie en prenant \(1\) cm pour 5 pas.
b. On définit le bloc « Pétale » ci-contre afin de dessiner ce parallélogramme.
On commence la construction du parallélogramme au point K en s'orientant vers la droite.
Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 4, 5, 6, et 7 du bloc « Pétale » ci-contre ?
Aucune justification n'est attendue, écrire sur la copie le numéro de la ligne du bloc « Pétale » et la valeur correspondante.
| Bloc « Pétale » |
 |
Le bloc ci-dessous permet de construire un motif « Fleur » en partant de son centre.
Bloc « Fleur » 
Motif « Fleur » 
Par quelle valeur doit-on compléter la ligne 2 du bloc « Fleur » ci-dessus ? Aucune justification n'est attendue.
Expliquer le choix de la valeur « 72 » dans la ligne 4.
On modifie le bloc « Fleur » pour construire le motif suivant:
Quelles sont alors les modifications à apporter aux lignes 2 et 4 du bloc « Fleur » ? Aucune justification n'est attendue.
Voir le corrigé de l'exercice 4
Programme de construction :
– avec la règle graduée, tracer le segment \([KL]\), de longueur \(7\) cm. (\(35 : 5 = 7\)).
– avec le rapporteur, tracer l'angle de sommet \(L\).
– avec la règle graduée, placer le point \(M\) à \(4\) cm du point \(L\).
– tracer la parallèle à \((KL)\), passant par \(M\).
– reporter la longueur \(KL\) et placer le point \(N\) sur cette parallèle.
– tracer \([NK]\).
ligne 4 : 35 ligne 5 : 60 ligne 6 : 20 ligne 7 : 120
Attention, piège : le lutin tourne de l'angle extérieur : en L, l'angle du parallélogramme mesure 120°, donc il tourne de 180 − 120 = 60° ; en M, l'angle mesure 60°, donc il tourne de 180 − 60 = 120°.
On complète la ligne 2 par la valeur \(5\).
Le motif comporte \(5\) pétales et on effectue une rotation de \(360\) degrés. Or \(360 : 5 = 72\). Donc après avoir tracé chaque pétale, on tourne de \(72\) degrés.
Il y a maintenant \(12\) pétales.
Or, \(360 : 12 = 30\). On modifie donc les lignes comme suit :
ligne 2 : répéter \(12\) fois ligne 4 : tourner de \(30\) degrés
Exercice 5 (18 pts)
Un hippodrome est un lieu où se déroulent des courses de chevaux.
On s'intéresse à la piste d'un hippodrome.
Cette piste est composée de :
deux lignes droites modélisées par des segments de \(850\) mètres;
deux virages modélisés par deux demi-cercles de rayon \(40\) mètres.
Montrer que la longueur d'un tour de piste est d'environ 1951 m.
Un cheval parcourt un tour de piste en 2 min 9 s.
Calculer la vitesse moyenne de ce cheval sur un tour de piste en mètre par seconde (m/s). Donner une valeur approchée à l'unité près.
Convertir cette vitesse en kilomètre par heure (km/h).
On admet que la surface de la piste a une aire d'environ 73 027 m\(^2\).
On souhaite semer du gazon sur la totalité de la surface de la piste.
On doit choisir des sacs de gazon à semer parmi les trois marques ci-dessous :
Surface couverte par sac Prix d'un sac Marque A 500 m\(^2\) 141,95 € Marque B 400 m\(^2\) 87,90 € Marque C 300 m\(^2\) 66,50 € Quelle marque doit-on choisir pour que cela coûte le moins cher possible ?
Voir le corrigé de l'exercice 5
Les deux demi cercles forment un cercle complet. On calcule le périmètre de ce cercle.
\(P_{\text{cercle}}=2\times\pi\times40\approx 251{,}3\) m.
On ajoute les longueurs des deux segments. Le périmètre total vaut donc :
\(850\times2+251{,}3 \approx 1\,951\) m.
\(2~\text{min}~9~\)s \(= 129\) s. La vitesse moyenne est donc :
\(\displaystyle v_{\text{moyenne}}=\dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}\approx\dfrac{1\,951}{129}\approx 15{,}1\) m/s, soit environ 15 m/s.
En 1 h = 3 600 s, le cheval parcourt \(15{,}1\times 3\,600\approx 54\,400\) m, soit environ 54 km. Sa vitesse est donc d'environ 54 km/h.
Rappel de méthode : pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 (car 1 h = 3 600 s et 1 km = 1 000 m).
On calcule le nombre de sacs nécessaires, puis le montant à payer pour chaque marque.
– Marque A :
\(73~027 : 500 \simeq 146{,}1\). On a donc besoin de \(147\) sacs.
Le coût est donc \(147 \times 141{,}95 = 20\,866{,}65\) euros.
– Marque B :
\(73\,027 : 400 \approx 182{,}6\). On a donc besoin de \(183\) sacs.
Le coût est donc \(183 \times 87{,}9 = 16\,085{,}70\) euros.
– Marque C :
\(73~027 : 300 \simeq 243{,}4\). On a donc besoin de \(244\) sacs.
Le coût est donc \(244 \times 66{,}5 = 16\,226\) euros.
Le moins cher est donc la marque B.
Attention, piège : on ne peut pas acheter un morceau de sac : on arrondit toujours le nombre de sacs à l'unité supérieure (147 et non 146).
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Épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet, série générale, session mai 2023, durée 2 heures, 100 points. Chaque exercice est corrigé en détail, avec la méthode et la rédaction attendue.
- Exercice 1 : arithmétique, probabilités, calcul littéral et équations, aires, volumes et grandeurs
- Exercice 2 : pythagore et trigonométrie, thalès et triangles semblables, aires, volumes et grandeurs
- Exercice 3 : statistiques, proportionnalité et pourcentages
- Exercice 4 : scratch et algorithmique, transformations
- Exercice 5 : aires, volumes et grandeurs, proportionnalité et pourcentages