2025Brevet de maths Amérique du Nord

Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore permet d'écrire :

AC\(^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2\), soit \(50^2 = \text{AB}^2 + 30^2\), d'où

\(\text{AB}^2 = 50^2 - 30^2 = (50 + 30)(50 - 30) = 80 \times 20 = 1600 = 40^2\).

Conclusion AB \(= 40\) (m).

Les droites (DE) et (BC) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à la droite (AB)

\(\bullet~\)Les points B, A et E sont alignés ;

\(\bullet~\)Les points C, A et D sont alignés ;

\(\bullet~\)Les droites (DE) et (BC) sont parallèles ;

On a donc une configuration de Thalès qui permet d'écrire :

\(\dfrac{\text{AB}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{DE}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AD}}\).

En particulier \(\dfrac{\text{BC}}{\text{DE}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AD}}\) soit \(\dfrac{30}{\text{DE}} = \dfrac{50}{70}\), d'où \(50\text{DE} = 30 \times 70\), soit DE \(= \dfrac{30 \times 70}{50} = 42\) (m).

Dans le triangle DME rectangle en E, [DE] est le côté opposé à l'angle \(\widehat{\text{DME}}\) et [EM] le côté adjacent :

\(\tan\left(\widehat{\text{DME}}\right)=\dfrac{\text{DE}}{\text{EM}}\), soit \(\tan(60^\circ)=\dfrac{42}{\text{EM}}\), donc \(\text{EM}=\dfrac{42}{\tan(60^\circ)}\approx 24{,}2\) m.

L'aire du triangle DME est donc égale à :

\(\mathcal{A}(\text{DME}) = \dfrac{\text{DE} \times \text{EM}}{2} = \dfrac{42 \times \frac{42}{\sqrt{3}}}{2} \approx 509{,}2~\left(\text{m}^2\right)\).

En reprenant les égalités de Thalès on a \(\dfrac{\text{AB}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{DE}}\), soit \(\dfrac{40}{\text{AE}} = \dfrac{\text{30}}{42}\),

d'où \(30 \text{AE} = 40 \times 42\) et AE \(= \dfrac{40 \times 42}{30} = 56\) (m).

L'aire du triangle ADE est donc égale à :

\(\mathcal{A}(\text{ADE}) = \dfrac{\text{AE} \times \text{DE}}{2} = \dfrac{42 \times 56}{2} = 21 \times 56 = 1176~\left(\text{m}^2\right)\).

Finalement \(\mathcal{A}(\text{DMA}) = \mathcal{A}(\text{ADE}) - \mathcal{A}(\text{DME}) \approx 1176 - 509{,}2\), soit \(\mathcal{A}(\text{DMA}) \approx 666{,}8~\left(\text{m}^2\right)\).

On obtient successivement :

\(4 \overset{\times 3}{\longmapsto} \quad12 \quad \overset{+ 15}{\longmapsto} \quad27 \quad \overset{\div 3}{\longmapsto} \quad 9 \quad \overset{- 4}{\longmapsto} \quad 5\)

\(-2 \overset{\times 3}{\longmapsto} \quad - 6 \quad \overset{+ 15}{\longmapsto} \quad 9 \quad \overset{\div 3}{\longmapsto} \quad 3 \quad \overset{- (- 2)}{\longmapsto} \quad 5\)

En effet \(a \overset{\times 3}{\longmapsto} \quad 3a \quad \overset{+ 15}{\longmapsto} \quad 3a + 15 = 3(a + 5) \quad \overset{\div 3}{\longmapsto} \quad a + 5\quad \overset{- a}{\longmapsto} \quad 5\).

Quel que soit le nombre de départ \(a\), le nombre trouvé à la fin est 5.

On calcule d'une part \(10 - 1 = 9\), de l'autre \(10 - 6 = 4\) ; le produit de ces deux nombres est égal à \(9 \times 4 = 36\) et enfin \(36 + 5 = 41\).

En partant de \(x\) le programme A donne le résultat 5 et avec le programme B, on obtient le nombre \((x - 1)(x - 6) + 5\). Les résultats sont identiques si :

\(5 = (x - 1)(x - 6) + 5\) autrement dit si \((x - 1)(x - 6) = 0\) cette équation produit a pour solution 1 et 6

1 et 6 sont bien les deux seuls nombres qui donnent comme résultat 5 par les deux programmes.

La représentation graphique de la distance parcourue en fonction du temps n'est pas un segment contenant l'origine : la distance parcourue par Malo n'est pas proportionnelle au temps de course.

On lit sur la courbe qu'au bout de 20 minutes, Malo a parcouru 4,5 km.

Combien de temps a-t-il mis pour faire les 9 premiers kilomètres ? Malo a parcouru le 9 premiers kilomètres en 50 minutes.

Malo a parcouru les 13,5 km en 80 minutes :

\(\bullet~~\)Sans compter son arrêt de 10 minutes, sa vitesse moyenne a été de \(v_1 = \dfrac{13,5}{\frac{70}{60}} = 13{,}5 \times \dfrac{60}{70} = \dfrac{81}{7} \approx 11{,}6\) (km/h) ;

\(\bullet~~\)Avec son arrêt de 10 minutes, sa vitesse moyenne a été de \(v_2 = \dfrac{13,5}{\frac{80}{60}} = 13{,}5 \times \dfrac{60}{80} = \dfrac{81}{8} \approx 10{,}1\) (km/h) ;

1. Louise courant plus vite qu'Hillal est arrivée la première !

2. Louise a parcouru les 13,5 km à la vitesse de 12 km/h en un temps \(t\) tel que

   \(t = \dfrac{13,5}{12}\).

   Au bout de ce temps Hillal a parcouru \(10 \times \dfrac{13,5}{12} = \dfrac{135}{12} = 11{,}25\) (km).

   Hillal est donc à ce moment à \(13{,}5 - 11{,}25 = 2{,}25\) (km) de l'arrivée donc de Louise.

Le script 1 permet d'obtenir le dessin 2 (triangle équilatéral) et le script 2 permet d'obtenir le dessin 1 (hexagone).

Il faut mettre dans l'ordre :

Les coordonnées du point de départ du lutin sont \((- 200~;~0)\).

\(\bullet~\)Si le nombre aléatoire est 3 le script dessine 6 losanges espacés de 60 pas soit la capture d'écran n° 2 ;

\(\bullet~\)Si le nombre aléatoire est 1 ou 2 le programme annonce Perdu, soit la capture d'écran n° 3.

Il y a 1 chance sur 3, d'avoir 3 comme nombre aléatoire : la probabilité que le message affiché soit « Voici le dessin! » est donc égale à \(\dfrac 13\) (environ \(33{,}3\ldots\, \%\)).

1. L'affichage « Voici le dessin! » est obtenu dans 40 tirages sur 100, donc avec une fréquence de \(\dfrac{40}{100} = 0{,}4\) ou 40 %.

2. La probabilité \(\dfrac13\) est une valeur théorique. La fréquence 0,4 est observée sur 100 essais seulement : elle fluctue d'une série d'essais à l'autre. Plus le nombre d'essais est grand, plus la fréquence se rapproche en général de la probabilité.