2025Brevet de maths Métropole, Antilles-Guyane (septembre)

1. Le nombre de berceuses présentes dans la liste est égale à la différence :

   \[22 - (9 + 6) = 22 - 15 = 7.\]

2. Le temps total pour écouter les 22 musiques est de 55 minutes soit une moyenne par chanson de :

   \[\dfrac{55}{22} = \dfrac{11 \times 5}{11 \times 2} = \dfrac52 = 2{,}5.\]

   Or 2,5 min = 2 min 30 s.

   En moyenne écouter une chanson dure deux minutes et demie.

3. 1. Il y a 6 comptines sur les 22 chansons ; la probabilité d'écouter une comptine est donc égale à :

      \[\dfrac{6}{22} = \dfrac{3}{11}.\]

   2. On a vu que 15 chansons sur 22 ne sont pas des berceuses. La probabilité de ne pas écouter une berceuse est donc égale à :

      \[\dfrac{15}{22}.\]

   3. De 1 à 22, il y a 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 qui sont des nombres premiers, soit 8 nombres premiers.

      La probabilité d'écouter une musique dont le numéro est premier est donc égale à

      \(\dfrac{8}{22} = \dfrac{4}{11}\).

      Comparer \(\dfrac{4}{11}\) et \(\dfrac13\), c'est comparer \(\dfrac{4}{11} = \dfrac{4 \times 3}{11\times 3} = \dfrac{12}{33}\) avec \(\dfrac13 = \dfrac{1 \times 11}{3 \times 11} = \dfrac{11}{33}\).

      Comme \(\dfrac{11}{33} < \dfrac{12}{33}, \qquad \dfrac13 < \dfrac{4}{11}\).

      La probabilité d'écouter une musique étiquetée par un nombre premier est donc supérieure à \(\dfrac13\).

      Attention, piège : 1 n'est pas un nombre premier (il n'a qu'un diviseur) ; 2 est le seul nombre premier pair.

1. \[4~;~8~;~11~;~7~;~2~;~3~;~14\]

   L'étendue est égale à \(14 - 2 = 12\) : réponse C.

2. 1 L = 1 dm\(^3\) : réponse C.

3. \(8{,}6 \times 10^{-4} = 0{,}00086\) : réponse B.

4. On a \(\dfrac{\text{Longueur}}{\text{largeur}} = \dfrac32 = \dfrac{90}{\text{largeur}}\), d'où (par produits en croix : \(3\text{largeur} = 2 \times 90\) et en simplifiant par 3 : \(\text{largeur} = 2 \times 30 = 60\) : réponse D.

5. La baisse est de \(75 - 60 = 15\) ( €) pour un prix initial de 75 €, soit une baisse en pourcent de :

   \(\dfrac{15}{75} \times 100 = \dfrac{15 \times 1}{15 \times 5} \times 100 = \dfrac{1}{5} \times 100 = 20\) (%) : réponse D.

6. \(4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2\): cette différence de deux carrés se factorise en

   \((2x + 5)(2x - 5) = (2x - 5)(2x + 5)\) : réponse B.

1. 1. De BE + EC = BC, soit \(3 + \text{EC} = 7{,}5\), on déduit que EC = CE \(= 7{,}5 - 3 = 4{,}5\) (cm).

   2. C, E et B d'une part, C, F et D sont alignés et les droites (EF) et (BD) sont parallèles : d'après le théorème de Thalès :

      \(\dfrac{\text{CE}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{BD}}\), soit \(\dfrac{4,5}{7,5} = \dfrac{\text{EF}}{6}\).

      On en déduit que EF \(= 6 \times \dfrac{4,5}{7,5} = 3{,}6\) (cm).

2. On a CF\(^2 = 2{,}7^2 = 7{,}29\) ;

   EF\(^2 = 3{,}6^2 = 12{,}96\) ;

   CE\(^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25\).

   Or \(7{,}29 + 12{,}96 = 20{,}25\) ou encore \(\text{CF}^2 + \text{EF}^2 = \text{CE}^2\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, cette égalité montre que EFC est un triangle rectangle en F.

3. 1. Dans le triangle ABC rectangle en B, on a \(\tan \widehat{\text{BCA}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{10}{7,5} \approx 1{,}333\).

      La calculatrice donne \(\widehat{\text{BCA}} \approx 53{,}12\) (degrés), soit environ \(53^\circ\) au degré près.

   2. Les triangles ABC et EFC ont deux angles de même mesure : un angle droit (en B pour ABC, en F pour CEF) et l'angle \(\widehat{\text{C}}\) en commun : leurs troisièmes angles ont donc même mesure et ces deux triangles sont semblables.

1. \(26 \longmapsto 26 + 4 = 30 \longmapsto 30 \times 0{,}5 = 15\) : on obtient un temps de filtration de 15 h.

2. De même : \(x \longmapsto x + 4 \longmapsto 0{,}5 \times (x + 4) = 0{,}5x + 2\).

3. \(f(x) = 0{,}5x + 2\) où \(x\) désigne la température de l'eau (en \(^\circ C\)) et \(f(x)\) le temps de filtration (en h).

   

   1. On lit sur le graphique :

      \(f(6) = 5\) et \(f(12) = 8\) : pour une température doublée le temps de filtration ne l'est pas : le temps de filtration n'est pas proportionnel à la température de l'eau de la piscine.

      On peut aussi remarquer que la droite représentative de la fonction \(f\) ne contient pas l'origine.

   2. \(\bullet~\)Sur le graphique on lit \(f(10) = 7\) ;

      \(\bullet~\)Par le calcul : \(0{,}5 \times 10 + 2 = 5 + 2 = 7\).

4. \(0{,}5x + 2 = 17\) entraine en ajoutant \(- 2\) à chaque membre : \(0{,}5x = 15\), puis en multipliant chaque membre par 2 : \(x = 30\).

   Cela signifie que pour une température de \(30^\circ\) C, le temps de filtration doit être de 17 h.

La pompe a fonctionné pendant deux mois de 31 jours pendant 16 h chaque jour, soit pendant \(2 \times 31 \times 16 = 992\) (h).

D'après la formule donnée la dépense est donc égale à :

\(0{,}8 \times 992 \times 0{,}23 = 182{,}528\), soit 182,53 €.

1. L'aire d'un carré de côté \(a\) est \(a^2\), donc l'aire de la table est : \((60 + 20)^2 = 80^2 = 6400~\left(\text{cm}^2\right)\).

2. La mesure des côtés de la plaque en verre est égale à \(60 - 20 = 40\) (cm). Son aire est donc égale à \(40^2 = 1600~\left(\text{cm}^2\right)\).

   Or \(\dfrac{1600}{6400} = \dfrac{1600\times 1}{1600\times 4} = \dfrac14 = \dfrac{1 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{25}{100} = 25\,\%\).

3. On passe de la plaque 1 à la plaque 2 par une rotation de centre le centre de la table et d'angle 90°, dans le sens des aiguilles d'une montre.

4. 1. 

   2. C'est le programme C qui permet de dessiner la table.