Annales du brevet de maths › 2023

2023Brevet de maths Métropole

Épreuve de mathématiques, série générale, 26 juin 2023

Mis à jour le 10 novembre 2026

26 juin 2023Durée : 2 heures100 points5 exercices
Fiche « Identités remarquables »Fiche « Théorème de Pythagore »Fiche « La probabilité »Fiche « Fonctions affines »Couverture des fiches magiques 3e maths

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Exercice 1 (20 pts)

Statistiques

Un opticien vend différents modèles de lunettes de soleil.

Il reporte dans le tableur ci-dessous des informations sur cinq modèles vendus pendant l'année 2022.

ABCDEFG
1Lunettes de soleilModèle 1Modèle 2Modèle 3Modèle 4Modèle 5Total
2Nombre de paires de lunettes vendues1200950875250300
3Prix à l'unité en euro75100110140160

  1. Montrer que l'étendue des prix de ces paires de lunettes de soleil est de 85 euros.

    1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule G2 pour calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022 ?

    2. Calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022.

    1. Calculer le montant total, en euros, des ventes des paires de lunettes de soleil en 2022.

    2. Calculer le prix moyen d'une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 , arrondi au centime près.

Voir le corrigé de l'exercice 1

  1. L'étendue est la différence entre le prix le plus élevé et le prix le plus bas : \(160 - 75 = 85\) ( €).

    1. Il faut écrire dans la cellule G2 : =SOMME(B2:F2) (ou =B2+C2+D2+E2+F2).

    2. \(1\,200 + 950 + 875 + 250 + 300 = 3\,575\) : 3 575 paires ont été vendues.

    1. La recette totale pour l'année 2022 est :

      \(1200 \times 75 + 950 \times 100 + 875 \times 110 + 250 \times 140 + 300 \times 160 = 364\,250\) ( €).

    2. Le prix moyen d'une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 est égal à \(\dfrac{364\,250}{3\,575} \approx 101{,}888\), soit 101,89 € au centime d'euro près.

      Attention, piège : le prix moyen d'une paire vendue n'est pas la moyenne des 5 prix (117 €) : chaque prix doit être pondéré par le nombre de paires vendues.

Exercice 2 (20 pts)

Pythagore et trigonométrieThalès et triangles semblablesAires, volumes et grandeurs

Sur la figure ci-dessous :

  • BCDE est un rectangle, BAE est un triangle rectangle en A ;

  • la perpendiculaire à la droite (CD) passant par A coupe cette droite en H;

  • les droites (AE) et (CD) se coupent en F.

Figure de l'exercice 2

On donne :

  • \(\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=4{,}2 \mathrm{~cm}\);

  • \(\mathrm{EB}=\mathrm{EF}=7 \mathrm{~cm}\).

  1. Montrer que l'aire du rectangle BCDE est égale à 29,4 cm².

    1. Montrer que la longueur AE est égale à 5,6 cm.

    2. Calculer l'aire du triangle rectangle ABE.

    1. Montrer que les droites (ED) et (HA) sont parallèles.

    2. Calculer la longueur AH.

Voir le corrigé de l'exercice 2

  1. On a \(\mathcal{A}(\text{BCDE}) = \text{BC} \times \text{EB} = 4{,}2 \times 7 = 29{,}4\) (cm\(^2\)).

    1. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABE, rectangle en A s'écrit :

      \(\text{BE}^2 = \text{AB}^2 + \text{AE}^2\), d'où \(\text{AE}^2 = \text{BE}^2 - \text{AB}^2 = 7^2 - 4{,}2^2 = 49 - 17{,}64 = 31{,}36\). On a donc AE \(= \sqrt{31{,}36} = 5{,}6\) (cm).

    2. On a \(\mathcal{A}(\text{ABE}) = \dfrac{\text{AB} \times \text{AE}}{2} = \dfrac{4{,}2 \times 5{,}6}{2} = 2{,}1 \times 5{,}6 = 11{,}76\) (cm\(^2\)).

    1. Les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires à (FH) selon le codage, or lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles, on en conclut que (AH) et (ED) sont parallèles.

    2. Les droites (AE) et (HD) sont sécantes en F et les droites (HA) et (ED) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès :

      \(\dfrac{\text{FE}}{\text{FA}} = \dfrac{\text{FD}}{\text{FH}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{AH}}\).

      Comme FA = FE + EA \(= 7 + 5{,}6 = 12{,}6\), on a en particulier :

      \(\dfrac{7}{12{,}6} = \dfrac{4{,}2}{\text{AH}}\) (car ED = BC = 4,2 cm, côtés opposés du rectangle) ; on en déduit que \(7 \text{AH} = 4{,}2 \times 12{,}6\) et enfin

      \(\text{AH} = \dfrac{4{,}2 \times 12{,}6}{7} = 0{,}6 \times 12{,}6 = 7{,}56\) (cm).

      Attention, piège : FA ne vaut pas 5,6 cm : c'est la longueur totale FE + EA, car E est entre F et A.

Exercice 3 (20 pts)

QCM et automatismesProportionnalité et pourcentagesArithmétiqueProbabilitésTransformationsAires, volumes et grandeurs

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées.

Une seule réponse est exacte.

Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

QuestionRéponse ARéponse BRéponse C
1. Dans une classe de 25 élèves, \(60 \%\) des élèves sont des filles. Combien y a-t-il de filles dans cette classe ?101520
2. Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 126 ?\(2 \times 9 \times 7\)\(2^2 \times 5^2 + 2 \times 13\)\(2 \times 3^2 \times 7\)
3. Dans un sac, il y a 17 jetons rouges, 23 jetons jaunes et 20 jetons bleus, tous indiscernables au toucher. On tire au hasard un jeton du sac. Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton rouge ou un jeton jaune?\(\dfrac{2}{3}\)0,6\(\dfrac{17}{23}\)
4. Sur l'octogone régulier ci-dessous, quelle est l'image du segment [DC] par la rotation de centre O qui transforme A en D?  
Figure de l'exercice 3
[GE][GF][AH]
5. Quel est le volume d'un pavé droit de hauteur 1,5 m et de base rectangulaire de 2 m de longueur et 1,3 m de largeur ? On rappelle que \(1\,\mathrm{m}^{3}=1000\,\mathrm{L}\).2,6 m³3900 L3000 L
Voir le corrigé de l'exercice 3

  1. On a \(25 \times \dfrac{60}{100} = 25 \times 0{,}6 = 15\). Réponse B.

  2. \(126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7\). Réponse C.

  3. Il y a \(17 + 23 = 40\) jetons rouges ou jaunes. La probabilité est donc égale à \(\dfrac{40}{17 + 23 + 20} = \dfrac{40}{60} = \dfrac46 = \dfrac23\). Réponse A.

  4. Chacun des angles au centre de l'octogone a une mesure égale à \(\frac{360}{8} = 45\)°. La rotation transformant A en D est donc une rotation de \(3 \times 45 = 135\)° dans le sens anti-horaire.

    D a pour image G et C a pour image F, donc [DC] a pour image [GF]. Réponse B.

    Rappel de méthode : dans un polygone régulier à n côtés, l'angle au centre entre deux sommets consécutifs mesure 360° ÷ n.

  5. Le volume est égal à \(2 \times 1{,}5 \times 1{,}3 = 3 \times 1{,}3 = 3{,}9\) (m\(^3\)), soit \(3{,}9 \times 1000 = 3900~\)L. Réponse B.

    Rappel de méthode : 1 m³ = 1 000 L : pour passer des m³ aux litres, on multiplie par 1 000.

Exercice 4 (20 pts)

Pythagore et trigonométrieScratch et algorithmique

On veut fabriquer un escalier en bois de hauteur 272 cm.

La figure ci-dessous représente une vue de profil de cet escalier.

La hauteur d'une marche est de 17 cm.

La profondeur d'une marche pour poser le pied mesure 27 cm.

Figure de l'exercice 4

    1. Montrer qu'il faut prévoir 16 marches pour construire cet escalier.

    2. Montrer que la longueur AB est égale à 432 cm.

  2. Pour permettre une montée agréable, l'angle \(\widehat{\mathrm{BAC}}\) doit être compris entre \(25^{\circ}\) et \(40^{\circ}\).

    1. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{\mathrm{BAC}}\), arrondie au degré près.

    2. L'escalier permet-il une montée agréable ?

  3. On rédige le programme ci-contre avec le logiciel Scratch pour dessiner cet escalier. (1 cm dans la réalité est représenté par 1 pas dans le programme.)

    Recopier les lignes \(5{,}6,7\) et 9 sur la copie en les complétant.

    Figure de l'exercice 4
Voir le corrigé de l'exercice 4

    1. Il faut compter \(\dfrac{272}{17} = 16\) (marches).

    2. 16 marches d'une profondeur de 27 cm donnent une longueur AB \(= 16 \times 27 = 432\) (cm).

    1. Dans le triangle ABC, rectangle en B, la définition de la tangente nous permet d’écrire : \(\tan \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}} = \dfrac{272}{432} \approx 0{,}6296\).

      La calculatrice donne alors \(\widehat{\text{BAC}} \approx 32{,}2\), d’où : \(\widehat{\text{BAC}} \approx 32^\circ\) au degré près.

      Rappel de méthode : tangente d'un angle aigu = côté opposé ÷ côté adjacent ; on retrouve l'angle avec la touche arctan (ou tan−1) de la calculatrice.

    2. Comme 25° < 32° < 40°, l'escalier permet une montée agréable.

  3. Ligne 5 : répéter 16 fois
    Ligne 6 : tourner ↺ de 90 degrés
    Ligne 7 : avancer de 17 pas
    Ligne 8 : tourner ↻ de 90 degrés
    Ligne 9 : avancer de 27 pas

    Le lutin part vers la droite : il tourne vers la gauche pour monter la hauteur d'une marche (17 pas), puis vers la droite pour avancer de sa profondeur (27 pas), et ceci 16 fois.

Exercice 5 (20 pts)

Calcul littéral et équationsFonctions

Voici deux programmes de calcul.

Programme AProgramme B
\(\bullet~~\) Choisir un nombre\(\bullet~~\) Choisir un nombre
\(\bullet~~\) Multiplier ce nombre par \(-2\)\(\bullet~~\) Soustraire 5 à ce nombre
\(\bullet~~\)Ajouter 5 à ce résultat.\(\bullet~~\) Multiplier le résultat par 3
\(\bullet~~\) Ajouter 11 au résultat

    1. Montrer que, si on choisit \(- 3\) comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est 11.

    2. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 5,5 comme nombre de départ ?

  2. En désignant par \(x\) le nombre de départ, on obtient \(- 2x + 5\) comme résultat avec le programme A.

    Montrer, qu'avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à \(3x - 4\).

    1. On a représenté ci-contre les fonctions \(f\) et \(g\) définies par \(f(x) = -2x + 5\) et \(g(x) = 3x - 4\).

      Associer, en justifiant, chaque droite à la fonction qui lui correspond.

    2. Par lecture graphique, donner, le plus précisément possible, le nombre dont l'image est la même par la fonction \(f\) et la fonction \(g\).

Figure de l'exercice 5

  1. Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.

Voir le corrigé de l'exercice 5

    1. On a successivement \(-3 \longmapsto (- 2) \times (- 3) = 6 \longmapsto 6 + 5 = 11\).

    2. On a successivement \(5{,}5 \longmapsto 5{,}5 - 5 = 0{,}5 \longmapsto 3 \times 0{,}5 = 1{,}5 \longmapsto 1{,}5 + 11 = 12{,}5\).

  2. On a successivement \(x \longmapsto x - 5 \longmapsto 3 \times (x - 5) = 3x - 15 \longmapsto 3x - 15 + 11 = 3x - 4\).

    1. Ces deux droites sont les représentations graphiques de deux fonctions affines.

      Comme \(g\) a un coefficient directeur \(+3 > 0\), la fonction est croissante : sa représentation est la droite \((D_1)\).

      \(f\) a un coefficient directeur \(- 2 < 0\), la fonction est décroissante : sa représentation est la droite \((D_2)\).

    2. Le nombre cherché est l'abscisse du point commun aux deux droites.

      Avec la précision du dessin, on lit \(x \approx 1{,}8\).

Figure du corrigé de l'exercice 5

  1. Si \(x\) a la même image par \(f\) et par \(g\), on a donc :

    \(- 2x + 5 = 3x - 4\), d'où \(5 + 4 = 3x + 2x\), soit \(9 = 5x\) et enfin \(x = \dfrac95 = 1{,}8\).

    Remarque : \(f(1{,}8) = - 3{,}6 + 5 = 1{,}4\) et \(g(1{,}8) = 5{,}4 - 4 = 1{,}4\). Les deux programmes donnent bien le même résultat 1,4 pour le nombre de départ 1,8.

    Rappel de méthode : le nombre qui a la même image par f et g est l'abscisse du point d'intersection des deux droites ; on le trouve exactement en résolvant f(x) = g(x).

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Épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet, série générale, session 26 juin 2023, durée 2 heures, 100 points. Chaque exercice est corrigé en détail, avec la méthode et la rédaction attendue.