2023Brevet de maths Métropole (septembre)

1. Réponse B. \(84 = 2\times42 = 3\times28 = 4\times21\) : 2, 3 et 4 sont des diviseurs de 84. Les nombres de la réponse A sont des multiples de 84, et 5 ne divise pas 84.

2. Réponse B. Dans un agrandissement de coefficient 2, les volumes sont multipliés par \(2^3 = 8\).

   Attention, piège : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³.

3. Réponse C. \((-2)^2+3\times(-2)-5 = 4-6-5 = -7\).

   Attention, piège : \((-2)^2 = 4\) (le carré d'un nombre négatif est positif), alors que \(-2^2 = -4\).

4. Réponse A. Les multiples de 2 entre 1 et 8 sont 2, 4, 6 et 8 : 4 issues favorables sur 8 équiprobables, donc \(\dfrac48=\dfrac12\).

5. Réponse A. DEF est plus grand que ABC (deux fois plus grand) et situé de l'autre côté du centre O : le rapport est négatif, donc égal à \(-2\).

   Rappel de méthode : une homothétie de rapport négatif « retourne » la figure de l'autre côté du centre ; si |k| > 1 c'est un agrandissement, si |k| < 1 une réduction.

1. Ligne 3 : répéter 2 fois
   Ligne 6 : avancer de 50 pas

   Un losange a quatre côtés de même longueur (50 pas) ; chaque passage dans la boucle trace deux côtés et deux angles (60° puis 120°), il faut donc répéter 2 fois.

   

2. Script 1 → figure C ; script 2 → figure A ; script 3 → figure B.

   Script 1 : le lutin avance de 50 pas, la longueur d'un côté, entre deux losanges, qui ont donc un côté commun (figure C). Script 2 : il avance de 100 pas, les losanges sont séparés (figure A). Script 3 : il monte aussi de 30 à chaque fois (« ajouter 30 à y »), d'où l'escalier (figure B).

3. Le losange ABCD est l'image du losange EDCF par la rotation de centre C et d'angle 60° dans le sens des aiguilles d'une montre (E a pour image A, D a pour image B et F a pour image D).

   Rappel de méthode : pour décrire une rotation, il faut donner son centre, son angle et son sens. Ici, six losanges identiques font le tour du point C : 360° ÷ 6 = 60°.

   

   

1. 1. Avec le tarif A : \(5{,}90\times 10=59\), soit 59 €.

   2. Avec le tarif B : \(4{,}40\times 10+30=74\), soit 74 €.

2. \(f(x)=5{,}90x\) et \(g(x)= 4{,}40x+30\).

3. 1. On résout l'équation :

      \[\begin{aligned} 5{,}90x &=4{,}40x+30\\ 5{,}90x-4{,}40x&=30\\ 1{,}5x&=30\\ x&=\dfrac{30}{1{,}5}=20 \end{aligned}\]

      La solution de l'équation est 20.

   2. Le nombre d'entrées pour lequel les tarifs A et B donnent le même prix à payer est 20. Vérification : \(5{,}90\times20 = 118\) et \(4{,}40\times20+30 = 118\), soit 118 € dans les deux cas.

      Attention, piège : au-delà de 20 entrées, le tarif B (avec abonnement) devient le moins cher ; en dessous, c'est le tarif A.

4. 1. Le nombre moyen d'entrées par mois est :

      \(\overline{x}=\dfrac{12\,500 +13\,700+\dots +10\,200 +13\,800 +12\,600 +11\,800}{12}=12\,050\), soit 12 050 entrées par mois en moyenne (total 144 600 entrées sur 12 mois).

   2. L'étendue est la différence entre les valeurs extrêmes.

      \(13\,800-10\,200=3\,600\), soit 3 600 entrées.

5. Le volume d'un pavé droit est \(L \times \ell\times h\). On a donc \(50\times 25\times 3=3\,750\).

   Le volume d'eau à évacuer est donc de 3 750 m³.

1. Un groupe constitué de 12 adultes et de 8 enfants (âgés de 6 à 10 ans) fait un aller-retour en funiculaire.

   1. Tarif individuel (aller-retour) : \(12\times 10+8\times 8=120+64=184\) , donc le groupe paie 184 € (les enfants de 6 à 10 ans ont droit au tarif enfant).

   2. Le groupe compte 12 + 8 = 20 personnes : il a droit au tarif de groupe. \(12\times8{,}50+8\times 7=102+56=158\)

      Le prix à payer est alors de 158 €.

   3. La réduction est de \(184-158=26\) € et \(\dfrac{26}{184}\approx 0{,}1413\).

      Le tarif de groupe permet une réduction d'environ 14,1 %.

2. Sur la première partie du trajet [DA], le funiculaire parcourt \(448{,}5\) m en 8 min 45 s.

   8 min 45 s = 8 × 60 + 45 = 525 s. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée :

   \(v=\dfrac{448{,}5}{8\times 60+45}\approx 0{,}854\)

   Sa vitesse moyenne est d'environ 0,85 m/s au centième près.

   Attention, piège : 8 min 45 s ne s'écrit pas 8,45 min : il faut tout convertir en secondes avant de diviser.

3. Sur la dernière partie du trajet [AB], la pente est de 25 % et la dénivelée BC est de \(50\) m, calculons la longueur horizontale AC.

Nous avons donc : \(\dfrac{50}{\text{AC}}=\dfrac{25}{100}\) d'où \(\text{AC} = \dfrac{50\times100}{25} = 200\). La longueur horizontale AC est de 200 m.

1. M appartient au segment [AB], donc AB = AM + MB = 2,7 + 2,5 = 5,2.

   La longueur AB est égale à 5,2 cm.

2. Le triangle AHB est rectangle en H (codage de la figure) ; d'après le théorème de Pythagore :

   \(\text{AH}^2+\text{BH}^2=\text{AB}^2\) \(\text{AH}^2=5{,}2^2-2^2=27{,}04-4=23{,}04\) d'où \(\text{AH}=\sqrt{23{,}04}=4{,}8\)

   La longueur AH est égale à \(4{,}8\) cm.

3. Dans le triangle ACH rectangle en H, \(\sin\widehat{\text{ACH}}=\dfrac{\text{AH}}{\text{AC}}\)

   \(\sin\widehat{\text{ACH}}=\dfrac{4{,}8}{8{,}5}\approx 0{,}5647\).

   Une mesure de \(\widehat{\text{ACH}}\) est d'environ 34° au degré près.

4. Dans le triangle ACH rectangle en H, le théorème de Pythagore donne : \(\text{HC}^2=\text{AC}^2-\text{AH}^2=8{,}5^2-4{,}8^2=72{,}25-23{,}04=49{,}21\), d'où \(\text{HC}=\sqrt{49{,}21}\approx 7{,}01\).

   La longueur HC est de 7 cm au centimètre près.

   Rappel de méthode : on peut aussi utiliser le cosinus : \(\text{HC}=8{,}5\times\cos\widehat{\text{ACH}}\), mais il faut alors garder la valeur exacte de l'angle en mémoire dans la calculatrice et non l'arrondi 34°.

5. Les points A, M, B et A, N, C sont alignés et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès :

   \(\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}\) soit \(\dfrac{2{,}7}{5{,}2}=\dfrac{\text{AN}}{8{,}5}\)

   Nous avons alors \(\text{AN}=\dfrac{2{,}7\times 8{,}5}{5{,}2} \approx 4{,}4\).

   Comme 4,4 > 4, l'élève a tort.

6. Le triangle AHC est rectangle en H : ses côtés de l'angle droit sont AH et HC.

   \(\mathcal{A}_{\text{AHC}}=\dfrac{\text{AH}\times \text{HC}}{2}\)

   \(\mathcal{A}_{\text{AHC}}=\dfrac{4{,}8\times 7{,}01}{2}\approx16{,}8\)

   L'aire du triangle AHC est d'environ 16,8 cm².