2022Brevet de maths Métropole (septembre)

1. Réponse C. \(\dfrac{5^7 \times 5^3}{5^2} = \dfrac{5^{10}}{5^2} = 5^{10-2} = 5^8\).

   Rappel de méthode : \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) et \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\).

2. Réponse A. \(630 = 2\times3^2\times5\times7\) et \(882 = 2\times3^2\times7^2\), donc \(\dfrac{630}{882}=\dfrac{5}{7}\). Les fractions B et C sont égales à \(\dfrac57\) mais ne sont pas irréductibles (on peut encore simplifier par 7 et par 63).

3. Réponse C. \(A = (x - 2)(3x + 7) = 3x^2 + 7x - 6x - 14 = 3x^2 + x - 14\).

4. Réponse B. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : \(2x+1=0\), soit \(x=-\dfrac12\), ou \(-x+3=0\), soit \(x=3\).

5. Réponse C. Il y a \(4+2=6\) boules qui ne sont pas noires sur 9, donc la probabilité est \(\dfrac69\) (soit \(\dfrac23\)).

1. Avec le tarif « Affaire » Yanis va payer \(280 \times 0{,}50 = 140\) €.

2. \(\bullet~~\)Avec le tarif « Affaire » il va payer \(450 \times 0{,}5 = 225\) ( €) ;

   \(\bullet~~\)Tarif « Voyage court » il va payer \(120 + 450 \times 0{,}20 = 120 + 90 = 210\) ( €)

   \(\bullet~~\)Avec le Tarif « Voyage long » il va payer 230 €.

   Le tarif le plus intéressant est le « Voyage court ».

3. 1. \(l\) correspond au tarif « Voyage long » ;

      \(m\) correspond au tarif « Affaire » ;

      \(n\) correspond au tarif « Voyage court ».

   2. Il faut trouver \(x\) tel que \(m(x) = n(x)\), soit \(0{,}5x = 0{,}2x + 120\), d'où \(0{,}3x = 120\) et \(x = \dfrac{120}{0{,}3} = 400\).

      Pour un voyage de 400 km on paiera le même prix avec le tarif « Affaire » ou le tarif « Voyage court ».

4. 1. Les trois fonctions sont affines : chaque courbe est une droite (horizontale pour \(l\)).

      

   2. La droite de \(l\) passe sous celle de \(m\) à partir de 460 km et sous celle de \(n\) à partir de 550 km (abscisse du point d'intersection). Le tarif « Voyage long » est donc le plus avantageux au-delà de 550 km.

PARTIE A :

1. Tous les angles d'un triangle équilatéral ont pour mesure \(\dfrac{180}{3} = 60^\circ\). Le triangle SLP étant équilatéral, \(\widehat{\text{PSL}} = 60^\circ\).

2. L'image du cerf-volant 2 par la symétrie d'axe (PL) est le cerf-volant 5.

3. Le cerf-volant 1 devient le cerf-volant 6 par la symétrie centrale de centre J (ou la rotation de centre J et d'angle 180°).

PARTIE B :

1. Le programme de Nicolas trace trois côtés de 300 pas en tournant de 120° : c'est un triangle équilatéral de 3 cm de côté.

   

2. C'est Essya. Son programme trace un côté de 300 pas, tourne de 90° (angle droit), trace deux côtés de 173 pas séparés d'un virage de 60° (angle intérieur de 120°), tourne encore de 90° (second angle droit) et revient par un côté de 300 pas : on retrouve le cerf-volant codé (deux côtés de 300, deux côtés de 173, deux angles droits).

   Le programme de Nicolas trace un triangle. Celui de Tyago enchaîne 173 pas puis 300 pas après un virage de 60° : les côtés consécutifs et les angles ne correspondent pas à la figure.

   Attention, piège : le lutin tourne de l'angle extérieur : pour un angle intérieur de 120°, il tourne de 60°.

1. On saisit en B14 : =SOMME(B2:B13).

2. Il y a eu en moyenne \(\dfrac{2\,801\,172}{12} = 233\,431\) passages par mois en 2020.

3. L'étendue de la série est \(389\,250 - 62\,930 = 326\,320\) passages (juillet − avril).

4. L'augmentation du nombre de passages de véhicules entre mai 2020 et mai 2021 est en pourcentage :

   \(\dfrac{305\,214 - 179\,699}{179\,699} \times 100 = \dfrac{125\,515}{179\,699} \times 100 \approx 69{,}8\), soit 70 % à 1 % près.

   Rappel de méthode : taux d'évolution en % = (valeur d'arrivée − valeur de départ) ÷ valeur de départ × 100.

5. En 1 h = 60 min = 6 × 10 min, le cycliste parcourt \(6\times3\,000=18\,000\) m, soit 18 km. Sa vitesse moyenne est de 18 km/h.

1. D'après le document 1, BC = 12,20 m + longueur de la piscine + 1,80 m, donc BC \(= 12{,}20 + 6 + 1{,}80 = 20\) (m).

2. Le triangle ABC est rectangle en B, donc \(\tan \widehat{\text{BCA}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{5{,}5}{20} = 0{,}275\).

   La calculatrice donne \(\widehat{\text{BCA}} \approx 15{,}4^\circ\). C'est une mesure inférieure à \(30^\circ\) : la tyrolienne est réglementaire.

3. Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore s'écrit :

   \(\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2 = 5{,}5^2 + 20^2 = 30{,}25 + 400 = 430{,}25\).

   Donc AC \(= \sqrt{430{,}25} \approx 20{,}74\) soit 21 m à l'unité près.

4. Les droites (AB) et (ED) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (BC) : elles sont donc parallèles. Les points C, E, A et C, D, B sont alignés ; d'après le théorème de Thalès :

   \(\dfrac{\text{ED}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{DC}}{\text{BC}}\) soit \(\dfrac{1{,}5}{5{,}5} = \dfrac{\text{DC}}{20}\); d'où en multipliant par 20 chaque membre :

   \(\text{DC} = \dfrac{15}{55} \times 20 = \dfrac{3}{11} \times 20 = \dfrac{60}{11} \approx 5{,}454\), soit environ 5,45 m au centième près.

   Attention, piège : ED est la taille de Lya (1,50 m) : ses pieds touchent l'eau quand ses pieds sont au niveau du point D, à la surface de l'eau.

5. \(V_{\text{piscine}} = 6 \times 6 \times 1{,}6 = 36 \times 1{,}6 = 57{,}6~\left(\text{m}^3\right)\). La piscine contient 57,6 m³, soit 57 600 L.