Annales du brevet de maths › 2021
2021Brevet de maths Amérique du Nord
Épreuve de mathématiques, série générale, juin 2021
Mis à jour le 11 novembre 2026
Exercice 1 (26 pts)
Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 3x - 7\)
Affirmation n° 1 : « L’image par \(f\) du nombre \(- 1\) est 2 ».
On considère l'expression \(\mathrm{E} = (x - 5)(x + 1)\).
Affirmation n° 2 : « L'expression \(\mathrm{E}\) a pour forme développée et réduite \(x^2 - 4x - 5\) ».
\(n\) est un nombre entier positif.
Affirmation n° 3 : « lorsque \(n\) est égal à 5, le nombre \(2^n +1\) est un nombre premier ».
On a lancé 15 fois un dé à six faces numérotées de 1 à 6 et on a noté les fréquences d'apparition dans le tableau ci-dessous :
Numéro de la face apparente 1 2 3 4 5 6 Fréquence d'apparition \(\dfrac{3}{15}\) \(\dfrac{4}{15}\) \(\dfrac{5}{15}\) \(\dfrac{2}{15}\) \(\dfrac{1}{15}\) … Affirmation n° 4 : « la fréquence d'apparition du 6 est 0 ».
On considère un triangle RAS rectangle en S.
Le côté [AS] mesure 80 cm et l'angle \(\widehat{\mathrm{ARS}}\) mesure \(26^\circ\).
Affirmation n° 5 : le segment [RS] mesure environ 164 cm.
Un rectangle ABCD a pour longueur 160 cm et pour largeur 95 cm.
Affirmation n° 6 : les diagonales de ce rectangle mesurent exactement 186 cm.
Voir le corrigé de l'exercice 1
On a \(f(- 1) = 3 \times (- 1) - 7 = - 3 - 7 = - 10\) Affirmation 1 fausse.
\(E = x^2 + x - 5x - 5 = x^2 - 4x - 5\) : affirmation vraie.
\(2^5 + 1 = 32 + 1 = 33\) ; or 33 est un multiple de 3 donc n'est pas premier : affirmation fausse.
La somme des fréquences est égale à 1, donc si \(f_6\) est la fréquence d'apparition du 6, on a :
\(\dfrac{3}{15} + \dfrac{4}{15} +\dfrac{5}{15} +\dfrac{2}{15} +\dfrac{1}{15} + f_6 = 1\), ou \(\dfrac{15}{15} + f_6 = 1\), donc \(f_6 = 0\) : affirmation vraie.
Dans le triangle RAS rectangle en S, [AS] est le côté opposé à l'angle \(\widehat{\text{ARS}}\) et [RS] le côté adjacent. On a \(\tan \widehat{\text{ARS}} = \dfrac{\text{AS}}{\text{RS}}\), soit \(\tan 26 = \dfrac{80}{\text{RS}}\), ou \(\text{RS} = \dfrac{80}{\tan 26} \approx 164{,}024\) : affirmation vraie.
Le demi-rectangle ABD est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 160 cm et 95 cm.
Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle s'écrit \(\text{BD}^2 = 160^2 + 95^2 = 25\,600 + 9025 = 34\,625\), d'où BD \(= \sqrt{34\,625} \approx 186{,}08\) cm, donc BD \(\ne 186\) : affirmation fausse.
Attention, piège : « exactement 186 cm » : 186 n'est qu'une valeur approchée de \(\sqrt{34\,625}\) ; d'ailleurs \(186^2 = 34\,596 \neq 34\,625\).
Exercice 2 (21 pts)
Une athlète a réalisé un triathlon d’une longueur totale de 12,9 kilomètres. Les trois épreuves se déroulent dans l’ordre suivant :
Entre deux épreuves, l’athlète doit effectuer sur place un changement d'équipement.
Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par l’athlète, en fonction du temps de parcours (exprimé en minute) de l’athlète pendant son triathlon.
Le point M a pour abscisse 42 et pour ordonnée 10,4.
À l’aide du tableau ci-dessus ou par lecture du graphique ci-dessus avec la précision qu’il permet, répondre aux questions suivantes, en justifiant la démarche.
Au bout de combien de temps l’athlète s’est-elle arrêtée pour effectuer son premier changement d'équipement ?
Quelle est la longueur, exprimée en kilomètre, du parcours de l'épreuve de cyclisme ?
En combien de temps l’athlète a-t-elle effectué l'épreuve de course à pied ?
Parmi les trois épreuves, pendant laquelle l’athlète a été la moins rapide ?
On considère que les changements d'équipement entre les épreuves font partie du triathlon.
La vitesse moyenne de l’athlète sur l’ensemble du triathlon est-elle supérieure à 14 km/h ?
Voir le corrigé de l'exercice 2
Sur le graphique, la distance cesse d'augmenter pour la première fois au bout de 14 min (premier palier) : l'athlète s'est arrêtée au bout de 14 minutes.
Si \(c\) est la longueur du parcours en vélo, on a :
\(0{,}400 + c + 2{,}5 = 12{,}9\) soit \(c + 2{,}9 = 12{,}9\), d'où \(c = 10\) km. On le vérifie sur le graphique : au point M (fin du vélo), la distance est 10,4 km = 0,4 + 10.
L'épreuve de course à pied s'est passée de la 44e à la 56e minute ; elle a donc couru pendant \(56 - 44 = 12\) minutes.
Elle a été la moins rapide pendant la natation : c'est le segment le moins incliné du graphique.
Remarque : on peut calculer :
vitesse en natation : 400 m en 14 min soit \(\dfrac{0{,}4}{14}\times 60 \approx 1{,}71\) km/h ;
vitesse en vélo : 10 km en 27 min soit \(\dfrac{10}{27}\times 60 \approx 22{,}2\) km/h ;
vitesse à pied : 2,5 km en 12 min soit \(\dfrac{2{,}5}{12}\times 60 = 12{,}5\) km/h.
Elle a parcouru 12,9 km en 56 minutes (arrivée lue sur le graphique), donc à une vitesse moyenne de \(\dfrac{12{,}9}{56}\times 60 \approx 13{,}8\) km/h. Non, la vitesse moyenne n'est pas supérieure à 14 km/h.
Attention, piège : les temps de changement d'équipement comptent dans la durée totale.
Exercice 3 (16 pts)
Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.
On a construit un carré ABCD.
On a construit le point O sur la droite (DB), à l'extérieur du segment [DB] et tel que : OB = AB.
Le point H est le symétrique de D par rapport à O.
On a obtenu la figure ci-contre en utilisant plusieurs fois la même rotation de centre O et d'angle 45°.
La figure obtenue est symétrique par rapport à l’axe (DB) et par rapport au point O.
Donner deux carrés différents, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe (DB).
Le carré ③ est-il l’image du carré ⑧ par la symétrie centrale de centre O ?
On considère la rotation de centre O qui transforme le carré ① en le carré ②.
Quelle est l’image du carré ⑧ par cette rotation ?
On considère la rotation de centre O qui transforme le carré ② en le carré ⑤.
Préciser l’image du segment [EF] par cette rotation.
Voir le corrigé de l'exercice 3
Par exemple les carrés ⑧ et ② (ou ⑦ et ③, ou ⑥ et ④) sont symétriques par rapport à l'axe (DB).
Non : l'image du carré ⑧ par la symétrie de centre O est le carré ④ (diamétralement opposé), pas le carré ③.
Cette rotation a pour centre O et pour angle 45° (sens des aiguilles d'une montre) : l'image du carré ⑧ est le carré ①.
Pour passer du carré ② au carré ⑤, on tourne de 3 × 45° = 135°. E donne H et F donne I, donc l'image de [EF] est le segment [HI].
Exercice 4 (16 pts)
Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.
On dispose d’un tableau carré ci-contre partagé en neuf cases blanches de mêmes dimensions qui constituent un motif.
Quatre instructions A, B, C et E permettent de changer l'aspect de certaines cases, lorsqu'on applique ces instructions. Ainsi:
Remarque : si une case du motif est déjà noire et une instruction demande de la noircir, alors cette case ne change pas de couleur et reste noire à la suite de cette instruction.
Exemples : à partir d’un motif dont toutes les cases sont blanches:
Pour chacune des questions suivantes, on dispose au départ d’un motif dont toutes les cases sont blanches.
Représenter le motif obtenu avec la suite d'instructions A B.
Parmi les quatre propositions suivantes, deux propositions permettent d'obtenir le motif ci-contre. Lesquelles ?
1 A B C 3 B C E C 2 C E 4 C A E A 
Donner une suite d'instructions qui permet d'obtenir le motif ci-contre.
Voir le corrigé de l'exercice 4
A noircit la case centrale, B les cases en bas à gauche et en haut à droite : on obtient la diagonale « montante ».
Les propositions 2 (C E) et 4 (C A E A). Avec C E : C noircit les deux cases médianes latérales, puis E inverse tout, ce qui laisse blanche la ligne du milieu sauf la case centrale. Avec C A E A, la case centrale, devenue blanche par E, est noircie à nouveau par le dernier A.
La suite A B E convient : A B noircit la diagonale montante, puis E inverse les couleurs, donc cette diagonale devient blanche et les autres cases noires.
Exercice 5 (21 pts)
On souhaite rénover une salle de bain qui a la forme d’un parallélépipède rectangle. Il faut coller du papier peint sur les quatre murs. On n’en colle pas sur la porte, ni sur la fenêtre.
Voici un schéma de la salle de bain, les dimensions sont exprimées en mètre :
On dispose des informations suivantes :
Prix du papier peint :
le papier peint est vendu au rouleau entier ;
un rouleau coûte 16,95 €;
un rouleau permet de recouvrir 5,3 m\(^2\).
Conseil du vendeur :
prévoir 1 rouleau de papier peint en plus afin de compenser les pertes liées aux découpes.
Prix de la colle :
la colle est vendue au pot entier ;
un pot a une masse de 0,2 kg;
un pot coûte 5,70 €.
Conseil du vendeur :
compter 1 pot de colle pour 4 rouleaux de papier peint.
Montrer que la surface à recouvrir de papier peint est de 26,4 m\(^2\).
Calculer le prix, en euro, d’un mètre carré de papier peint. Arrondir au centime d'euro.
Si on suit les conseils du vendeur, combien coûtera la rénovation de la salle de bain ?
Le jour de l'achat, une remise de 8 % est accordée.
Quel est le prix à payer après remise ? Arrondir au centime d'euro.
Voir le corrigé de l'exercice 5
Aire de la surface à recouvrir de papier peint :
\(2 \times 3{,}5 \times 2{,}5 + 2 \times 2{,}5 \times 2{,}5 - 2{,}1 \times 0{,}8 - 1{,}6 \times 1{,}2 = 30 - 1{,}68 - 1{,}92 = 26{,}4\) m\(^2\).
16,95 € pour 5,3 m\(^2\) donne un prix au m\(^2\) de \(\dfrac{16{,}95}{5{,}3} \approx 3{,}198\) soit 3,20 € au centime près.
Il faut en principe \(\dfrac{26{,}4}{5{,}3} \approx 4{,}98\) : 5 rouleaux suffisent (on arrondit à l'unité supérieure) et avec 1 rouleau de plus pour les pertes, il faudra donc acheter 6 rouleaux.
Prix du papier peint : \(6 \times 16{,}95 = 101{,}70\) ( €).
Colle : 1 pot pour 4 rouleaux, donc 2 pots pour 6 rouleaux : \(2 \times 5{,}70 = 11{,}40\) € pour un total de :
\(101{,}70 + 11{,}40 = 113{,}10\) ( €).
Enlever 8 % revient à multiplier par \(1 - \dfrac{8}{100} = 1 - 0{,}08 = 0{,}92\).
Le prix à payer après remise est donc :
\(113{,}10 \times 0{,}92 = 104{,}052 \approx 104{,}05\) €.
Rappel de méthode : une remise de t % revient à multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\).
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Au programme du sujet 2021 Amérique du Nord
Épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet, série générale, session juin 2021, durée 2 heures, 100 points. Chaque exercice est corrigé en détail, avec la méthode et la rédaction attendue.
- Exercice 1 : fonctions, calcul littéral et équations, arithmétique, statistiques
- Exercice 2 : proportionnalité et pourcentages, fonctions
- Exercice 3 : transformations
- Exercice 4 : transformations
- Exercice 5 : aires, volumes et grandeurs, proportionnalité et pourcentages