2026Brevet de maths Antilles-Guyane

Question 1

Dans le repère, les coordonnées du point A sont A\((-2 ; 2)\).

Question 2

Le point O est le milieu du segment [MK] donc le symétrique du point K par la symétrie centrale de centre O est M.

Question 3

La formule pour calculer l'aire d'un triangle est   \(\dfrac{\text{Base}\times \text{Hauteur}}{2}\).

Ici, en prenant [AC] comme base, la hauteur correspondante est [BD].

Le calcul attendu est donc :  \(\mathrm{AC} \times \mathrm{BD}\div 2\).

Bonne réponse : B.

Question 4

Les résultats obtenus sont : pile, pile, face, pile, face, face, face, face, pile, face, soit 4 fois pile sur 10 lancers.

La fréquence d'apparition de « pile » est :  \(\dfrac{\text{Nombre de «pile»}}{\text{Nombre de lancers}} = \dfrac{4}{10}\).

Bonne réponse : C.

On peut aussi simplifier : \(\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}=0{,}4\), mais c'est bien la proposition C qui est écrite dans le sujet.

Question 5

On note \(n\) un nombre entier.

La moitié de \(n\) est \(\dfrac{n}{2}\).

Bonne réponse : D.

Remarque : \(2n\) est le double de \(n\), \(n^2\) est son carré, et \(n+2\) est la somme de \(n\) et de 2.

Question 6

1 h vaut 60 min, donc \(\dfrac{1}{10}\) d'heure vaut \(\dfrac{1}{10}\times 60 = \dfrac{60}{10}\), soit \(6\,\mathrm{min}\).

Bonne réponse : C.

Question 7

La moyenne de cette série est \(\dfrac{10+10+12+16}{4} = \dfrac{48}{4} = {12}\)

Question 8

La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à \(180\) en degré donc   \(x+x+120 = 180\)   d'où   \(2x+120 = 180\),

ou en ajoutant \(- 120\) à chaque membre :  \(2x = 60\)  donc  \(x = 30\) (en degrés).

Question 9

Si on note \(v\) la vitesse moyenne, \(d\), la distance parcourue et \(t\) le temps de parcours, on a :

\(v = \dfrac{d}{t}\)   donc   \(vt = d\) puis \(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{15}{20} = \dfrac{5\times 3}{5\times 4} = {\dfrac{3}{4}} = \dfrac{3 \times 15}{4 \times 15} = \dfrac{45}{60}\) en heure.

Le trajet dure donc 45 min.

1. T, A et M sont alignés dans cet ordre donc

   \(\mathrm{TA} + \mathrm{AM} = \mathrm{TM}\) d'où \(\mathrm{AM} = \mathrm{TM} - \mathrm{TA}\); or \(7{,}7 - 2{,}2 = 5{,}5\) donc \(\mathrm{AM} = 5{,}5\,\mathrm{m}\).

2. Le triangle BAM est rectangle en A ; on lui applique le théorème de Pythagore.

   \(\mathrm{MB}^2 = \mathrm{AM}^2+\mathrm{AB}^2\)   donc  \(7{,}3^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AM}^2\) d'où AB\(^2 = 7{,}3^2 - 5{,}5^2 = 53{,}29 - 20{,}25 = 23{,}04\).

   \(\mathrm{AB}>0\)   et   \(\sqrt{23,04}=4{,}8\)   donc   \(\mathrm{AB} = 4{,}8\,\mathrm{m}\).

   Remarque : sans calculatrice, \(7{,}3^2-5{,}5^2=(7{,}3+5{,}5)(7{,}3-5{,}5)=12{,}8\times 1{,}8=23{,}04\) (identité remarquable \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)).

3. On sait que dans le triangle BAM rectangle en A on a par définition :

   \(\cos\left(\widehat{\text{ABM}}\right) = \dfrac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l'hypoténuse}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{MB}} = \dfrac{4,8}{7,3} \approx 0{,}6575\).

   La calculatrice donne : \(\widehat{\text{ABM}}\approx 48{,}9^\circ\) soit environ 49° au degré près.

4. • E, A et B sont alignés dans cet ordre ;

   • T, A et M sont alignés dans cet ordre ;

   • \(\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}} = \dfrac{1,92}{4,8} = \dfrac{192}{480} = \dfrac{48}{120} = \dfrac{4}{10} = \dfrac25\) ; et \(\dfrac{\mathrm{AT}}{\mathrm{AM}} = \dfrac{2,2}{5,5} = \dfrac{22}{55} = \dfrac25\).

   On a donc \(\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}} = \dfrac{\mathrm{AT}}{\mathrm{AM}}\) et d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (TE) et (BM) sont parallèles.

5. Si le triangle ABM est l'image du triangle AET par une homothétie de centre A, alors le côté homologue de [AT] (dans le triangle de départ) est [AM] (dans le triangle après l'homothétie). Les longueurs sont multipliées par \(\dfrac{\text{AM}}{\text{AT}}=\dfrac{5{,}5}{2{,}2}=2{,}5\). De plus, le centre A est situé entre T et M (et entre E et B) : l'image est de l'autre côté du centre, donc le rapport est négatif. Le rapport est \(-2{,}5\).

   Bonne réponse : Proposition 3.

   Rappel de méthode : homothétie de rapport \(k\) : si \(k>0\), la figure et son image sont du même côté du centre ; si \(k<0\), elles sont de part et d'autre du centre. Les longueurs sont multipliées par la distance à zéro de \(k\).

1. On obtient successivement :

   • \(1- 2\) donc \(-1\)

   • \((-1)\times 5\) donc \(-5\)

   • \(-5+3\times 1\) donc \(-5 + 3\) soit \(-2\)

   Le résultat est \(- 2\).

2. On note \(x\) le nombre choisi au départ.

   On obtient successivement :

   • \(x - 2\)

   • \(5(x - 2)\) donc \(5x - 10\)

   • \(5x-10+3x\) donc \(8x - 10\)

   Le résultat final est \(8x-10\).

3. On résout l'équation \(8x-10=0\) :

   \[\begin{aligned}8x-10&=0\\ 8x&=10\\ x&=\dfrac{10}{8}=1{,}25\end{aligned}\]

   Pour que le résultat soit égal à 0, le nombre de départ doit être 1,25.

   1. En partant de 1, on obtient successivement :

      • \(4\times 1\) donc \(4\)

      • \(4 - 5\) donc \(-1\)

      • \(2\times (- 1)\) donc \(-2\)

      Le résultat est \(-2\).

   2. On applique le programme à un nombre \(x\) quelconque.

      On obtient successivement :

      • \(4\times x\) donc \(4x\)

      • \(4x-5\)

      • \((4x-5)\times 2\) donc \(8x - 10\)

      On obtient donc le même résultat qu'avec le programme A.

1. Avec le tarif B, le prix payé pour douze demi-journées est, en euro :   \(15 + 3{,}50\times 12 = 15 + 42 = 57\).

2. • \(f(x)\) représente le tarif payé pour \(x\) demi-journées avec le tarif B : \(f(x) = 3{,}5x + 15.\)

     Chaque demi-journée \(x\) coûte en euro, \(3{,}50\) donc un total de \(3{,}5x\), auxquels on ajoute l'abonnement de 15  €.

   • \(g(x)\) représente le tarif payé pour \(x\) demi-journées avec le tarif C: \(g(x) = 64\).

     Le tarif est constant, égal à 64  €, quel que soit le nombre de demi-journées..

   • \(h(x)\) représente le tarif payé pour \(x\) demi-journées avec le tarif A: \(h(x)=5{,}5x\).

     Chaque demi-journée \(x\) coûte en \(5{,}50\,\text{€}\) donc un total de \((5{,}5x)\)  € pour \(x\) demi-journées.

3. • \(d_1\) est une droite dont l'ordonnée à l'origine est 15, donc est la représentation graphique de la fonction affine \(f\).

   • \(d_2\) est parallèle à l'axe des abscisses, donc représente la fonction constante \(g\).

   • \(d_3\) est une droite contenant l'origine ; elle représente la fonction linéaire \(h\).

4. La droite (\(d_1\)) ne représente pas une situation de proportionnalité, puisque la fonction associée n'est pas linéaire. Graphiquement, la droite ne passe pas par l'origine du repère.

   Rappel de méthode : une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère.

   \((f(0) \ne 0)\).

5. On cherche à quel moment le tarif B, représenté par des points de la droite \((d_1)\) devient plus avantageux que le tarif A (représenté par des points de la droite \((d_3)\)).

   Plus avantageux, cela veut dire que cela coûte moins cher, pour le même nombre de demi-journées. On cherche donc à partir de quel antécédent les points de la droite \((d_1)\) sont en-dessous des points de la droite \((d_3)\).

   C'est à partir de 8 demi-journées que le tarif B est plus avantageux.

   Vérification :

   \(\bullet~\) \(f(7 ) = 3{,}5 \times 7 + 15 = 24{,}5 + 15 = 39{,}50\) et \(h(7) = 5{,}5 \times 7 = 38{,}50\) , donc \(f(7) > h(7)\) :

   \(\bullet~\) \(f(8 ) = 3{,}5 \times 8 + 15 = 28 + 15 = 43\) et \(h(8) = 5{,}5 \times 8 = 44\) , donc \(f(8) < h(8)\).

   

6. 1. On veut traduire la fonction \(f\) pour le tableur.   \(f(x) = 15 + 3{,}5x\)

      On peut procéder par élimination :

      • = 15+3,5*\(x\)  ne convient pas, car le tableur ne connait pas \(x\), il faut lui expliquer dans quelle cellule il trouvera la valeur \(x\) correspondant à ce que l'on veut afficher;

      • = 15+3,5*1  ne convient pas. Le résultat affiché dans la cellule B3 serait correct, mais, on veut que la formule soit correcte étirée vers la droite. Si on étire cette formule vers la droite, le calcul sera toujours le même, le 1 ne sera pas remplacé par 2, 3 et ainsi de suite;

      • = 15+3,5*B1  est donc la bonne formule, par élimination, et parce que c'est bien dans la cellule B1 que l'on va trouver l'antécédent du tarif que l'on veut calculer.

      La formule à taper est donc :  = 15+3,5*B1.

   2. Pour 14 demi-journées, le tarif B coûte 64 € (cellule O2), exactement autant que le tarif C. Pour 15 demi-journées, il coûte 67,50 € (cellule P2), plus que 64 €.

      Le tarif C devient donc plus avantageux à partir de 15 demi-journées.

      Vérification par le calcul (non demandée) : \(15+3{,}5x>64\) équivaut à \(3{,}5x>49\), soit \(x>14\) : le tarif B dépasse 64 € dès 15 demi-journées.

      Attention, piège : « plus avantageux » veut dire strictement moins cher : à 14 demi-journées, les deux tarifs sont égaux, ce n'est pas encore la réponse.