2021Brevet de maths Asie

1. \(126 = 120 + 6 = 6 \times 20 + 6 \times 1 = 6 \times (20 + 1) = 6 \times 21\) : 6 est donc un diviseur de 126. Réponse C. (252 est un multiple de 126 et 126 ÷ 20 = 6,3.)

2. On calcule les trois images :

   • \(f(2) = 2^2 - 2 = 2\) ;

   • \(f(-2) = (- 2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2\) ;

   • \(f(0) = 0^2 - 2 = - 2\). Réponse C. (A et B sont fausses : l'image de 2 est 2, et \(f(-2)=2\).)

3. Le tableur calcule \(-5x^2+2x-14\) avec \(x\) le nombre de la ligne 1 ; en A2 : \(- 5 \times (- 4)^2 + 2 \times (- 4) - 14 = - 80 - 8 - 14 = - 102\), puis en B2 :

   \(- 5 \times (- 3)^2 + 2 \times (- 3) - 14 = - 45 - 6 - 14 = - 65\). Réponse A.

4. \(x^2 = 16\) ou \(x^2 - 16 = 0\) ou \(x^2 - 4^2 = 0\) ou \((x + 4)(x - 4) = 0\). Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : \(x+4=0\) ou \(x-4=0\). Les deux solutions sont \(-4\) et 4. Réponse B.

5. \(2 \times 2^{400} = 2^1 \times 2^{400} = 2^{1 + 400} = 2^{401}\). Réponse A.

   Attention, piège : \(2\times2^{400}\) n'est pas \(4^{400}\) : seul un des 400 facteurs est doublé.

6. Si la télévision a une largeur \(L\) et une hauteur \(h\), un ratio de 16 : 9 signifie que \(\dfrac{L}{h} = \dfrac{16}{9}\).

   Si la hauteur est de 54 (cm), on a donc \(\dfrac{L}{54} = \dfrac{16}{9}\) d'où en multipliant par 54 :

   \(L = \dfrac{16 \times 54}{9} = \dfrac{16 \times 9 \times 6}{9} = 16 \times 6 = 96~\)(cm). Réponse B.

1. La diagonale [AC] partage le carré ABCD en deux triangles rectangles isocèles.

   Dans le triangle ABC rectangle et isocèle en B, le théorème de Pythagore s'écrit :

   \(\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2\), soit \(1^2 + 1^2 = \text{AC}^2\).

   Donc \(\text{AC}^2 = 2\) et \(\text{AC} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\) (cm).

2. 1. La suite des carrés est obtenue en doublant les longueurs : le coefficient d'agrandissement des longueurs qui permet de passer de ce carré au carré suivant est donc 2.

   2. Tous ces carrés ont A pour l'un de leurs sommets : la transformation permettant de passer d'un carré au suivant est donc une homothétie (de centre A et de rapport 2).

   3. On a par doublement des longueurs :

      AF \(= 2 \times \text{AC} = 2\sqrt{2}\) ;

      AI \(= 2 \times \text{AF} = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\), donc AI \(= 4\text{AC}\) et non pas \(3\text{AC}\) : l'affirmation est fausse.

      Rappel de méthode : une homothétie de rapport k multiplie toutes les longueurs par k : du carré ① au carré ③, on applique deux fois le rapport 2, soit un rapport 4.

3. Le triangle AJB est rectangle en A, avec AB = 1 cm et AJ = 4 cm (côté du carré ③). Pour l'angle \(\widehat{\text{AJB}}\) on connait les longueurs du côté opposé et du côté adjacent ; on peut calculer sa tangente :

   \(\tan \widehat{\text{AJB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\).

   La calculatrice donne avec la fonction inverse de la tangente \(\widehat{\text{AJB}} \approx 14{,}04\) soit \(14^\circ\) au degré près.

1. Comme \(18 > 15\), l'algorithme calcule \(100 - 4 \times 18 = 100 - 72 = 28\).

2. Comme \(14 > 15\) est faux, l'algorithme calcule \(2 \times (14 + 10) = 2 \times 24 = 48\).

3. ★   Si \(N > 15\), on a \(100 - 4N = 32\) ou \(100 - 32 = 4N\) soit \(68 = 4N\) ou \(4 \times 17 = 4 \times N\), donc en simplifiant par 4 : \(N = 17\) (qui est bien supérieur à 15).

   ★   Si \(N \leqslant 15\) on a donc \(2(N + 10) = 32\) ou \(2(N + 10) = 2\times 16\) et en simplifiant par 2 : \(N + 10 = 16\) et enfin \(N = 6\) (qui est bien inférieur ou égal à 15).

   Les deux nombres introduits dans l'algorithme et rendant le nombre 32 sont 6 et 17.

4. 1. ligne 3 : si réponse \(> 15\) alors

   2. ligne 6 : dire 2 \(*(\text{réponse} + 10)\) pendant 2 secondes

5. Les nombres premiers entre 10 et 25 sont 11, 13, 17, 19 et 23.

   ★ 11 donne \(2 \times (11+ 10) = 2\times 21 = 42\) qui n'est pas multiple de 4.

   ★   13 donne \(2 \times (13+ 10) = 2\times 23 = 46\) qui n'est pas multiple de 4.

   ★   17 donne \(100 - 4 \times 17 = 100 - 68 = 32\) qui est multiple de 4.

   ★   19 donne \(100 - 4 \times 19 = 100 - 76 = 24\) qui est multiple de 4.

   ★   23 donne \(100 - 4 \times 23 = 100 - 92 = 8\) qui est multiple de 4.

   Il y a donc 3 nombres premiers sur 5 qui donnent un résultat multiple de 4 : la probabilité demandée est donc : \(\dfrac{3}{5} = 0{,}6\).

   Attention, piège : il faut bien vérifier dans quelle branche de l'algorithme on se trouve : la condition est N > 15, au sens strict.

1. Chloé a parcouru 1 000 m = 1 km en 6 minutes, donc \(10 \times 1\) km en \(10 \times 6 = 60\) min = 1 h.

   Sa vitesse est le quotient de la distance parcourue par le temps mis. Donc :

   \(v_{\text{Chloé}} = \text{VMA} = \dfrac{10}{1} = 10\) (km/h)

2. 1. L'étendue de la série statistique des VMA des filles de la classe est \(13{,}5 - 9 = 4{,}5\).

      L'étendue de la série statistique des VMA des garçons de la classe est \(15 - 11 = 4\). Comme 4,5 > 4, l'affirmation 1 est vraie.

   2. 5 filles (Laura, Chloé, Jeanne, Fatima, Léonie) et 2 garçons (Lucas, Martin) ont une vitesse inférieure à 11,5 (km/h) et 1 fille (Énora) une vitesse égale à 11,5 (km/h), donc 8 élèves sur 24 ont une vitesse inférieure ou égale à 11,5 (km/h).

      Or \(\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\) soit environ 33 %, plus que 25 %. L'affirmation 2 est vraie.

   3. Lisa a une vitesse de 12,5 (km/h). Or Claire, Inès, Lou, Alexandra, Thomas, José, Jules, Youssef, Ilan, Abdel, Nicolas et Léo soit 12 élèves ont une vitesse supérieure. Lisa n'a que la 13^e VMA de la classe : elle ne fait pas partie des 12 élèves sélectionnés. L'affirmation 3 est fausse.

Première partie

Dans la troisième couche verticale la plus profonde il manque 3 cubes.

Dans la deuxième couche verticale il manque 6 cubes.

Dans la première couche verticale il manque 9 cubes. Il manque donc en tout \(3 + 6 + 9 = 18\) cubes.

Deuxième partie

1. Vue de dessus de la pièce n° 4 (chaque carré représente un cube vu d'en haut, 2 cm pour 1 dm) :

   

2. 1. Il y aura en tout \(3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 27\) cubes unités.

      Comme chaque cube a un volume de \(1^3 = 1~\left(\text{dm}^3\right)\), le volume du grand cube est

      \(27 \times 1 = 27~\left(\text{dm}^3\right)\).

   2. On remarque que \(27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3\).

      On sait que le volume d'un cube d'arête \(a\) est \(V = a^3\), donc l'arête du grand cube est 3 dm.