Annales du brevet de maths › 2021
2021Brevet de maths Nouvelle-Calédonie
Épreuve de mathématiques, série générale, 7 décembre 2021
Mis à jour le 11 novembre 2026
Exercice 1 (18 pts)
Pour chaque affirmation répondre par vrai ou faux. Justifier chaque réponse.
Affirmation 1 : 50 % de 10 350 c'est 10 300.
Affirmation 2 : \(\dfrac73\) est la forme irréductible de \(\dfrac{42}{18}\).
Affirmation 3 : L'équation \(2x - 4 = -x + 5\) a pour solution \(3\).
Affirmation 4 : L'arrondi à l'unité près du volume d'une boule de diamètre \(21{,}6\) cm est 42 213 cm\(^3\).
On rappelle la formule du volume d'une boule \(V = \dfrac43 \pi R^3\).
Affirmation 5 : Dans la figure codée ci-contre, la mesure de l'angle \(\widehat{\text{DNB}}\), arrondie à l'unité près, est \(18^\circ\).
Affirmation 6 : On peut composer 6 codes différents avec un cadenas à 3 chiffres qui respecte les conditions suivantes :
les deux premiers chiffres sont choisis parmi 1 ; 2 et 3 ;
un chiffre peut apparaître deux fois;
le dernier chiffre est 6.
Voir le corrigé de l'exercice 1
Affirmation 1 : 50 % de 10 350 c'est 10 300.
On a \(\dfrac{50}{100} \times 10\,350 = \dfrac{10\,350}{2} = 5175\), et non 10 300 : affirmation fausse.
Affirmation 2 : \(\dfrac73\) est la forme irréductible de \(\dfrac{42}{18}\).
\(\dfrac{42}{18} = \dfrac{7 \times 6}{3 \times 6} = \dfrac73\) : affirmation vraie.
Affirmation 3 : L'équation \(2x - 4 = -x + 5\) a pour solution \(3\).
\(2x - 4 = -x + 5\) donne en ajoutant à chaque membre \(x + 4\) : \(3x = 9\), soit \(3 \times x = 3 \times 3\), d'où \(x = 3\) : affirmation vraie.
Affirmation 4 : L'arrondi à l'unité près du volume d'une boule de diamètre \(21{,}6\) cm est 42 213 cm\(^3\).
On a \(V = \dfrac43 \pi \times 10{,}8^3 = \dfrac43 \pi \times 10{,}8^2 \times 10{,}8 = 4 \times 10{,}8^2 \times 3{,}6 \pi = 1679{,}62\pi\). La calculatrice donne \(V \approx 5276{,}7\) soit 5277 cm\(^3\) à l'unité près : affirmation fausse.
Affirmation 5 : Dans la figure codée ci-contre, la mesure de l'angle \(\widehat{\text{DNB}}\), arrondie à l'unité près, est \(18^\circ\).
On a \(\tan \widehat{\text{DNB}} = \dfrac{\text{DB}}{\text{NB}} = \dfrac{4}{12} = \dfrac13\) : la calculatrice donne \(\widehat{\text{DNB}} \approx 18{,}4^\circ\), soit 18° à l'unité près : affirmation vraie.
Affirmation 6 : On peut composer 6 codes différents avec un cadenas à 3 chiffres qui respecte les conditions suivantes :
les deux premiers chiffres sont choisis parmi 1 ; 2 et 3 ;
un chiffre peut apparaître deux fois;
le dernier chiffre est 6.
En premier chiffre on a 3 choix et en deuxième 3 choix aussi, soit \(3 \times 3 = 9\) codes différents : affirmation fausse.
Exercice 2 (10 pts)
On étudie les précipitations (hauteurs de pluies) sur la ville de Nouméa entre avril et décembre 2020.
On obtient le tableau suivant:
| Mois | Avril | Mai | Juin | Juillet | Août | Sept | Oct | Nov | Déc. |
| Précipitations en mm | 147 | 199 | 40 | 67 | 47 | 54 | 104 | 45 | 63 |
| Source: https://www.historigue-meteo.net/oceanie/nouvelle-caledonie/noumea/2020 | |||||||||
Calculer la moyenne des précipitations. Arrondir le résultat au mm près.
Quelle est l'étendue des précipitations ?
Déterminer la médiane des précipitations.
Calculer le pourcentage de mois pour lesquels les précipitations sont supérieures à \(100\) mm. Arrondir le résultat à l'unité près.
Voir le corrigé de l'exercice 2
On a \(\overline{p} = \dfrac{147 + 199 + \ldots + 63}{9} = \dfrac{766}{9} \approx 85{,}1\), soit 85 mm au mm près.
L'étendue est égale à \(199 - 40 = 159\) mm.
En rangeant dans l'ordre croissant : 40 45 47 54 63 67 104 147 199 il y a 9 valeurs : la médiane est la 5e, soit 63 mm.
Il y a 3 mois (avril, mai, octobre) avec des précipitations supérieures à 100 sur 9 relevés, soit un pourcentage de \(\dfrac{3}{9} \times 100 = \dfrac13 \times 100 = \dfrac{100}{3} \approx 33{,}3\), soit 33 % à l'unité près.
Exercice 3 (10 pts)
BAI est un triangle rectangle en A tel que BA \(= 210\) cm et AI \(= 155\) cm.
Déterminer la longueur BI au cm près.
Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
L'immeuble de Joanne possède 15 vitres rectangulaires.
Chaque vitre a pour longueur 210 cm et pour largeur 155 cm.
Lors d'une préalerte cyclonique Joanne pose de l'adhésif sur les deux diagonales de chaque vitre de l'immeuble.
Justifier que Joanne a besoin d'environ \(5{,}22\) m d'adhésif pour une vitre.
Joanne a 7 rouleaux d'adhésif de \(10\) m chacun.
A-t-elle assez d'adhésif pour toutes les vitres ? Justifier la réponse.
Voir le corrigé de l'exercice 3
Le triangle BAI est rectangle en A ; d'après le théorème de Pythagore, BI\(^2 = \text{BA}^2 + \text{AI}^2 = 210^2 + 155^2 = 44\,100 + 24\,025 = 68\,125\).
On a donc BI \(= \sqrt{68\,125} \approx 261{,}008\), soit 261 (cm) à l'unité près.
Sur chacune des 15 vitres Joanne doit poser deux bandes de 261 cm : elle pose donc sur chaque vitre :
\(2 \times 261 = 522\) (cm) d'adhésif, soit 5,22 (m).
Elle doit poser sur la totalité des 15 fenêtres :
\(15 \times 5{,}22 = 78{,}3\) (m), alors qu'elle n'a que \(7 \times 10 = 70\) (m). Elle n'a pas assez d'adhésif : il lui manque 8,3 m, donc un rouleau de plus (8 rouleaux en tout).
Exercice 4 (14 pts)
Justifier que \(330\) n'est pas un nombre premier.
La décomposition en produit de facteurs premiers de \(500\) est: \(500 = 2^2 \times 5^3\).
Décomposer \(330\) en produit de facteurs premiers.
Justifier que \(165\) divise \(330\).
Justifier que 165 ne divise pas \(500\).
La pâtisserie Délices a préparé \(330\) biscuits aux noix et \(500\) biscuits au chocolat.
La pâtisserie souhaite répartir le plus de biscuits possible dans \(165\) boites.
La pâtisserie met le même nombre de biscuits aux noix dans chaque boîte.
Combien de biscuits aux noix y a-t-il dans chaque boîte ?
La pâtisserie met aussi le même nombre de biscuits au chocolat dans chaque boîte.
Combien de biscuits au chocolat y a-t-il dans chaque boîte ?
Combien de biscuits au chocolat reste-t-il ?
Une boîte de biscuits coûte 3650 francs.
À partir de 10 boîtes achetées, la pâtisserie Délices offre une réduction de 5 % sur le montant total.
Combien va-t-on payer pour l'achat de 12 boîtes ?
Faire apparaître les calculs effectués.
Voir le corrigé de l'exercice 4
330 est pair : \(330 = 2 \times 165\). Il a donc un autre diviseur que 1 et lui-même (par exemple 2) : il n'est pas premier.
\(330 = 10 \times 33 = 2 \times 5 \times 3 \times 11 = 2 \times 3 \times 5 \times 11\).
\(330 = 2 \times 165\), donc 165 est un diviseur de 330.
\(165 = 15 \times 11 = 3 \times 5 \times 11\), donc 11 divise 165, mais 11 n'est pas un diviseur de 500 (11 n'est pas dans la liste des diviseurs premiers de 500).
On a \(330 = 165 \times 2\) : on peut donc mettre 2 biscuits aux noix dans chacune des 165 boîtes.
On a \(500 = 165 \times 3 + 5\) : on peut donc mettre 3 biscuits au chocolat dans chaque boîte.
Il reste 5 biscuits au chocolat (\(500 - 165\times3 = 5\)).
Retrancher 5 % c'est multiplier par \(1 - \dfrac{5}{100} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\).
À partir de 10 boîtes achetées chaque boîte est donc facturée \(3650 \times 0{,}95\).
Pour 12 boîtes achetées le prix effectivement payé sera :
\(12 \times 3\,650 \times 0{,}95 = 43\,800 \times 0{,}95 = 41\,610\) F.
On paiera 41 610 F pour 12 boîtes.
Exercice 5 (18 pts)
Un jeu est constitué de quatre familles de cartes: banane ; prune ; citron ; fraise.
Voici la répartition des cartes de la famille banane.
| Nombre de banane(s) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Nombre de cartes | 5 | 3 | 3 | 2 | 1 |
La répartition est la même pour les cartes avec les autres fruits.
Montrer que ce jeu a \(56\) cartes.
Joanne mélange toutes les cartes. Son frère Jack prend une carte au hasard. On admet que chaque carte a la même chance d'être choisie.
Soit \(P\) l'évènement: « Jack obtient une carte de la famille prune ».
Quelle est la probabilité de l'évènement \(P\) ?
Quel est l'évènement contraire de \(P\) ?
Quelle est la probabilité de l'évènement contraire de \(P\) ?
Quelle est la probabilité d'obtenir une carte avec quatre fruits ?
Voir le corrigé de l'exercice 5
Il y a dans chaque famille : \(5 + 3 + 3 + 2 + 1 = 14\) cartes, donc en tout \(4 \times 14 = 56\) cartes.
Il y a 14 cartes prune sur 56 cartes, donc \(p(P) = \dfrac{14}{56} = \dfrac14 = 0{,}25\).
L'évènement contraire de \(P\) est « Jack ne tire pas une carte de la famille prune ».
La probabilité est égale à \(1 - \dfrac14 = \dfrac34 = 0{,}75\).
Il y a dans chaque famille 2 cartes avec 4 fruits, donc en tout 8 cartes avec 4 fruits.
La probabilité de tirer l'une de ces cartes est donc : \(\dfrac{8}{56} = \dfrac{8 \times 1}{8 \times 7} = \dfrac{1}{7}\).
Exercice 6 (14 pts)
Les parties 1 et 2 sont indépendantes
Partie 1 : Distance de réaction
La distance de réaction d'un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l'instant où le conducteur voit un obstacle et l'instant où il appuie sur la pédale de frein.
On considère un conducteur en bonne santé.
La distance de réaction, en mètre, en fonction de la vitesse du véhicule est représentée par le graphique de l'annexe.
Cette représentation graphique traduit-elle une situation de proportionnalité ?
Justifier la réponse.
Compléter, par lecture graphique, le tableau de l'annexe.
Vitesse (km/h) 0 … 90 Distance de réaction (m) … 15 …
Partie 2 : Distance de freinage sur route sèche
La distance de freinage d'un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l'instant où le conducteur appuie sur la pédale de frein et l'instant où la voiture s'arrête complètement.
La distance de freinage en mètre, pour un véhicule en bon état, est déterminée en fonction de la vitesse du véhicule par la formule :
\(d = \dfrac{v^2}{203,2}\) où \(v\) est la vitesse exprimée en km/h
On utilise un tableur pour calculer les distances de freinage en fonction de la vitesse :
| A | B | C | D | |
| 1 | vitesse (km/h) | 10 | 20 | 30 |
| 2 | distance de freinage (m) |
Recopier parmi les formules trois suivantes, celle qu'il faut saisir dans la cellule B2 puis étirer vers la droite:
= 2*B1/203,2 = B1*B1/203,2 = B1+B1/203,2
Un véhicule roule à \(90\) km/h.
Montrer que sa distance de freinage est environ \(40\) m.
Partie 3 : Distance d'arrêt sur route sèche
La distance d'arrêt d'un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l'instant où le conducteur voit un obstacle et l'instant où la voiture s'arrête complètement.
Distance d'arrêt = Distance de réaction \(+\) Distance de freinage
Calculer la distance d'arrêt d'un véhicule roulant à \(90\) km/h.
Voir le corrigé de l'exercice 6
Les parties 1 et 2 sont indépendantes
Partie 1 : Distance de réaction
La représentation graphique est une demi-droite contenant l'origine : c'est la représentation d'une fonction linéaire : la distance de réaction est proportionnelle à la vitesse.
Par lecture graphique :
Vitesse (km/h) 0 54 90 Distance de réaction (m) 0 15 25
La formule est
=B1*B1/203,2(car \(v^2 = v \times v\)).Avec \(v = 90\), on obtient \(d = \dfrac{90^2}{203{,}2} \approx 39{,}86\), soit 40 (m) au mètre près.
Partie 3 : Distance d'arrêt sur route sèche
Pour une vitesse de \(90\) km/h, la distance de réaction est de \(25\) m et la distance de freinage de \(40\) m, soit une distance d'arrêt de \(25 + 40 = 65\) m.
Exercice 7 (9 pts)
On doit appliquer deux couches de peinture sur le sol et les parois intérieures d'une piscine rectangulaire dont les dimensions sont données dans le document 2.
À l'aide des documents ci-dessous, calculer le budget que l'on doit prévoir pour les travaux de peinture.
Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.
Voir le corrigé de l'exercice 7
L'intérieur de la piscine est constitué de :
deux rectangles de 8 m sur 1,70 m ;
deux rectangles de 4 m sur 1,70 m ;
du fond de 8 m sur 4 m
L'aire de la surface à peindre est donc égale à :
\(2 \times 8 \times 1{,}70 + 2 \times 4 \times 1{,}70 + 8 \times 4 = 27{,}2 + 13{,}6 + 32 = 72{,}8\) m\(^2\).
Appliquer deux couches revient à peindre \(2 \times 72{,}8 = 145{,}6\) m\(^2\).
Or \(\dfrac{145,6}{35} \approx 4{,}2\).
Quatre pots ne suffiront pas : il faut acheter 5 pots de peinture à 12 000 F soit un budget de 60 000 F.
Exercice 8 (13 pts)
On dispose des informations suivantes sur le phare Amédée, une balise et une bouée :
la hauteur du phare est de \(56\) m ;
la balise est située à \(260\) m du phare;
la balise et la bouée sont distantes de \(151\) m ;
la bouée O, le sommet B de la balise et le sommet P du phare sont considérés comme trois points alignés.
Schéma de la situation :
Les droites (PH) et (BA) sont parallèles.
Quelle est la distance OH en m ?
Déterminer la hauteur AB de la balise. Arrondir au dixième de m près.
Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
Le haut du phare est protégé par une barrière composée de sculptures.
Contour de la sculpture
On souhaite réaliser un programme Scratch pour reproduire le contour de cette sculpture.
Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{a}\) en degré dans la figure ci-dessous:
Le script 1 permet de tracer le motif en pointillé ci-dessous (on part du point A et on s'arrête au point B).
Compléter le script 1 de l'annexe.
Le script final permet de réaliser le contour de la sculpture.
Compléter le script final de l'annexe.
Voir le corrigé de l'exercice 8
OH = OA + AH \(= 151 + 260 = 411\) m.
Les points O, A, H et O, B, P sont alignés et les droites (PH) et (BA) sont parallèles : d'après le théorème de Thalès,
On a donc \(\dfrac{\text{AB}}{\text{HP}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OH}}\), soit \(\dfrac{\text{AB}}{56} = \dfrac{151}{411}\), d'où l'on déduit par produit par 56 :
\(\text{AB} = \dfrac{56 \times 151}{411} \approx 20{,}57\), soit environ 20,6 m au dixième de mètre près.
Les angles \(\widehat{a}\) et 72° forment un angle plat : \(\widehat{a} = 180 - 72 = 108^\circ\).
Script 1 : avancer de 38, tourner ↻ de 90, avancer de 28, tourner ↺ de 108, avancer de 28, tourner ↻ de 90, avancer de 38 (voir l'annexe ci-dessous).
À la fin de l'exécution du premier motif $1 Chaque motif fait tourner le lutin de 72° au total vers la gauche (144 − 90 + 108 − 90) : il faut donc 5 motifs pour faire un tour complet (5 × 72 = 360°). L'annexe corrigée indique 6, ce qui donne le même dessin (le 6e motif repasse sur le premier).
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Au programme du sujet 2021 Nouvelle-Calédonie
Épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet, série générale, session 7 décembre 2021, durée 2 heures, 100 points. Chaque exercice est corrigé en détail, avec la méthode et la rédaction attendue.
- Exercice 1 : proportionnalité et pourcentages, fractions, puissances, calcul numérique, calcul littéral et équations, aires, volumes et grandeurs
- Exercice 2 : statistiques, proportionnalité et pourcentages
- Exercice 3 : pythagore et trigonométrie, aires, volumes et grandeurs
- Exercice 4 : arithmétique, proportionnalité et pourcentages
- Exercice 5 : probabilités
- Exercice 6 : proportionnalité et pourcentages, fonctions
- Exercice 7 : aires, volumes et grandeurs
- Exercice 8 : thalès et triangles semblables, scratch et algorithmique