Annales du brevet de maths › 2023
2023Brevet de maths Nouvelle-Calédonie
Épreuve de mathématiques, série générale, 7 décembre 2023
Mis à jour le 11 novembre 2026
Exercice 1 (15 pts)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
Voir le corrigé de l'exercice 1
Réponse A. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : \(2{,}7\times10^{-7}=0{,}000\,000\,27\) est la seule valeur possible (\(10^0=1\) et \(10^7\) donnent des nombres supérieurs à 1).
\(\dfrac35 - \dfrac25 \times \dfrac74 = \dfrac35 - \dfrac{7}{10} = \dfrac{6}{10} - \dfrac{7}{10} = - \dfrac{1}{10}.\) Réponse A.
Attention, piège : la multiplication est prioritaire sur la soustraction : on calcule d'abord \(\dfrac25\times\dfrac74\).La réduction est de 20 € sur un prix initial de 80 €, soit \(\dfrac{20}{80} = \dfrac{1 \times 20}{4 \times 20} = \dfrac14 = \dfrac{1 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{25}{100}\), c'est-à-dire 25 % : réponse B.
On sait que ABCD est un parallélogramme donc E est le milieu de la diagonale [AC] : AE \(= \dfrac12\) AC, donc l'homothétie de centre A qui transforme B en F transforme C en E puisque F est le milieu de [AB]. Réponse C.
Rangée dans l'ordre croissant, la série s'écrit 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 17 ; 20. Il y a 9 valeurs : la médiane est la 5e, soit 11. Réponse C.
Attention, piège : il faut d'abord ranger les valeurs : la valeur centrale de la liste non rangée (3) n'est pas la médiane.
Exercice 2 (18 pts)
José, un agriculteur vivant dans la commune du Mont-Dore, veut préparer des paniers de légumes bio pour ses clients.
Il a déjà récolté 39 salades, 78 carottes et 51 aubergines.
Il veut que tous les paniers aient la même composition et utiliser tous les légumes.
La décomposition de 39 en produit de facteurs premiers est : \(3 \times 13\).
Décomposer en facteurs premiers les nombres 78 et 51.
En déduire le nombre de paniers maximum que José peut préparer.
Combien de salades, de carottes et d'aubergines y aurait-il dans chaque panier?
Finalement, José décide de préparer 13 paniers.
Combien d'aubergines ne seront pas utilisées? Justifier votre réponse.
Combien doit-il cueillir au minimum d'aubergines supplémentaires pour pouvoir toutes les utiliser ?
José souhaite que ses 13 paniers contiennent également des tomates.
Il estime qu'il en a entre \(110\) et \(125\) prêtes à être récoltées.
Combien doit-il en cueillir au maximum pour éviter les pertes et pour que chaque panier ait toujours la même composition ?
Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
Voir le corrigé de l'exercice 2
\(\bullet~~\)\(78 = 2 \times 39 = 2 \times 3 \times 13\) ;
\(\bullet~~\)\(51 = 3 \times 17\) (3 et 17 sont premiers).
On a donc \(\left\{\begin{array}{l c l} 39&=&3 \times 13\\ 78 &=& 3 \times 26\\ 51&=&3 \times 17 \end{array}\right.\)
Le nombre de paniers doit diviser 39, 78 et 51 : le seul facteur premier commun aux trois décompositions est 3. José peut donc préparer au maximum 3 paniers identiques.
Chacun des 3 paniers sera composé de 13 salades, 26 carottes et 17 aubergines.
On a : \(\left\{\begin{array}{l c l} 39&=&13 \times 3\\ 78 &=& 13 \times 6\\ 51&=&13 \times 3 + {\color{red} 12} \end{array}\right.\)
Chacun des 13 paniers aura 3 salades, 6 carottes et 3 aubergines. Il restera 12 aubergines non utilisées (51 n'est pas un multiple de 13).
Il suffit d'1 aubergine de plus : on aura alors \(52 = 13 \times 4\) : chacun des 13 paniers aura 4 aubergines.
On écrit les multiples de 13 aux environs de 110 et 125 :
\(110 < {\color{red} 117 = 13 \times 9}< 125 < {\color{red} 130 = 13 \times 10}\) : le seul multiple de 13 entre 110 et 125 est \(117 = 13 \times 9\) ; si l'on récolte 117 tomates on pourra en mettre exactement 9 dans chacun des 13 paniers. Il doit donc en cueillir au maximum 117.
Rappel de méthode : pour répartir des objets en paniers identiques sans reste, le nombre de paniers doit être un diviseur commun des quantités ; le plus grand possible est leur plus grand diviseur commun.
Exercice 3 (18 pts)
Matthieu souhaite isoler la toiture de sa maison.
Il compte utiliser de la laine de roche pour le toit de sa terrasse et de la ouate de cellulose pour le toit de la partie habitable.
Pour savoir quelles quantités de matériaux acheter, il doit effectuer des calculs.
Il a noté sur un plan de sa maison ci-dessous (vue de profil), toutes les mesures qu'il connait :
On donne :
AC = 2,5 m AB = 8 m BD = 4,3 m \(\widehat{\text{EFD}} = 30^\circ\)
Les points D, E, B ainsi que les points A, B, G sont alignés.
Justifier que DE \(= 1{,}8\) m.
Montrer que la longueur DF du toit de la terrasse est égale à 3,6 m.
Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
On considère que :
le toit de la terrasse est un rectangle de longueur \(12\) m et de largeur \(3{,}6\) m ;
un rouleau de laine de roche couvre 6 m\(^2\).
Déterminer le nombre de rouleaux de laine de roche qu'il doit acheter pour le toit de sa terrasse.
Montrer que la longueur CD du toit de la partie habitable est égale à \(8{,}2\) m.
Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
On considère que :
le toit de la partie habitable est un rectangle de longueur \(12\) m et de largeur \(8{,}2\) m ;
Matthieu souhaite installer de la ouate de cellulose sur une épaisseur de \(10\) cm ;
la densité de la ouate de cellulose est de \(40\) kg/m\(^3\).
Déterminer la masse, en kg, de ouate de cellulose qu'il doit acheter pour le toit de la partie habitable.
Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
Voir le corrigé de l'exercice 3
ABEC est un rectangle, donc BE = AC = 2,5 m. Comme E appartient à [BD] : DE = BD \(-\) BE = 4,3 \(-\) 2,5 = 1,8 (m).
\(\bullet~~\) Méthode 1 : dans le triangle DEF rectangle en E, on a \(\sin 30^\circ = \dfrac{\text{DE}}{\text{DF}}\), soit \(\dfrac12 = \dfrac{1{,}8}{\text{DF}}\), d'où DF \(= 2 \times 1{,}8 = 3{,}6\) (m).
\(\bullet~~\) Méthode 2 : si on considère le symétrique H de D autour de E, on a (FE) qui est la médiatrice du segment [DH] et comme \(\widehat{\text{EDF}} = 180 - 90 - 30 = 60(^\circ)\) et que FD = FH, le triangle DFH est équilatéral, donc DF = DH = \(2 \times 1{,}8 = 3{,}6\) (m).
L'aire du toit de la terrasse est :
\(12 \times 3{,}6 = 43{,}2~\left(\text{m}^2\right)\). Comme \(\dfrac{43{,}2}{6} = 7{,}2\), 7 rouleaux ne suffisent pas : il faudra acheter 8 rouleaux.
Dans le rectangle ABEC, EC = AB = 8 m. Le triangle CDE est rectangle en E, donc d'après le théorème de Pythagore :
DC\(^2 = \text{DE}^2 + \text{EC}^2 = 1{,}8^2 + 8^2 = 3{,}24 + 64 = 67{,}24 = 8{,}2^2\), donc DC \(= 8{,}2\) (m)
L'aire du toit de la partie habitable est égale à :
\(12 \times 8{,}2 = 98{,}4\) m². Avec 10 cm = 0,1 m d'épaisseur, le volume du pavé obtenu en mettant sur ce toit 10 cm de ouate sera égal à :
\(12 \times 8{,}2 \times 0{,}1 = 1{,}2 \times 8{,}2 = 9{,}84\) (m\(^3\)).
Chaque mètre cube ayant une masse de 40 kg, la masse de la ouate sur le toit sera égale à \(9{,}84 \times 40 = 393{,}6\) (kg).
Attention, piège : les longueurs doivent être dans la même unité : 10 cm = 0,1 m avant de calculer un volume en m³.
Exercice 4 (13 pts)
À quelques kilomètres au nord du village de Hienghène, se trouve une des plus belles randonnées de Nouvelle-Calédonie appelée « les roches de la Ouaïème ».
Le départ se situe au niveau de la mer près d'une plage de sable blanc.
Le sentier grimpe le long d'un versant de montagne et atteint un point de vue imprenable sur le Mont Panié et le lagon.
Voici quelques informations pratiques sur cette randonnée:
| Durée estimée (Aller simple) | 2 h 30 min |
| Distance (Aller simple) | 3,8 km |
| Altitude | minimale : 0 m / maximale : 741 m |
On considère que la pente de la montagne est rectiligne.
On a schématisé le parcours [DV] de la randonnée par la figure ci-dessous:
Fabienne s'est engagée sur ce parcours en partant du point D.
Au bout de 2 heures, elle arrive au panneau P indiquant qu'elle a déjà parcouru \(3\) km.
Justifier que les droites (PN) et (VM) sont parallèles.
Déterminer à quelle altitude PN se trouve Fabienne lorsqu'elle se situe au panneau P.
Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
À quelle vitesse moyenne, en km/h, a-t-elle parcouru le trajet [DP] ?
Sur la fin du parcours [PV], Fabienne marche à une vitesse moyenne de 1,2 km/h.
On rappelle que la durée de l'aller simple est estimée à 2 h 30 min.
A-t-elle dépassé cette durée ?
Justifier en faisant apparaître les différentes étapes.
Voir le corrigé de l'exercice 4
Les droites (PN) et (VM) sont perpendiculaires à la même droite (DM) : elles sont donc parallèles.
Les points D, P, V et D, N, M sont alignés et (PN) // (VM). D'après le théorème de Thalès :
\(\dfrac{\text{DP}}{\text{DV}} = \dfrac{\text{NP}}{\text{MV}}\), soit \(\dfrac{3}{3{,}8} = \dfrac{\text{NP}}{741}\), d'où \(741 \times 3 = \text{NP} \times 3{,}8\), puis NP \(= \dfrac{741 \times 3}{3{,}8} = 585\).
Le panneau est à l'altitude de 585 m.
Fabienne a parcouru 3 km en 2 heures : sa vitesse moyenne a donc été égale à
\(\dfrac{3}{2} = 1{,}5\) (km/h).
\(\bullet~~\)Méthode 1
Fabienne doit encore faire 0,8 km à la vitesse de 1,2 km/h : elle va donc mettre
\(\dfrac{0{,}8}{1{,}2} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23\) h, soit \(\dfrac23 \times 60 = 40\) min.
Fabienne va donc monter en 2 h 40 min soit 10 min de plus que la durée estimée. Elle a donc dépassé la durée estimée.
Attention, piège : \(\dfrac{2}{3}\) h ne vaut pas 0,66 min ni 66 min : on convertit en multipliant par 60.\(\bullet~~\)Méthode 2
À la vitesse de 1,2 km/h Fabienne va monter de 0,6 km en une demi-heure soit 30 minutes : donc en 2 h 30 min elle n'aura monté que de \(3 + 0{,}6 = 3{,}6\) km soit moins que la distance totale de 3,8 km. Fabienne va donc dépasser les 2 h 30 min de montée.
Exercice 5 (20 pts)
Annexe : représentation graphique de la fonction \(f\) et tableau de valeurs à compléter.
| A | B | C | D | E | F | G | |
| 1 | \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
| 2 | \(f(x)\) | 0 | \(-3\) | … | … | … | … |
La fonction \(f\), dont la représentation graphique est en annexe est-elle une fonction affine ? Justifier votre réponse.
À l'aide de ce graphique, compléter le tableau de valeurs de la fonction \(f\) sur l'annexe.
Parmi les trois formules suivantes, l'une correspond à l'expression de la fonction \(f\).
Elle a été saisie dans la cellule B2 puis étendue dans la cellule C2 du tableau de l'annexe.
=B1 + 3 =(B1 + 3)\(*\)(B1 \(-\) 1) =SOMME(B1 : G1) Noter la bonne formule sur votre copie.
On considère la fonction affine \(g\) définie par \(g(x) = 2x + 1\).
Calculer l'image de \(-2\) par la fonction \(g\).
Calculer \(g(3)\).
Déterminer l'antécédent de \(2\) par la fonction \(g\).
Tracer, sur le graphique de l'annexe, la représentation graphique de la fonction \(g\).
L'expression de la fonction \(f\) ci-dessus est \(f(x) = (x + 3)(x - 1)\).
Développer et réduire l'expression \((x + 3)(x - 1)\).
Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\), a-t-on \(f(x) = g(x)\) ?
Voir le corrigé de l'exercice 5
Une fonction affine est représentée par une droite : ce n'est pas le cas de la représentation de l'annexe : \(f\) n'est donc pas une fonction affine.
Par lecture graphique :
A B C D E F G 1 \(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) 0 1 2 2 \(f(x)\) 0 \(-3\) \(-4\) \(-3\) 0 5
La bonne formule est la deuxième :
=(B1+3)*(B1-1). Vérification avec B1 = −3 : \((-3+3)\times(-3-1)=0\), c'est bien la valeur de B2.
L'image de \(-2\) par \(g\) est \(g(- 2) = 2 \times (- 2) + 1 = - 4 + 1 = - 3\).
\(g(3) = 2 \times 3 + 1 = 7\).
L'antécédent de \(2\) par la fonction \(g\) est le nombre \(x\) tel que \(g(x) = 2\), soit \(2x + 1 = 2\) ou \(2x = 1\), soit \(x = \dfrac12\).
L'antécédent de \(2\) par la fonction \(g\) est le nombre \(\dfrac12\).
Pour tracer la représentation graphique de la fonction affine \(g\) il suffit de trouver deux points de la droite ; par précaution on en prend trois : (0 ; 1) \((-1~;~-1)\) et (1 ; 3).
Pour tout nombre \(x\), \(f(x) = x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 3\).
\(f(x) = g(x)\) si \(x^2 + 2x - 3 = 2x + 1\), c'est-à-dire \(x^2 = 4\), soit \(x^2 - 4 = 0\) et enfin \((x + 2)(x - 2) = 0\). Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : \(x + 2 = 0\), soit \(x = -2\) ou \(x - 2 = 0\) soit \(x = 2\). Graphiquement, la courbe de f et la droite de g se coupent bien aux points d'abscisses −2 et 2.
Exercice 6 (16 pts)
Un hexagone régulier est un polygone à 6 côtés de même longueur et dont tous les angles mesurent \(120^\circ\).
Les hexagones réguliers se retrouvent fréquemment dans la nature, notamment dans les ruches d'abeilles.
Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{\text{XBC}}\) dans la figure ci-dessous. :
Les points A, B et X sont alignés.
Sur l'annexe, compléter les deux informations manquantes du bloc Hexagone pour qu'il trace un hexagone régulier.
Rappel : s'orienter à \(90^\circ\) permet au lutin de se déplacer vers la droite.
• On considère le script ci-contre qui utilise le bloc Hexagone de l'annexe :
Combien d'hexagones réguliers ce script trace-t-il ?
Quelle est la longueur des côtés du 1er hexagone régulier tracé?
Quelle est la longueur des côtés du 2e hexagone régulier tracé?
Parmi les dessins ci-dessous, lequel correspond à ce script ?
| Dessin 1 | Dessin 2 | Dessin 3 |
 |  |  |
Voir le corrigé de l'exercice 6
On a \(\widehat{\text{XBC}} = 180 - 120 = 60(^\circ)\).
Il faut répéter 6 fois et tourner de 60 degrés (l'angle extérieur trouvé à la question précédente).
Attention, piège : le lutin tourne de l'angle extérieur (60°) et non de l'angle intérieur de l'hexagone (120°).
La boucle « répéter 5 fois » appelle 5 fois le bloc Hexagone : le script trace 5 hexagones.
La longueur vaut 32 avant le premier tracé : les côtés du premier hexagone mesurent 32 pas.
Les côtés du deuxième hexagone mesurent \(32 \times 1{,}5 = 48\) pas (la longueur est multipliée par 1,5 après chaque hexagone).
On obtient le dessin 3 : les hexagones s'agrandissent (rapport 1,5) et partent tous du même point dans la même direction, car le lutin revient à son point de départ après chaque hexagone. Le dessin 1 a des hexagones de même taille, le dessin 2 des hexagones de même centre.
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Au programme du sujet 2023 Nouvelle-Calédonie
Épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet, série générale, session 7 décembre 2023, durée 2 heures, 100 points. Chaque exercice est corrigé en détail, avec la méthode et la rédaction attendue.
- Exercice 1 : qcm et automatismes, fractions, puissances, calcul numérique, proportionnalité et pourcentages, transformations
- Exercice 2 : arithmétique
- Exercice 3 : pythagore et trigonométrie, aires, volumes et grandeurs
- Exercice 4 : thalès et triangles semblables, proportionnalité et pourcentages
- Exercice 5 : fonctions, calcul littéral et équations
- Exercice 6 : scratch et algorithmique, aires, volumes et grandeurs