2025Brevet de maths Nouvelle-Calédonie

935 est un multiple de 5 : il n'est pas premier

\(6 + 8 + 7 = 21\) et 1 + 2 = 3 : 687 est donc multiple de 3 : il n'est pas premier.

Donc 719 est premier.

On peut compléter la figure (en bas à gauche) par un rectangle de longueur \(7 - 2 = 5\) et de largeur \(2\), donc d'aire \(5 \times 2 = 10\).

L'aire de la figure est donc égale à \(7 \times 5 - 10 = 35 - 10 = 25\) (cm\(^2\)).

On peut aussi le découper en un rectangle de 7 sur 3 et un carré de côté 2, soit \(7 \times 3 + 2^2 = 21 + 4 = 25\) (cm\(^2\)).

On a \(f(x) = 3(x + 1) = 3x + 3\) : c'est bien l'expression d'une fonction affine.

On a \(v = \dfrac dt\) avec \(d = 6980\) et \(t = 9\), on obtient une vitesse moyenne de \(\dfrac{6980}{9} \approx 775{,}55\) soit \(\approx 800\) en arrondissant à la centaine le plus proche.

Le nombre de filles est égal à \(730 \times \dfrac{60}{100} = 730 \times 0{,}6 = 438\) (filles)

Méthode 1 : dans le triangle BCD la droite BE est la médiane, la hauteur, donc la médiatrice de [CD] et aussi la bissectrice de l'angle \(\widehat{\text{B}}\). Le point B est donc équidistant de C et de D.

L'angle \(\widehat{\text{CBD}}\) mesure donc \(2 \times 30 = 60(^\circ)\).

Le triangle a donc ses deux autres angles de mesure \(\dfrac{180 - 60}{2} = \dfrac{120}{2} = 60\) et finalement le triangle BCD est un triangle équilatéral de côté \(40\).

• Ou on sait que les hauteurs d'un triangle équilatéral de côté \(a\) mesure \(a\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), soit ici \(40 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt 3\) ;

• Sinon on applique le théorème de Pythagore dans le triangle BDE :

  BD\(^2 = \text{BE}^2 + \text{ED}^2\), d'où \(\text{BE}^2 = \text{BD}^2 - \text{ED}^2 = 40^2 - 20^2 = 1600 - 400 = 1200\).

  Donc BE \(= \sqrt{1200} = \sqrt{400 \times 3 }= \sqrt{400} \times \sqrt 3 = 20\sqrt 3 \approx 34{,}64\), soit 34,6 cm au millimètre près.

Méthode 2 : après avoir démontré que le triangle BCD est un triangle équilatéral et donc que BD \(= 40\), on utilise la définition du cosinus de l'angle \(\widehat{\text{EBD}}\)

\(\cos \widehat{\text{EBD}} = \dfrac{\text{BE}}{\text{BD}}\), d'où BE = \(\text{BD} \times \cos \widehat{\text{EBD}} = 40 \times \dfrac{\sqrt 3}{2} = 20\sqrt 3\).

Le triangle SHT est rectangle en T (Thomas est à la verticale du cerf-volant) ; son hypoténuse est [SH]. Le théorème de Pythagore s'écrit :

\(\text{SH}^2 = \text{ST}^2 + \text{TH}^2\), d'où \(\text{TH}^2 = \text{SH}^2 - \text{ST}^2 = 20{,}5^2 - 7{,}6^2 = 420{,}25 - 57{,}76 = 362{,}49\), donc \(\text{TH} = \sqrt{362{,}49} \approx 19{,}04\), soit environ 19 m.

15 nœuds correspondent à \(15 \times 0{,}514 = 7{,}71\) (m/s), soit \(3600 \times 7{,}71 = 27\,756\) (m/h) soit finalement 27,756 (km/h).

Comme \(27{,}756 > 20\), le vent annoncé peut dépasser 20 km/h : Thomas ne peut donc pas faire voler son cerf-volant sans risque.

1. On obtient \(2 \longmapsto 2 + 4 = 6 \longmapsto 3 \times 6 = 18\).

2. De même \(2 \longmapsto 2 \times 5 = 10 \longmapsto 10 - 3 = 7 \longmapsto 7 - 2 = 5\)

Soit \(f\) la fonction associée au programme A, qui au nombre choisi \(x\) fait correspondre le résultat \(f(x)\).

1. En partant de \(x\) on obtient :

   \(x \longmapsto x + 4 \longmapsto 3(x + 4) = f(x) = 3x + 12\)

2. Il faut résoudre l'équation \(f(x) = 27\) soit \(3x + 12 = 27\) d'où \(3x = 15\) soit \(3 \times x = 3 \times 5\) et enfin \(x = 5\).

1. On a \(g(x) = 5x - 3 - x = 4x - 3\).

2. Il faut trouver l'antécédent par \(g\) de 2, donc résoudre l'équation :

   \(g(x) = 2\) ou \(4x - 3 = 2\) ; en ajoutant à chaque membre 3, on obtient \(4x = 5\) et en multipliant chaque membre par \(\dfrac14\),   \(x = 5\times \dfrac14 = \dfrac54.\)

   L'antécédent par \(g\) de 2 est le nombre \(\dfrac54 = \dfrac{125}{100} = 1{,}25\).

Il faut résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\), soit

\(3x + 12 = 4x - 3\) : en ajoutant à chaque membre \(3 - 3x\), on obtient : \(15 = x\).

On peut vérifier : \(f(15) = 45 + 12 = 57\) et \(g(15) = 60 - 3 = 57\).

Il y a 5 billes bleues pour un total de \(15 + 10 + 5 = 30\) billes.

La probabilité est donc égale à \(\dfrac{5}{30} = \dfrac{1 \times 5}{6 \times 5} = \dfrac16\).

Amandine a 1 chance sur 6 de gagner, alors qu'Alexis n'en a que 1 sur 10. Amandine a plus de chance de gagner qu'Alexis.

20 issues :

(R ; 0) ;  (R ; 1) ; (R ; 2) ; (R ; 3) ; (R ; 4) ; (R ; 5) ; (R ; 6) ; (R ; 7) ; (R ; 8) ; (R ; 9) ;

(V ; 1) ; (V ; 2) ; (V ; 3) ; (V ; 4) ; (V ; 5) ; (V ; 6) ;

(B ; 1) ; (B ; 2) ; (B ; 3) ; (B ; 4).

Les angles \(\widehat{\text{AEB}}\) et \(\widehat{\text{EDC}}\) sont des angles correspondants de même mesure \(110^\circ\), donc les droites (EB) et (DC) sont parallèles.

Les points A, B et C sont alignés, les points A, E et D sont alignés et les droites (EB) et (DC) sont parallèles : on a donc une configuration de Thalès : les mesures des côtés des triangles AEB et ADC sont proportionnelles : en particulier

\(\dfrac{\text{AE}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{EB}}{\text{DC}}\) soit \(\dfrac{6}{15} = \dfrac{4}{\text{DC}}\).

Comme \(\dfrac{6}{15} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac25\).

Donc \(\dfrac25 = \dfrac{4}{\text{DC}}\) : on en déduit par proportionnalité que DC = 10 (cm).

Le rapport de proportionnalité des longueurs des côtés des triangles AEB et ADC est égale à \(\dfrac25 = \dfrac{4}{10}\), donc le rapport de proportionnalité des longueurs des côtés des triangles ADC et AEB est égale à \(\dfrac52 = 2{,}5\).

Comme le calcul de l'aire d'un triangle fait intervenir le produit de la mesure de deux longueurs, l'aire du triangle ADC est égale à celle du triangle AEB multipliée par

\(\left(\dfrac52\right)^2 = \dfrac{25}{4} = 2{,}5^2 = 6{,}25\).

Donc \(\mathcal{A}(\text{ADC}) = 11{,}3 \times 6{,}25 = 70{,}625 \approx 70{,}6\) (cm\(^2\)).

Construire cette figure en vraie grandeur sur l'annexe 1.

Script 1 : Figure C ; Script 2 : Figure A ; Script 3 : Figure B.

Voir l'annexe