2022Brevet de maths Nouvelle-Calédonie

Affirmation n° 1 : 1200 km/h soit \(1\,200\,000\) m en 3600 s soit \(\dfrac{1\,200\,000}{3\,600} \approx 333{,}33\) m par seconde. Or 333,33 < 340,29 : l'avion va moins vite que le son. Affirmation fausse.

Affirmation n° 2 :

\(4(4x - 4) + 16 = 16x - 16 + 16 = 16x\). Or \(16x \neq 16x^2\) en général : par exemple pour \(x = 2\), on obtient 32 d'un côté et 64 de l'autre. Affirmation fausse.

Affirmation n° 3 : \(33 \times 13 = 429\), mais \(33 = 3 \times 11\) n'est pas un nombre premier. La décomposition est \(429 = 3 \times 11 \times 13\). Affirmation fausse.

Question 1 : réponse A. =SOMME(A1:C1) additionne les cellules de A1 à C1.

Question 2 : réponse A. la moyenne est égale à \(\dfrac{15 + 10 + 13 + 9 + 10 + x}{6} = \dfrac{57 + x}{6}\).

On a \(\dfrac{57 + x}{6} = 11\) si \(57 + x = 66\) ou \(x = 9\).

Question 3 : réponse C. L'équateur est un parallèle (les méridiens joignent les deux pôles).

Question 4 : réponse A. Le rayon vaut 6 ÷ 2 = 3 cm, donc \(V = \dfrac{4 \times \pi \times 3^3}{3} = 4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi\). La réponse B (113,097 3…) n'est qu'une valeur approchée.

1. Il y a 3 jours à 10 nœuds, 5 jours à 15, 4 jours à 20 et 3 jours à 25 (total 15). Fréquence : nombre de jours ÷ 15 × 100.

   Vitesse du vent (en nœuds)	10	15	20	25
   Nombre de jours	3	5	4	3
   Fréquence en % arrondie à l'unité	20	33	27	20

2. Il y a 12 jours sur 15 où la vitesse de vent a été supérieure ou égale à 15 nœuds sur la plage, entre le 1^er et le 15 novembre, soit un pourcentage de \(\dfrac{12}{15} \times 100 = \dfrac45 \times 100 = \dfrac{400}{5} = 80\) %.

3. Rangées dans l'ordre : 10 ; 10 ; 10 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 25 ; 25 ; 25. Il y a 15 valeurs : la médiane est la 8^e, soit 15 nœuds.

   Attention, piège : avec un effectif impair (15), la médiane est la valeur du milieu, la 8^e (7 valeurs avant, 7 après).

1. 

2. On a MB\(^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25\) ;

   D'autre part \(\text{MW}^2 + \text{WB}^2 = 6^2 + 4{,}5^2 = 36 + 20{,}25 = 56{,}25\).

   Donc \(\text{MB}^2 = \text{MW}^2 + \text{WB}^2\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MWB est rectangle en W.

3. Dans le triangle rectangle en W, MWB, on a \(\cos \widehat{\text{BMW}} = \dfrac{\text{MW}}{\text{MB}} = \dfrac{6}{7{,}5} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\).

   La calculatrice donne \(\widehat{\text{BMW}} \approx 36{,}87 \approx 37(^\circ)\).

4. 1. Voir la figure.

   2. Voir la figure.

   3. Les points W, E, M et W, F, B sont alignés et (EF) // (MB) : d'après le théorème de Thalès,

      \(\dfrac{\text{WE}}{\text{WM}} = \dfrac{\text{WF}}{\text{WB}}\), ou encore \(\dfrac{\text{WE}}{6} = \dfrac{3}{4{,}5}\), d'où WE \(= 6 \times \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{18}{4{,}5} = \dfrac{36}{9} = 4\) (cm).

5. 1. Voir la figure.

   2. Voir la figure.

6. On a MT \(= 10 = \text{MW} + \text{WT} = 6 + \text{WT}\), d'où \(\text{WT} = 10 - 6 = 4\).

   T est sur la demi-droite [MW) au-delà de W (car MT > MW) et E est sur [MW] : W est entre E et T. Comme WE \(= 4\), TE \(= \text{TW} + \text{WE} \(= 4 + 4 = 8\) cm.

1. 4 heures à 1600 F coûtent \(4 \times 1600 = 6400\) (F).

2. 1. 4 heures de cours avec le tarif personnalisé coûtent \(4800 + 4 \times 600 = 4800 + 2400 = 7200\) (F).

   2. \(10\) heures de cours avec le tarif personnalisé coûtent \(4800 + 10 \times 600 = 4800 + 6000 = 10\,800\) (F).

   3. On a \(P(x) = 4800 + x \times 600 = 4800 + 600x\).

1. 1. Graphiquement, les deux droites se coupent au point d'abscisse 6. Par le calcul : \(1\,600x = 9\,600\) donne \(x = 6\). Pour 6 heures de cours, les tarifs découverte et renforcé coûtent tous les deux 9 600 F.

   2. Voir le graphique ci-dessous. On utilise les points (4 ; 7200) et (10 ; 10800) des questions 2. a. et 2. b.

      

   3. En traçant la verticale à partir du point (7 ; 0), la première droite rencontrée est celle du tarif personnalisé qui est donc le moins cher.

      Par le calcul, pour 7 heures : tarif découverte \(7\times1\,600=11\,200\) F ; tarif personnalisé \(P(7)=600\times7+4\,800=9\,000\) F ; tarif renforcé 9 600 F. Le tarif personnalisé est le plus économique.

2. \(\bullet~~\) Graphiquement pour 8 heures de cours Juliette paiera le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé.

   \(\bullet~~\) Par le calcul : Il faut trouver \(x\) tel que \(P(x) = 9\,600\) :

   \(4800 + 600x = 9600\), soit \(600x = 4800\) ou \(x = \dfrac{4800}{600} = 8\).

   Pour 8 heures de cours le prix est le même avec le tarif renforcé et le tarif personnalisé.

1. Gabriel a noté (3 ; 2).

   1. Gabriel a obtenu 3 au premier lancer.

   2. Gabriel a obtenu 2 au second lancer.

2. (1 ; 1) (1 ; 2) (1 ; 3) (1 ; 4) (2 ; 1) (2 ; 2) (2 ; 3) (2 ; 4) (3 ; 1) (3 ; 2) (3 ; 3) (3 ; 4) (4 ; 1) (4 ; 2) (4 ; 3) (4 ; 4).

3. L'évènement \(A\) est impossible : la plus petite somme est 2.

4. (1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 1).

5. Il y a 4 issues favorables sur les 16 possibles, donc \(p(C) = \dfrac{4}{16} = \dfrac14 = 0{,}25\).

1. Le lutin trace un segment de 6 cm (60 pas), puis un carré de 4 cm de côté (4 fois : avancer de 40 pas, tourner de 90°) :

   

2. La figure compte 8 motifs régulièrement répartis autour du point de départ : il faut répéter 8 fois, revenir au centre (aller à x : 0 y : 0) et tourner de \(360 \div 8 = \) 45 degrés.