2026Brevet de maths Centres étrangers

Question 1

On range les valeurs dans l'ordre croissant : -1 °C; 0 °C; 1 °C; 3 °C; 7 °C.

La médiane est la valeur qui est au milieu de la série, c'est 1 °C.

Question 2

Question 3

Il y a 8 boules dont 3 sont rouges, donc \(P(\text{rouge})=\dfrac38=0{,}375\)

Question 5

\(311\,200\,000=3{,}112\times100\,000\,000\)   et   \(100\,000\,000=10^8\) (huit zéros),

donc l'écriture scientifique de 311 200 000 est \(3{,}112\times10^8\)

Question 6

2 h 30 min c'est 2 heures plus la moitié d'une heure.

Charlie a donc parcouru deux fois 40 km plus la moitié de 40 km :   \(40 \times 2 + 40 \div 2 = 80 + 20 = 100\).

Au total, Charlie a fait 100 km.

Question 7

\(5(x+1)=5\times x + 5\times 1 = 5x+5\), donc la forme factorisée est \(5(x+1)\).

Question 8

La diminution du prix est calculée par

\(x=80\times\dfrac{10}{100}\), qu'il faut retrancher du prix initial, donc le calcul à effectuer est \(80-\dfrac{10}{100}\times80\).

Question 9

Entre 14 h 30 à 19 h environ, le niveau a été plus élevé que 4 m, cela a donc duré environ 4 h 30 min.

1. 

   Commencer par tracer le segment [AM] (9,6 cm) avec le point B intercalé à 6,4 cm de A.

   Puis tracer les deux perpendiculaires en B et M.

   Laisser apparent un bel arc de cercle centré sur A et de rayon 8.

   À l'intersection avec la perpendiculaire en B, on place le point C.

   On peut ensuite tracer la droite (AC) et placer N à l'intersection avec la perpendiculaire en M.

2. ABC est un triangle rectangle en B, selon le théorème de Pythagore, \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\).

   Donc \(\text{BC}^2=8^2-6{,}4^2=23{,}04\) et \(\text{BC}=\sqrt{23{,}04}=4{,}8\).

   La longueur BC mesure 4,8 cm.

3. (BC) et (MN) sont toutes deux perpendiculaires à (AM).

   Comme deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles, (BC) et (MN) sont parallèles.

4. • Les points A, B et M sont alignés;

   • les points A, C et N sont alignés;

   • (BC) et (MN) sont parallèles.

   Donc, selon le théorème de Thalès,   \(\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}\)

   Comme B appartient au segment [AM], \(\text{AM}=\text{AB}+\text{BM}=6{,}4+3{,}2=9{,}6\) cm.

   En remplaçant : \(\dfrac{6{,}4}{9{,}6}=\dfrac{8}{\text{AN}}=\dfrac{4{,}8}{\text{MN}}\), donc \(\text{MN}=\dfrac{4{,}8\times 9{,}6}{6{,}4}=7{,}2\)  et   \(\text{AN}=\dfrac{8\times 9{,}6}{6{,}4}=12\).

   Les longueurs MN et AN sont respectivement 7,2 cm et 12 cm.

5. Le périmètre du triangle ABC est de \(6{,}4+4{,}8+8=19{,}2\,\mathrm{cm}\).

   Comme C appartient au segment [AN], \(\text{CN}=\text{AN}-\text{AC}=12-8=4\,\mathrm{cm}\).

   Donc le périmètre de BMNC est égal à \(3{,}2+7{,}2+4+4{,}8=19{,}2\,\mathrm{cm}\).

   Les deux figures ont le même périmètre et celui-ci est de 19,2 cm.

   Attention, piège : le côté [BC] compte dans les deux périmètres, mais [AB] et [AC] ne font pas partie du quadrilatère BMNC : on additionne BM, MN, NC et CB.

Partie A

1. La longueur totale d'un bonbon est de 15 mm.

   À chaque extrémité, il y a une demi-boule de rayon 2,5 mm.

   Donc la partie cylindrique a une hauteur égale à \(15-2\times2{,}5=10\,\mathrm{mm}\).

2. 1. La partie cylindrique a pour base un disque de rayon 2,5 mm,

      son aire est égale à \(\pi \times2{,}5^2\approx19{,}63\,\mathrm{mm}^{2}\).

      La hauteur du cylindre est de 10 mm,

      donc son volume est égal à \(10\times(\pi\times2{,}5^2)\approx 196\,\mathrm{mm}^{3}\).

   2. Les deux demi-boules qui constituent les extrémités ont, ensemble, le volume d'une boule de rayon 2,5, soit   \(\dfrac43 \times \pi\times 2{,}5^3\approx 65{,}4\,\mathrm{mm}^{3}\).

      Léa a donc raison, puisque la somme des volumes de la partie cylindrique et des deux extrémités est égale à \(196{,}3+65{,}4=261{,}7\) qui s'arrondit à 262 mm³.

      Variante: Le volume des deux demi-boules est environ 65 mm³, le volume total d'un bonbon est de 261 mm³, donc Léa a raison.

3. Un bonbon demande un volume d'environ 262 mm³,

   donc pour produire 300 000 bonbons, il faut \(300\,000\times262=78\,600\,000\,\mathrm{mm}^{3}\) de mélange.

   Or   \(1\,\mathrm{litre} = 1\,\mathrm{dm}^{3} = 1000\,\mathrm{cm}^{3} = 1\,000\,000\,\mathrm{mm}^{3}\).

   Donc   \(78\,600\,000\,\mathrm{mm}^{3}=78{,}6\,\mathrm{litres}\) :

   83 litres seront donc plus que suffisants pour produire 300 000 bonbons.

   Rappel de méthode : autre méthode : \(83\text{ L}=83\,000\,000\text{ mm}^3\) et \(83\,000\,000\div 262\approx 316\,794\) bonbons, donc plus de 300 000.

Partie B

Avec le format A, Léa paiera \(2\times7{,}90=15{,}80\,\mathrm{€{}}\) pour 1 kilo de bonbons.

Avec le format B, il lui faudra acheter 4 sachets, les 3 premiers à 4,30 €{}, le quatrième à 2,15 €{}.

Cela lui coûtera au total   \(3\times4{,}30+2{,}15=15{,}05\,\mathrm{€{}}\).

Léa a donc intérêt à profiter de la promotion sur les sachets B.

1. On choisit \(1\) comme nombre de départ :

   

   Si on choisit \(1\), on obtient effectivement \(-21\) avec le programme A.

2. \(10\xrightarrow{\text{élever au carré}}10^2=100\)  puis   \(100 \xrightarrow{\text{soustraire }9}100-9=91\)

   Avec le programme B, on obtient \(91\) lorsque le nombre de départ est \(10\).

3. Si on choisit \(x\) comme nombre de départ, le programme B calcule \(x^2-9\).

   On cherche donc pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) on obtient \(16\),

   autrement dit   \(x^2-9=16\iff x^2-25=0\).

   On remarque que \(25=5^2\), donc on peut factoriser une identité remarquable et l'équation à résoudre devient \((x-5)(x+5)=0\).

   Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul; donc il y a deux solutions qui sont \(-5\) et \(5\).

   Si on choisit un de ces deux nombres, on obtiendra \(16\) avec le programme B.

4. Ligne 3, on ajoute 6, ligne 4, on soustrait 4 et enfin ligne 5 on fait le produit des 2 résultats intermédiaires.

   

5. On choisit \(x\) comme nombre de départ dans le programme A :

   

   On développe :   \((x+6)(x-4)=x^2-4x+6x-24=x^2+2x-24\).

   Avec le programme A, on calcule \(x^2+2x-24\).

6. On sait que le programme A calcule   \(x^2+2x-24\)   et le programme B   \(x^2-9\).

   Les deux programmes donnent le même résultat si et seulement si   \(x^2+2x-24=x^2-9\).

   Cette équation peut se simplifier en soustrayant \(x^2\) à chaque membre, et elle devient :

   \(\begin{aligned} 2x-24=-9&\iff2x=15\\&\iff x=\dfrac{15}{2} \end{aligned}\)

   Les deux programmes donnent le même résultat si on choisit comme nombre de départ \(\dfrac{15}{2}=7{,}5\) et ce résultat est 47,25.

   Rappel de méthode : on vérifie avec le programme B : \(7{,}5^2-9=56{,}25-9=47{,}25\).