2022Brevet de maths Centres étrangers

Partie A

1. \(f\) est une fonction affine de coefficient directeur 2 et d'ordonnée à l'origine 3 : sa représentation est une droite qui monte et coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; 3).

   Réponse A

2. \(f(-2)=2\times(-2)+3=-4+3=-1\)

   Réponse B

3. Dans la cellule B2, on veut l'image du nombre écrit en B1 : on saisit =2*B1+3. En étirant vers la droite, la formule devient =2*C1+3 en C2. La réponse C ne marcherait que pour −2.

   Réponse B

Partie B

1. \((2x - 1)(3x + 4) - 2x =(2x)\times(3x)+(2x)\times 4 - 1\times (3x) -1 \times 4 - 2x = 6x^2 +8x -3x -4 - 2x\\ \phantom{(2x - 1)(3x + 4) - 2x } = 6x^2 + 3x - 4\).

2. Seul [DE] le côté le plus long pourrait être l'hypoténuse ; on vérifie si oui ou non :

   \(\text{DE}^2 = \text{CD}^2 + \text{CE}^2\). Or

   \(\text{CD}^2=3{,}6^2=12{,}96\); \(\text{CE}^2=4{,}2^2=17{,}64\) et \(\text{DE}^2=5{,}5^2=30{,}25\)

   \(12{,}96 + 17{,}64 = 30{,}6 \neq 30{,}25\) donc \(\text{DE}^2 \neq \text{CD}^2 + \text{CE}^2\) : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle CDE n'est pas rectangle.

   Attention, piège : pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle, on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres ; « presque égal » (30,6 et 30,25) ne suffit pas.

1. On étudie la série des distances parcourues par étape.

   1. La distance moyenne parcourue par étape est en km:

      \(\dfrac{166+188+187{,}5+200+202{,}5+119{,}5+93}{7}=\dfrac{1156{,}5}{7} \approx 165{,}2\). La distance moyenne est d'environ 165,2 km par étape.

   2. Pour calculer la médiane des distances parcourues par étape, on commence par ranger les distances en ordre croissant:

      93 – \(119{,}5\) – 166 – \(187{,}5\) – 188 – 200 – \(202{,}5\)

      Il y a un nombre impair de distances donc la médiane est la distance située « au milieu » donc la 4^e, c'est-à-dire \(187{,}5\) km.

   3. L'étendue de la série formée par les distances parcourues par étape est égale à \(202{,}5-93\) soit \(109{,}5\) km.

2. Il y a en tout 4 étapes sur 7 en profil accidenté soit un pourcentage de

   \(\dfrac{4}{7} \times 100 \approx 57{,}1\), soit environ \(57\,\%\) : le journaliste a raison.

3. De 28 h 50 min à 29 h, il y a 10 min, et de 29 h à 30 h 12 min, il y a 1 h 12 min; donc de 28 h 50 min à 30 h 12 min, il y a 1 h 22 min.

   Le dernier au classement a donc accumulé 1 heure et 22 minutes de retard par rapport au vainqueur.

   Attention, piège : on ne soustrait pas les durées comme des nombres décimaux (30,12 − 28,50) : 1 h = 60 min.

4. L'Irlandais Sam BENNETT a remporté la première étape en 3 h 51 min, soit \(3\times 60+51=231\) min. Sa vitesse moyenne en km/h répond à la question: il a parcouru 166 kilomètres en 231 minutes, combien de kilomètres a-t-il parcourus en 60 minutes?

   \(\dfrac{166}{231}\times 60 \approx 43\) donc sa vitesse moyenne est d'environ 43 km/h (166 ÷ 3,85 ≈ 43,1, avec 3 h 51 min = 3,85 h).

1. Le triangle ABC est rectangle en B donc \(\cos \left ( \widehat{\text{BAC}} \right )=\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}\).

   Or \(\widehat{\text{BAC}}=60^\circ\) et \(\cos \left (60^\circ\right )=\dfrac{1}{2}\). De plus \(\text{AC}=8\).

   Donc \(\dfrac{1}{2}= \dfrac{\text{AB}}{8}\) donc \(\text{AB}=4\). Le segment [AB] mesure 4 cm.

2. Les points B, A, D d'une part, et C, A, E d'autre part sont alignés dans le même ordre.

   \(\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} = \dfrac{8}{4}=2\) et \(\dfrac{\text{AE}}{\text{AD}} = \dfrac{19{,}2}{9{,}6}=2\) donc \(\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AE}}{\text{AD}}\)

   D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut en conclure que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

   Rappel de méthode : réciproque du théorème de Thalès : si les points sont alignés dans le même ordre et que les rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles.

3. La droite (DB) est perpendiculaire à la droite (BC), et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Or, quand deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

   On en déduit que la droite (DB) est perpendiculaire à la droite (DE).

4. L'aire du triangle ADE, rectangle en D, est: \(\dfrac{\text{DE}\times \text{AD}}{2}\); on calcule DE.

   Le triangle ADE est rectangle en D donc, d'après le théorème de Pythagore, on a:

   \(\text{AE}^2 = \text{AD}^2 + \text{DE}^2\) donc \(19{,}2^2 = 9{,}6^2 + \text{DE}^2\) donc \(\text{DE}^2 = 276{,}48\) donc \(\text{DE}= \displaystyle\sqrt{276{,}48}\)

   \(\dfrac{\text{DE}\times \text{AD}}{2}=\dfrac{\displaystyle\sqrt{276{,}48}\times 9{,}6}{2} \approx 80\)

   L'aire du triangle ADE vaut environ 80 cm\(^2\).

Partie A

Le script complété est le suivant :

Partant vers la droite, le lutin trace le côté de 40 pixels, tourne vers la gauche de 180 − 140 = 40°, trace le côté de 30 pixels, puis tourne de 180 − 40 = 140° ; la boucle « répéter 2 fois » trace les deux autres côtés.

Partie B

1. Le programme de l'élève B se lance en appuyant sur la barre d'espace (« quand espace est cliqué »).

2. 1. Élève A : figure 1. Le lutin trace 9 motifs alignés en avançant de 50 pixels entre deux motifs, sans changer de direction.

   2. Élève B : figure 4. Le lutin reste au même point et tourne de 40° vers la gauche après chaque motif : 9 × 40 = 360°, les 9 motifs font le tour du point de départ.

1. Il a confectionné \(300\) truffes: \(125\) truffes parfumées au café et \(175\) truffes enrobées de noix de coco. Il souhaite fabriquer ces boîtes de sorte que:

   • Le nombre de truffes parfumées au café soit le même dans chaque boîte;

   • Le nombre de truffes enrobées de noix de coco soit le même dans chaque boîte;

   • Toutes les truffes soient utilisées.

   1. \(125=5\times 5\times 5 = 5^3\) et \(175=5\times 5\times 7 = 5^2\times 7\).

   2. On cherche le PGCD de 125 et 175.

      125	5	5	5
      175		5	5	7
      PGCD		5	5

      Donc le PGCD de 125 et 175 est \(5\times 5=25\), donc les diviseurs communs de 125 et 175 sont les diviseurs de 25, c'est-à-dire: 1, 5 et 25.

   3. Le nombre de boîtes doit être un diviseur commun de 125 et 175 : le chocolatier pourra réaliser au maximum 25 boîtes.

   4. \(\dfrac{125}{25}=5\) donc il y aura 5 truffes parfumées au café dans chacune des 25 boîtes.

      \(\dfrac{175}{25}=7\) donc il y aura 7 truffes enrobées de noix de coco dans chacune des 25 boîtes.

2. • Les truffes

     La truffe est assimilée à une boule de diamètre \(1{,}5\) cm, donc de rayon \(0{,}75\) cm; son volume est donc, en cm\(^3\): \(\dfrac{4}{3}\times \pi\times 0{,}75^3\).

     Le volume occupé par 12 truffes est donc de \(12\times \dfrac{4}{3}\times \pi\times 0{,}75^3=6{,}75\pi\) soit environ \(21{,}2\) cm\(^3\).

   • La pyramide

     La pyramide a une base carrée de côté \(4{,}8\) cm; l'aire de sa base est donc, en cm\(^2\): \(4{,}8\times 4{,}8 = 23{,}04\).

     Son volume est, en cm\(^3\): \(\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3} = \dfrac{23{,}04\times 5}{3}=38{,}4\).

     Le volume de la pyramide est de \(38{,}4\) cm\(^3\); celui des 12 truffes est d'environ \(21{,}2\) cm\(^3\).

     Le volume non occupé par les truffes est d'environ \(38{,}4 - 21{,}2\) soit \(17{,}2\) cm\(^3\); il est inférieur au volume des 12 truffes donc la boîte en forme de pyramide convient.

   • Le pavé droit

     Le pavé droit a pour volume, en cm\(^3\): \(5\times 3{,}5 \times 3{,}5 = 61{,}25\).

     Si on met 12 truffes dans cette boîte, le volume non occupé par les truffes est d'environ \(61{,}25-21{,}2\) soit \(40{,}05\) cm\(^3\); il est supérieur au volume des 12 truffes donc la boîte en forme de pavé droit ne convient pas. Le chocolatier doit donc choisir la boîte de type A (pyramide).