2023Brevet de maths Centres étrangers

Partie A

1. Réponse C. Les angles d'un triangle équilatéral mesurent 60°, mais le lutin tourne de l'angle extérieur : 180 − 60 = 120°.

2. Réponse C. Le premier triangle est tracé au-dessus du segment de départ (le lutin tourne vers la gauche). Le lutin revient au départ, tourne de 60° puis trace un second triangle accolé au côté gauche du premier : les deux triangles ont un côté commun.

3. Réponse B. Avec 6 répétitions, le lutin tourne en tout de 6 × 60 = 360° : six triangles équilatéraux accolés autour du point de départ forment un hexagone régulier.

Partie B

1. Réponse C. On calcule d'abord le produit : \(\dfrac13\times\dfrac75=\dfrac{7}{15}\), puis \(\dfrac23-\dfrac{7}{15}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{7}{15}=\dfrac{3}{15}\). Diviser par \(\dfrac43\), c'est multiplier par son inverse \(\dfrac34\).

2. Réponse B. \(302{,}4=3{,}024\times10^{2}\), donc \(302{,}4\times10^{18}=3{,}024\times10^{20}\). La réponse C n'est pas une écriture scientifique : le nombre devant la puissance de 10 doit être compris entre 1 et 10 (10 exclu).

3. Réponse B. Rangées dans l'ordre : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18. Il y a 8 valeurs : la médiane est la moyenne des 4^e et 5^e valeurs, soit 12 g. Remplacer 18 par 16 ne change pas ces deux valeurs : la médiane reste 12 g.

Partie A: Étude du toboggan

1. On a \(\tan \widehat{\text{DEF}} = \dfrac{\text{DF}}{\text{DE}} = \dfrac{1{,}2}{2{,}04} \approx 0{,}588\).

   La calculatrice (touche arctan ou tan⁻¹) donne \(\widehat{\text{DEF}} \approx 30{,}5\)°, soit 30 ° à l'unité près : le toboggan est sécurisé.

2. Dans le triangle DEF rectangle en D le théorème de Pythagore donne :

   EF\(^2 = \text{ED}^2 + \text{DF}^2 = 1{,}2^2 + 2{,}04^2 = 5{,}6016\), d'où :

   EF \(= \sqrt{5{,}6016} \approx 2{,}366 \approx 2{,}37\) au centième près.

   Rappel de méthode : dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu = côté opposé ÷ côté adjacent (SOH CAH TOA).

Partie B : Étude de l'échelle

1. On sait que (MN) et (AC) sont perpendiculaires à (BC), or, lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles, on en déduit que (MN) et (AC) sont parallèles.

2. Les points B, M, A et B, N, C sont alignés et (MN) // (AC). D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{\text{BN}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{AC}}\), soit \(\dfrac{0{,}84}{1{,}2} = \dfrac{\text{MN}}{0{,}5}\), d'où MN \(= \dfrac{0{,}5 \times 0{,}84}{1{,}2} = \dfrac{0{,}42}{1{,}2} = 0{,}35\) (m).

Partie C : Étude du bac à sable

1. On a \(V = 200 \times 180 \times 20 = 720\,000\) (cm\(^3\))

2. En divisant le volume en 5 parties le sable à maçonner en occupe 3, soit :

   \(0{,}72 \times \dfrac35 = 0{,}72 \times 0{,}6 = 0{,}432\) (m\(^3\)).

   Par différence ou en calculant les \(\dfrac25\) du volume total, le volume du sable fin est :

   \(0{,}72 - 0{,}432 = 0{,}72 \times \dfrac25 = 0{,}72 \times 0{,}4 = 0{,}288\) (m\(^3\)).

   Rappel de méthode : un ratio 3 : 2 partage le total en 3 + 2 = 5 parts égales : 3 parts pour le premier, 2 pour le second.

3. On a \(\dfrac{0{,}432}{0{,}022} \approx 19{,}6\) : il faut donc acheter 20 sacs de sable à maçonner et comme

   \(\dfrac{0{,}288}{0{,}016} = 18\) : il faut donc acheter 18 sacs de sable fin.

   Le coût d'achat du sable est donc :

   \(20 \times 2{,}95 + 18 \times 5{,}95 = 59 + 107{,}10 = \(166{,}10\) €.

   Attention, piège : on ne peut acheter que des sacs entiers : 19,6 sacs se traduit par 20 sacs. Le poids des sacs (35 kg, 25 kg) ne sert à rien ici.

1. Si le nombre choisi au départ est 6 alors avec le programme d'Amir on obtient:

   \((6 - 5) \times 2 = 2\).

   Avec le programme de Sonia, on obtient : \((6 + 3) \times 6 - 16 = 54 - 16 = 38\).

2. 1. La formule qui a été saisie dans la cellule B2 avant d'être étirée vers la droite est :

      =(B1-5)*2 (avec B1, la formule s'adapte à chaque colonne quand on l'étire).

   2. D'après la feuille de calcul, le nombre qu'ils doivent choisir pour obtenir des résultats égaux avec les deux programmes est \(2\) puisque l'on obtient \(- 6\) avec les deux programmes.

3. 1. Le résultat obtenu avec le programme de Sonia est donné par \((x+3)\times x - 16 = x^2 + 3x - 16\).

   2. Les programmes donnent le même résultat si

      \((x - 5) \times 2 = x^2 + 3x - 16\), c'est-à-dire \(2x - 10 = x^2 + 3x - 16\), d'où \(x^2 +x - 6 = 0\) et en factorisant on obtient bien \((x-2)(x+3)= 0\).

      Les solutions de cette équation-produit nul sont \(x - 2 =0\) ou \(x + 3 = 0\) c'est-à-dire \(x = 2\) (on retrouve la solution donnée par le tableur) ou \(x = -3\).

      Donc les deux programmes de calcul renvoient le même résultat si on choisit au départ \(- 3\) ou \(2\).

      Attention, piège : le tableur ne testait que les entiers de −2 à 4 : il ne pouvait pas faire apparaître la solution −3. Seule la résolution algébrique garantit d'avoir toutes les solutions.
      Rappel de méthode : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

Partie A : étude du jeu

1. On pioche au hasard une boule dans l'urne.

   1. Il y a en tout 7 boules dont 4 sont rouges, la probabilité de tirer une boule rouge est donc de \(\dfrac47\).

   2. Les nombres pairs sont 2 et 4, ils sont présents sur 3 boules différentes donc la probabilité de tirer une boule dont le numéro est un nombre pair est de \(\dfrac37\).

3. On construit un tableau à double entrée donnant toutes les issues

   1er \ 2e	N1	N2	N3	R1	R2	R3	R4
   N1				×
   N2				×
   N3				×
   R1	×	×	×
   R2
   R3
   R4

   Le tableau compte 7 × 7 = 49 issues équiprobables (la boule est remise). Les issues gagnantes, marquées ×, sont « R1 puis une noire » (3 issues) et « une noire puis R1 » (3 issues).

   Il y a 6 issues favorables donc la probabilité de gagner est de \(\dfrac{6}{49}\).

   Attention, piège : l'ordre n'est pas imposé : il faut compter aussi bien « R1 puis noire » que « noire puis R1 ».

Partie B : constitution des lots

1. Oui : on peut faire 3 lots puisque \(\dfrac{195}{3} =65\) et \(\dfrac{234}{3} = 78\) donc chacun des 3 lots sera constitué de \(65\) figurines et \(78\) autocollants.

2. \(195 = 5 \times 39 = 5 \times 3 \times 13 = 3 \times 5 \times 13\).

3. \(195 = 3 \times 5 \times 13\) et \(234 = 2 \times 3^2 \times 13\).

   1. Le nombre de lots doit diviser 195 et 234. Les facteurs premiers communs sont 3 et 13 : le plus grand diviseur commun est \(3 \times 13 = 39\). On peut donc constituer au maximum 39 lots.

   2. Chaque lot sera alors composé de \(\dfrac{195}{39} = 5\) figurines et \(\dfrac{234}{39} = 6\) autocollants.

1. Étude du tarif proposé par la société A

   1. Par lecture graphique, avec la société A, on paie 60 € pour 2 heures.

   2. On peut louer un bateau pendant 3 heures, coût \(90\) €. On n'a pas assez pour 4 heures qui coûtent \(120\) €.

   3. Le prix est proportionnel à la durée de location car la représentation graphique est celle d'une fonction linéaire, en effet c'est une droite qui passe par l'origine du repère.

   4. Le graphique montre que 1 heure coûte 30 € : le tarif A est donné par la fonction linéaire \(g(x) = 30x\).

      Pour une durée de location de 10 heures, le prix à payer est \(g(10) = 30 \times 10 = 300\), soit 300 €.

2. Étude du tarif proposé par la société B

   1. Pour 2 heures de location le prix s'élève à : \(60 + 2 \times 15 = 60 + 30 = 90\) ( €).

   2. \(f\) est une fonction affine : sa représentation est une droite. Elle passe par les points (0 ; 60) et (4 ; 120), car \(f(0)=60\) et \(f(4)=15\times4+60=120\).

      

   3. Non : la représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l'origine du repère (2 h coûtent 90 € mais 4 h coûtent 120 €, pas 180 €).

3. Comparaison des deux tarifs

   1. Avec la société A le prix demandé est \(3 \times 30 = 90\), soit 90 €.

      Avec la société B le prix demandé est \(3 \times 15 + 60 = 45 + 60 = 105\), soit 105 €.

      La société A est la plus intéressante.

   2. \(\bullet~~\)Par le calcul : on résout l'équation \(30x = 15x + 60\) ou \(15x = 60\) ou \(15 \times x = 15 \times 4\), soit \(x = 4\) ;

      \(\bullet~~\)Graphiquement : les deux représentations graphiques sont sécantes au point d'abscisse \(x = 4\).

      Pour une location de 4 heures le prix est le même pour les deux sociétés. Ce prix commun est 120 €.

      Rappel de méthode : une situation est de proportionnalité si et seulement si sa représentation graphique est une droite passant par l'origine (fonction linéaire).