Annales du brevet de maths › 2021
2021Brevet de maths Centres étrangers
Épreuve de mathématiques, série générale, juin 2021
Mis à jour le 11 novembre 2026
Exercice 1 (24 pts)
Dans cet exercice, chaque question est indépendante. Aucune justification n'est demandée.
Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
À partir du triangle BEJ, rectangle isocèle en J, on a obtenu par pavage la figure ci-contre.
Quelle est l'image du triangle BEJ par la symétrie d'axe (BD) ?
Quelle est l'image du triangle AMH par la translation qui transforme le point E en B ?
Par quelle transformation passe-t-on du triangle AIH au triangle AMD ?
Calculer en détaillant les étapes :
\[\dfrac{7}{2} + \dfrac{15}{6} \times \dfrac{7}{25}\]On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Pour cette question, on indiquera sur la copie l'unique bonne réponse. Sachant que le diamètre de la Lune est d'environ 3474 km, la valeur qui approche le mieux son volume est :
Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D \(12{,}3 \times 10^{17}\mathrm{~km}^3\) \(1\,456\,610\mathrm{~km}^3\) \(1{,}8 \times 10^{11}\mathrm{~km}^3\) \(2{,}2 \times 10^{10}\mathrm{~km}^3\) On considère un triangle RST rectangle en S. Compléter le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie. On arrondira la valeur des angles à l'unité.
Longueurs Angles Périmètre du triangle RST Aire du triangle RST RS = 10 mm \(\widehat{\text{RST}} = 90^\circ\) \(\mathcal{P}\) = … \(\mathcal{A}\) = … ST = 24 mm \(\widehat{\text{STR}} \approx\) … RT = 26 mm \(\widehat{\text{SRT}} \approx\) …
Voir le corrigé de l'exercice 1
\(360 = 9 \times 40 = 9 \times 8 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5\).
B et J sont sur l'axe (BD) : ils sont leur propre image.
Enfin l'image de E est le point F.
Donc l'image du triangle BEJ par la symétrie d'axe (BD) est le triangle BJF.
La translation qui transforme le point E en B transforme A en E, M en F et H en M.
Donc le triangle AMH a pour image EFM.
Le triangle AMD a des côtés deux fois plus longs que ceux du triangle AIH (AM = 2 AI et AD = 2 AH).
Le point A étant commun aux deux triangles, le triangle AMD est l'image du triangle AIH par l'homothétie de centre A et de rapport 2.
\(\dfrac{7}{2} + \dfrac{15}{6} \times \dfrac{7}{25} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{15\times 7 }{6\times25} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{5 \times 3 \times 7 }{2 \times 3 \times 5\times 5} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{35}{10} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{42}{10} = \dfrac{2 \times 21}{2 \times 5} = \dfrac{21}{5}\)
Le rayon de la Lune vaut environ 3 474 ÷ 2 = 1 737 km. Une boule de rayon \(R\) a un volume de \(V = \dfrac{4}{3}\times \pi R^3\).
Donc le volume de la Lune est environ :
\(V_{\text{Lune}} \approx \dfrac{4}{3}\times \pi \times 1737^3 \approx 2{,}195 \times 10^{10}\) ; donc réponse D : \(2{,}2 \times 10^{10}\).
Pour les angles, on peut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.
Avec le cosinus : \(\cos \widehat{\text{STR}} = \dfrac{\text{ST}}{\text{RT}} = \dfrac{24}{26} = \dfrac{12}{13}\).
La calculatrice donne \(\widehat{\text{STR}} \approx 22{,}6\), soit 23° au degré près.
L'angle complémentaire \(\widehat{\text{SRT}}\) mesure donc \(67^\circ\) au degré près.
Périmètre : 10 + 24 + 26 = 60 mm. Aire (triangle rectangle en S) : \(\dfrac{10\times24}{2}=120\) mm².
Longueurs Angles Périmètre du triangle RST Aire du triangle RST RS = 10 mm \(\widehat{\text{RST}} = 90^\circ\) \(\mathcal{P}\) = 60 mm \(\mathcal{A}\) = 120 mm² ST = 24 mm \(\widehat{\text{STR}} \approx\) 23° RT = 26 mm \(\widehat{\text{SRT}} \approx\) 67°
Exercice 2 (21 pts)
Partie 1
Dans cette première partie, on lance un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6, puis on note le numéro de la face du dessus.
Donner sans justification les issues possibles.
Quelle est la probabilité de l'évènement A : « On obtient 2 » ?
Quelle est la probabilité de l'évènement B : « On obtient un nombre impair » ?
Partie 2
Dans cette deuxième partie, on lance simultanément deux dés bien équilibrés à six faces, un rouge et un vert. On appelle « score » la somme des numéros obtenus sur chaque dé.
Quelle est la probabilité de l'évènement C : « le score est 13 » ? Comment appelle-t-on un tel évènement ?
Dans le tableau à double entrée donné en ANNEXE, on remplit chaque case avec la somme des numéros obtenus sur chaque dé.
Compléter, sans justifier, le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
Dé rouge \ Dé vert 1 2 3 4 5 6 1 2 3 7 4 6 5 6 Donner la liste des scores possibles.
Déterminer la probabilité de l'évènement D : « le score est 10 ».
Déterminer la probabilité de l'évènement E : « le score est un multiple de 4 ».
Démontrer que le score obtenu a autant de chance d'être un nombre premier qu'un nombre strictement plus grand que 7.
Voir le corrigé de l'exercice 2
Partie 1
Les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6.
La probabilité d'obtenir le 2 (comme les autres nombres) est \(\dfrac{1}{6}\).
Il y a 3 nombres impairs : 1, 3 et 5. La probabilité est donc égale à \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
La plus grande somme possible étant 12, obtenir 13 est impossible : c'est un évènement impossible, de probabilité 0.
Chaque case contient la somme des deux dés :
Dé rouge \ Dé vert 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Les scores possibles sont : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, soit 11 scores différents possibles
Il y a \(6 \times 6 = 36\) issues possibles.
On a \(10 = 4 + 6 = 5 + 5 = 6 + 4\) : 3 issues, donc \(p(D) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}\).
Les multiples de 4 possibles sont 4, 8 et 12 : 3 + 5 + 1 = 9 cases du tableau, donc \(p(E) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\).
Scores premiers (2, 3, 5, 7, 11) : 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15 cases. Scores strictement supérieurs à 7 (8 à 12) : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 cases. Les deux évènements ont donc la même probabilité \(\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}\).
Exercice 3 (16 pts)
Un professeur propose à ses élèves trois programmes de calculs, dont deux sont réalisés avec un logiciel de programmation.
| Programme C |
• Choisir un nombre • Multiplier par 7 • Ajouter 3 • Soustraire le nombre de départ |
Montrer que si on choisit 1 comme nombre de départ alors le programme A affiche pendant 2 secondes « On obtient 3 ».
Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ alors le programme B affiche pendant 2 secondes « On obtient \(-15\) ».
Soit \(x\) le nombre de départ, quelle expression littérale obtient-on à la fin de l'exécution du programme C ?
Un élève affirme qu'avec un des trois programmes on obtient toujours le triple du nombre choisi. A-t-il raison ?
Résoudre l'équation \((x + 3)(x - 5) = 0\).
Pour quelles valeurs de départ le programme B affiche-t-il « On obtient 0 » ?
Pour quelle(s) valeur(s) de départ le programme C affiche-t-il le même résultat que le programme A ?
Voir le corrigé de l'exercice 3
On obtient successivement : \(1 \to 1 + 1 = 2 \to 3 \times 2 = 6 \to 6 - 3 = 3\).
On obtient successivement : \(2 \to 2 + 3 = 5 \to 2 - 5 = - 3 \to 5 \times (- 3) = - 15\).
On obtient successivement : \(x \to x \times 7 \to 7x + 3 \to 7x + 3 - x = 6x + 3\).
On vient de voir que le programme C donne \(6x + 3 \ne 3x\) ;
Le programme A donne à partir de \(x\) : \(x \to 1 + x \to 3(1 + x) = 3 + 3x \to 3 + 3x -3 = 3x\) : on obtient bien le triple.
Le programme B donne à partir de \(x\) : \(x \to x + 3 \to x - 5 \to (x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15 \ne 3x\).
L'élève a raison : c'est le programme A.
Un produit de deux facteurs est nul si l'un des facteurs est nul, donc :
\((x + 3)(x - 5) = 0\) si \(x + 3 = 0\) ou \(x - 5 = 0\), c'est-à-dire \(x = -3\) ou \(x = 5\).
L'ensemble des solutions est \(S = \{- 3~;~5\}\).
On a vu que le programme B donne à partir de \(x\) le produit \((x + 3)(x - 5)\) et on a vu dans la question précédente que \(- 3\) et \(5\) annulaient ce produit.
Donc le programme B donne à partir de \(- 3\) et à partir de 5 le nombre \(0\).
Il faut trouver \(x\) tel que \(6x + 3 = 3x\) soit en ajoutant à chaque membre \(- 3x\) : \(3x + 3 = 0\) ou \(3x = - 3\), et finalement \(x = - 1\).
Le nombre \(- 1\) donne par A ou C le même résultat \(- 3\).
Exercice 4 (19 pts)
Aurélie fait du vélo en Angleterre au col de Hardknott.
Elle est partie d'une altitude de 251 mètres et arrivera au sommet à une altitude de 393 mètres.
Sur le schéma ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, le point de départ est représenté par le point A et le sommet par le point E. Aurélie est actuellement au point D.
Les droites (AB) et (DB) sont perpendiculaires. Les droites (AC) et (CE) sont perpendiculaires. Les points A, D et E sont alignés. Les points A, B et C sont alignés.
AD = 51,25 m et DB = 11,25 m.
Justifier que le dénivelé qu'Aurélie aura effectué, c'est-à-dire la hauteur EC, est égal à \(142\) m.
Prouver que les droites (DB) et (EC) sont parallèles.
Montrer que la distance qu'Aurélie doit encore parcourir, c'est-à-dire la longueur DE, est d'environ 596 m.
On utilisera pour la longueur DE la valeur 596 m.
Sachant qu'Aurélie roule à une vitesse moyenne de 8 km/h, si elle part à 9 h 55 du point D, à quelle heure arrivera-t-elle au point E ? Arrondir à la minute.
La pente d'une route est obtenue par le calcul suivant :
[t]@X@ | l| \(\text{pente} = \dfrac{\text{dénivelé}}{\text{longueur horizontale parcourue}}\). La pente s'exprime en pourcentage. Démontrer que la pente de la route parcourue par Aurélie est de 22,5 %. 
Voir le corrigé de l'exercice 4
On a CE \(= 393 - 251 = 142\) (m).
Les droites (DB) et (EC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AC) : elles sont donc parallèles.
A, D, E sont alignés dans cet ordre,
A, B et C sont alignés dans cet ordre,
et les droites (DB) et (EC) sont parallèles : on est donc dans une situation où l'on peut appliquer le théorème de Thalès, soit :
\(\dfrac{\text{BD}}{\text{EC}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}}\),
soit \(\dfrac{11{,}25}{142} = \dfrac{51{,}25}{\text{AE}}\) ;
on en déduit \(11{,}25\text{AE} = 142 \times 51{,}25\) puis \(\text{AE} = \dfrac{142 \times 51{,}25}{11{,}25}\approx 646{,}9\).
Donc DE \(= \text{AE} - \text{AD} \approx 646{,}9 - 51{,}25 \approx 595{,}6\) soit 596 (m) au mètre près.
À 8 km/h, Aurélie parcourt 8 000 m en 60 minutes ou 800 m en 6 min ou 400 m en 3 minutes.
Elle mettra donc pour parcourir \(596\) (m) un temps \(t\) tel que \(\dfrac{3}{400} = \dfrac{t}{596}\), soit en multipliant chaque membre par 596 :
\(t = \dfrac{3 \times 596}{400} = 4{,}47\) (min), soit environ 4 min 28 s : partie à 9 h 55, elle arrivera vers 9 h 59 (à la minute près).
Dans le triangle ABD rectangle en B, le théorème de Pythagore donne \(\text{AB}^2 = \text{AD}^2 - \text{DB}^2 = 51{,}25^2 - 11{,}25^2 = 2\,626{,}562\,5 - 126{,}562\,5 = 2\,500\), donc AB = 50 m.
La pente est la même sur toute la route (A, D et E sont alignés) : pente \(= \dfrac{\text{DB}}{\text{AB}} = \dfrac{11{,}25}{50} = 0{,}225\), soit 22,5 %.
Attention, piège : le dénivelé se divise par la longueur horizontale (AB), et non par la longueur de la route (AD).
Exercice 5 (20 pts)
Une station de ski propose à ses clients trois formules pour la saison d'hiver :
Formule A : on paie 36,50 € par journée de ski.
Formule B : on paie 90 € pour un abonnement « SkiPlus » pour la saison, puis 18,50 € par journée de ski.
Formule C : on paie 448,50 € pour un abonnement « SkiTotal » qui permet ensuite un accès gratuit à la station pendant toute la saison.
Marin se demande quelle formule choisir cet hiver. Il réalise un tableau pour calculer le montant à payer pour chacune des formules en fonction du nombre de journées de ski. Compléter, sans justifier, le tableau fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.
Nombre de journées de ski 2 6 10 Formule A 73 € … … Formule B 127 € … … Formule C 448,50 € … … Dans cette question, \(x\) désigne le nombre de journées de ski.
On considère les trois fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) définies par :
\(f(x) = 90 + 18{,}5x\) \(g(x) = 448{,}5\) \(h(x) = 36{,}5x\)
Laquelle de ces trois fonctions représente une situation de proportionnalité ?
Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions à la formule A, B ou C correspondante.
Calculer le nombre de journées de ski pour lequel le montant à payer avec les formules A et B est identique.
On a représenté graphiquement les trois fonctions dans le graphique ci dessous.
Sans justifier et à l'aide du graphique :
Associer chaque représentation graphique \((d_1)\), \((d_2)\) et \((d_3)\) à la fonction \(f\), \(g\) ou \(h\) correspondante.
Déterminer le nombre maximum de journées pendant lesquelles Marin peut skier avec un budget de 320 €, en choisissant la formule la plus avantageuse.
Déterminer à partir de combien de journées de ski il devient avantageux de choisir la formule C.
Voir le corrigé de l'exercice 5
Formule A : 36,50 × nombre de jours ; formule B : 90 + 18,50 × nombre de jours ; formule C : 448,50 € quel que soit le nombre de jours.
Nombre de journées de ski 2 6 10 Formule A 73 € 219 € 365 € Formule B 127 € 201 € 275 € Formule C 448,50 € 448,50 € 448,50 € Seule la fonction \(h\) représente une situation de proportionnalité. C'est une fonction linéaire (de la forme \(ax\)).
Formule A : fonction \(h\) ;
Formule B : fonction \(f\) ;
Formule C : fonction \(g\).
Il faut donc résoudre l'équation : \(h(x) = f(x)\), soit \(36{,}5x = 90 + 18{,}5x\), d'où \(18x = 90\) et \(x = 5\).
On a effectivement : \(h(5) = 182{,}5\) et \(f(5) = 90 + 18{,}5 \times 5 = 90 + 92{,}5 = 182{,}5\).
On paiera avec les formules A et B, 182,50 €.
– \(\left(d_1\right)\) correspond à la fonction constante \(g\) définie par \(g(x) = 448{,}5\) ;
– \(\left(d_2\right)\) correspond à la fonction linéaire \(h\) définie par \(h(x) = 36{,}5x\) ;
– \(\left(d_3\right)\) correspond à la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 90 + 18{,}5x\).
Avec 320 €, Marin ne peut pas payer la formule C (448,50 €).
Avec la formule A l'équation \(36{,}5x = 320\) a pour solution \(x = \dfrac{320}{36{,}5} \approx 8{,}8\) : il peut donc skier 8 jours.
Avec la formule B l'équation \(90 + 18{,}5x = 320\) peut s'écrire \(18{,}5x = 230\) qui a pour solution \(x = \dfrac{230}{18{,}5} \approx 12{,}4\), soit 12 journées de ski, soit le nombre maximal de journées de ski qu'il peut se payer (il paiera en fait \(90 + 18{,}5 \times 12 = 312\) €).
Au-delà de 5 jours, la formule A est plus chère que la formule B. Il faut donc comparer les formules B et C. Or :
\(448{,}5 < 90 + 18{,}5x\) peut s'écrire \(358{,}5 < 18{,}5x\) ou encore \(\dfrac{358{,}5}{18{,}5} < x\).
Or \(\dfrac{358{,}5}{18{,}5} \approx 19{,}4\), donc le plus petit entier naturel qui vérifie l'inéquation est 20.
Le forfait est intéressant à partir de 20 journées de ski dans l'année.
Remarque : on pouvait aussi résoudre les deux dernières questions graphiquement.
🎁 Offert · PDF de 36 pages
Les 2 sujets de référence 2027 corrigés
Les deux sujets officiels du nouveau format, avec un corrigé rédigé question par question et un rappel de méthode à chaque étape.
Au programme du sujet 2021 Centres étrangers
Épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet, série générale, session juin 2021, durée 2 heures, 100 points. Chaque exercice est corrigé en détail, avec la méthode et la rédaction attendue.
- Exercice 1 : arithmétique, transformations, fractions, puissances, calcul numérique, aires, volumes et grandeurs
- Exercice 2 : probabilités
- Exercice 3 : calcul littéral et équations, scratch et algorithmique
- Exercice 4 : thalès et triangles semblables, pythagore et trigonométrie, proportionnalité et pourcentages
- Exercice 5 : fonctions, proportionnalité et pourcentages