2025Brevet de maths Centres étrangers

Question 1 : \(120 = 12 \times 10 = 4 \times 3 \times 2 \times 5 = 2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3 \times 5\) : réponse C

Question 2 En étirant la formule vers la droite, A1 devient B1 : la cellule B2 contient « = −4 * B1 − 12 », soit \((- 4) \times 5 - 12 = - 20 - 12 = - 32\) : réponse A

Question 3 Les dimensions du carré B sont le double de celles du carré A. Rapport d'homothétie de centre de centre O égal à 2 : réponse D

Question 4 \(4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2\) identité de la forme \(a^2 - b^2\).

\(4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1)\) : réponse A

Question 5 Dans le triangle TER rectangle en R, par définition du cosinus :

\(\cos \widehat{\text{RET}} = \dfrac{\text{ER}}{\text{ET}}\), soit \(\cos 39 = \dfrac{\text{ER}}{7,4}\) ; on en déduit que ER \(= 7{,}4 \times \cos 39 \approx 5{,}751\) (grâce à la calculatrice), soit 5,75 cm au centième près : réponse B

1. La moyenne des masses est égale à : \(\overline{m} = \dfrac{4 + 9 + 2 + 7 + 11}{5} = \dfrac{33}{5} = 6{,}6\) (kg).

2. Dans la liste des masses rangées dans l'ordre croissant 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 11, la troisième valeur 7 partage l'ensemble des masses en deux ensembles de même effectif : c'est donc la médiane.

   Interprétation : au moins la moitié des colis pèsent 7 kg ou moins, et au moins la moitié pèsent 7 kg ou plus.

3. Il y a 3 colis sur 5 qui ont une masse inférieure à 8 ; la probabilité est donc égale à \(\dfrac 35 = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\).

4. 1. Volume du colis E : \(0{,}5 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}12\) m\(^3\).

   2. masse volumique du colis E : \(\dfrac{11}{0,12} = \dfrac{1100}{12} \approx 91{,}67\), soit environ 91,7 kg/m\(^3\) au dixième près.

   3. Volume du colis C : \(0{,}3 \times 0{,}1 \times 0{,}5 = 0{,}03 \times 0{,}5 = 0{,}015\) m\(^3\).

      La masse volumique du colis C est égale à : \(\dfrac{2}{0,015} = \dfrac{2000}{15} \approx 133{,}3\) kg/m\(^3\). Le colis C, plus léger, a pourtant une masse volumique plus grande (133,3 > 91,7 kg/m³) : le transporteur a tort.

      Attention, piège : la masse volumique dépend de la masse ET du volume : un objet plus lourd n'a pas forcément une masse volumique plus grande.

1. On obtient : \(1 \longmapsto -2 \longmapsto 2 \longmapsto 8\).

2. \(- 2 \longmapsto 4 \longmapsto 8 \longmapsto 32\).

3. En partant du nombre \(x\) :

   \(x \longmapsto - 2x \longmapsto - 2x + 4 \longmapsto 4(- 2x + 4) = - 8x + 16\).

4. 1. \[\begin{aligned}-8x+16&=4\\ -8x&=4-16\\ -8x&=-12\\ x&=\dfrac{-12}{-8}=1{,}5\end{aligned}\]

      L'équation a une seule solution : 1,5.

   2. Le nombre de départ est 1,5.

5. \(\bullet~\)L'ordonnée à l'origine est égale à 16, donc le graphe 2 est disqualifié ;

   \(\bullet~\) Le coefficient directeur de la droite est égal à \(- 8\) ; on doit donc en partant du point sur la droite de coordonnées (0 ; 16) se déplacer horizontalement à droite de 1 puis verticalement de 8 vers le bas ou de 2 à droite et 16 vers le bas pour retrouver un point de la représentation : c'est ce que l'on peut faire sur la représentation graphique 3.

Partie A

1. Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore permet d'écrire

   \(\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 600^2 + 450^2 = 360\,000 + 202\,500 = 562\,500 = 750^2\), d'où AC \(= 750\) (m).

2. 1. Les droites (DE) et (AB) étant perpendiculaires à la même droite (BC) sont parallèles.

   2. Les points C, E, A sont alignés, les points C, D, B sont alignés, et les droites (ED) et (AB) sont parallèles : le théorème de Thalès permet d'écrire l'égalité des rapports :

      \(\dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{AB}}\).

      En particulier \(\dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{AB}}\) soit \(\dfrac{270}{450} = \dfrac{\text{ED}}{600}\).

      Or \(\dfrac{270}{450} = \dfrac{90 \times 3}{90 \times 5} = \dfrac35\).

      On a donc \(\dfrac35 = \dfrac{\text{ED}}{600}\), d'où en multipliant par 600 :

      ED \(= \dfrac35 \times 600 = 3 \times 120 = 360\) (m).

3. L'aire du triangle CDE est égale à \(\dfrac{\text{DE} \times \text{DC}}{2} = \dfrac{360 \times 270}{2} = 180 \times 270 = 48\,600~\left(\text{m}^2\right)\).

Partie B

1. On a \(\dfrac{80}{16} = 5, \: \dfrac{60}{12} = 5\) et \(\dfrac{50}{8} = 6{,}25\) : le ratio n'est pas respecté.

2. Il faut 80 kg de blé pour 10 000 m\(^2\), soit \(\dfrac{80}{10\,000}\)  kg pour 1 m\(^2\) et enfin

   \(\dfrac{80}{10\,000} \times 48\,600 = 80 \times 4{,}86 = 388{,}8\) (kg) pour le terrain CDE.

3. Pour le seigle il aura besoin de la même façon de : \(\dfrac{60}{10\,000} \times 48\,600 = 60 \times 4{,}86 = 291{,}6\) (kg)

   Pour les pois il lui faudra acheter : \(\dfrac{50}{10\,000} \times 48\,600 = 50 \times 4{,}86 = 243\) (kg).

   Tout ceci lui coûtera :

   \(388{,}8 \times 1{,}4 + 291{,}6 \times 1{,}3 + 243 \times 2{,}1 = 1433{,}7\), soit 1433,70 € : son budget est suffisant.

   Rappel de méthode : passer de 10 000 m² à 48 600 m², c'est multiplier toutes les quantités par 4,86 : une situation de proportionnalité.

1. B3 ou C9 sont des codes possibles

2. On peut choisir entre 3 lettres puis entre 10 chiffres : il y a donc \(3 \times 10 = 30\) codes possibles différents.

   Il y a 10 codes commençant par C : la probabilité que le code commence par la lettre C est donc : \(\dfrac{10}{30} = \dfrac 13\).

3. Il y a trois codes se finissant par 7 : A7,  B7 et C7.

   La probabilité que le code se finisse par 7 est égale à \(\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1\).

4. Les chiffres premiers sont 2, 3, 5 et 7. Pour chacun d'eux, il y a 3 codes possibles (avec A, B ou C), soit \(4 \times 3 = 12\) codes contenant un chiffre premier.

   La probabilité que le code contienne un nombre premier est donc égale à \(\dfrac{12}{30} = \dfrac{6 \times 2}{6 \times 5} = \dfrac 25 = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\).

   Attention, piège : 1 n'est pas un nombre premier : il n'a qu'un seul diviseur. Les chiffres premiers sont 2, 3, 5 et 7.

5. 1. Avec 30 codes différents il lui faudra au maximum : \(30 \times 5 = 150\) s soit \(120 + 30\) s ou 2 min 30 s, donc en moins de 3 min.

   2. N'importe qui peut trouver le code en 2 min 30 s maximum : c'est insuffisant.

      Pour améliorer le système, on peut augmenter le nombre de codes possibles. Avec les 26 lettres de l'alphabet, il y aurait \(26\times 10=260\) codes, soit jusqu'à \(260\times 5=1\,300\) s, environ 22 min. Avec une lettre et deux chiffres, il y aurait \(3\times 100=300\) codes ; avec quatre chiffres, \(10\,000\) codes.

6. 1. B5 n'est pas le code attendu ; le programme affiche Code faux.

   2. Le code attendu est B7.