2021Brevet de maths Métropole

La température moyenne à Tours en novembre 2019 fut de \(8{,}2~^\circ\)C.

\(22{,}6 - 4{,}4 = 18{,}2^\circ\text{C}\)

L'étendue de cette série est de \(18{,}2^\circ\)C (différence entre le mois le plus chaud et celui le plus froid).

Une formule possible est : =MOYENNE(B2:M2).

Une autre formule (moins efficace) possible est :

=(B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2+I2+J2+K2+L2+M2)/12.

On peut aussi écrire =SOMME(B2:M2)/12.

Avec l'hypothèse que les mois comportent tous le même nombre de jours, on peut calculer une valeur (approchée) de la température moyenne annuelle en 2019 :

\(\dfrac{4{,}4+7{,}8+9{,}6+11{,}2+13{,}4+19{,}4+22{,}6+20{,}5+17{,}9+ 14{,}4+8{,}2+7{,}8}{12}=\dfrac{157{,}2}{12}=13{,}1\).

La température moyenne annuelle à Tours en 2019 était de \(13{,}1~^\circ\)C.

\(\dfrac{13{,}1-11{,}9}{11{,}9} = \dfrac{1{,}2}{11{,}9}\approx 0{,}10 = 10\,\%\)

Le pourcentage d'augmentation de la température entre 2009 et 2019 fut d'environ 10 %, à 1 % près.

Autre méthode : Appliquer une augmentation de 10 % revient à multiplier par

\(\left(1+\dfrac{10}{100}\right) = 1 + 0{,}1\) soit \(1{,}1\).

Or, \(11{,}9 \times 1{,}1 \approx 13~(^\circ\)C).

\(1{,}9 \text{ million }= 1\,900\,000\).

Or, \(2\,000\,000 - 1\,900\,000 = 100\,000\).

Il aurait fallu 100 000 visiteurs de plus en 2019 pour atteindre les 2 millions de visiteurs.

En 2019 année non bissextile, il y a eu 365 jours et 1 900 000 visiteurs soit une moyenne journalière de \(\dfrac{1\,900\,000}{365}\approx 5205\).

Il y a donc eu environ 5200 visiteurs par jour en 2019. L'affirmation est vraie.

1. \(126 = 2\times 63=2 \times 9 \times 7=2 \times 3^2 \times 7\)

   \(90=2\times 45 = 2\times 9 \times 5=2 \times 3^2 \times 5\).

2. Les facteurs premiers communs sont 2 et 3² ; Les six diviseurs communs à 126 et à 90 sont donc :   1   ;   2   ;   3   ;   \(2\times 3=6\)   ;   \(3^2=9\)   et   \(2 \times 3^2 = 18\).

3. Le professeur pourra donc constituer au maximum 18 groupes avec le même nombre de filles et de garçons. Ils comporteront alors :

   • \(126 \div 18=7\) garçons.

   • \(90 \div 18 = 5\) filles.

Les points A, E, B sont alignés ainsi que les points A, D et C.

On suppose Marie et la tour verticales (perpendiculaires au sol) donc parallèles : \((\text{DE})//(\text{CB})\).

D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{\text{AD}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{ED}}{\text{BC}}\quad \left(=\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}} \right)\)

Soit \(\dfrac{2}{2+54{,}25}=\dfrac{1{,}6}{\text{BC}}\) ou \(\dfrac{2}{56{,}25}=\dfrac{1{,}6}{\text{BC}}\) puis \(2\text{BC} = 1{,}6 \times 56{,}25\).

On en déduit : \(\text{BC} =\dfrac{1{,}6\times 56{,}25}{2}= 0{,}8 \times 56{,}25 = 45~(\text{m})\). La Gyrotour mesure 45 m de haut.

Il y a \(7+ 4+ 3+ 2 = 16\) jetons au total.

La probabilité \(\dfrac{7}{16}\) est celle de l'évènement « Obtenir un jeton vert ». Réponse C.

\(B=\)« tirer un jeton bleu ». On a \(p(B) = \dfrac{3}{16}\).

La probabilité de ne pas tirer un jeton bleu est : \(P\left(\overline{B}\right)=1 - P(B) = 1-\dfrac{3}{16}=\dfrac{13}{16}\). Réponse A. (On retire du total les 3 jetons bleus : 16 − 3 = 13.)

L'image du motif 20 par la symétrie d'axe \((d)\) est le motif 17. Réponse A.

Le motif 3 est l'image du motif 1 par la rotation de centre O, d'angle 72\(^\circ\) dans le sens horaire. Réponse B.

L'aire du motif 11 est égale à 4 fois l'aire du motif 1 car le rapport de l'homothétie est \(k=2\) (et \(k^2=4\)). Réponse B.

\(4^2+3\times 4-10=16+12-10=18\) : on obtient bien 18.

\((-3)^2+3\times (-3)-10=9-9-10=-10\). On obtient −10.

Ligne 5 : mettre z à y + 3 × x ; ligne 6 : mettre Résultat à z − 10.

1. On note \(x\) le nombre initial. Le résultat final est : \(x^2 + 3x - 10\).

2. On développe : \((x+5)(x-2) = x^2- 2x + 5x - 5\times 2= x^2 + 3x - 10\).

3. Le résultat final est nul si et seulement si : \((x+5)(x-2)=0\).

   Il s'agit d'un produit nul. Cela équivaut donc à : \(x+5= 0\) ou \(x-2= 0\).

   Soit \(x = -5\) ou \(x = 2\).

   Pour obtenir 0 à la fin, il n'y a que deux nombres possibles au départ : \(-5\) ou \(2\).

\(\dfrac{6{,}5}{100}\times 5{,}2= 0{,}338\text{ t }\).

Par rapport à l'année 2007, la production annuelle de déchets par Français a diminué de 0,338 tonne (soit 338 kg).

1. Comme C, H et B sont alignés, on a : \(\text{CH}=\text{CB}-\text{HB}=67-39=28~(\text{ cm})\).

   La longueur CH est égale à 28 cm.

2. Le triangle CHD est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore, on a :

   \(\text{CD}^2 = \text{CH}^2 + \text{HD}^2\).

   \(53^2= 28^2 + \text{HD}^2\)

   \(2809 = 784 + \text{HD}^2\)

   \(\text{HD}^2 = 2809 - 784 = 2025\)

   D'où \(\text{HD} = \sqrt{2025} = 45~(\text{cm})\).

3. Aire du trapèze en utilisant la formule fournie :

   Aire(ABCD) = \(\dfrac{(39 + 67)\times 45}{2}= 2385~\left(\text{cm}^2\right) = 0{,}2385~\left(\text{m}^2\right)\).

   Aire du trapèze par somme : Aire(ABCD)= Aire(ABHD) + Aire (CHD) = \(39\times 45+ \dfrac{28 \times 45}{2}= 1755 + 630= 2385\left(\text{cm}^2\right)= 0{,}2385~\left(\text{m}^2\right)\).

4. Le composteur est un prisme droit dont la base est la face de côté (trapèze ABCD surmonté d'un rectangle de 0,67 m sur 1,1 − 0,45 = 0,65 m) et dont la hauteur est la profondeur, 70 cm = 0,7 m. L'aire de sa base est :

   Aire(base) = \(0{,}2385 + (1{,}1- 0{,}45)\times 0{,}67 = 0{,}2385 + 0{,}65\times 0{,}67 = 0{,}2385 + 0{,}4355 = 0{,}674~\left(\text{m}^2\right)\).

   Son volume \(V\) est donné par :

   \(V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur} = 0{,}674 \times 0{,}7= 0{,}4718~\left(\text{m}^3\right)\).

   L'affirmation est vraie : le composteur a un volume proche de 0,5 m\(^3\) (légèrement inférieur).

   Attention, piège : convertir toutes les longueurs en mètres (et les aires en m²) avant de multiplier : 2 385 cm² = 0,238 5 m².